Question

对每个正整数 $n$ ，定义 $a_n=\frac{(n+9)!}{(n-1)!}\text{。}$ 设 $k$ 是使 $a_k$ 最右端非零数字为奇数的最小正整数。 $a_k$ 最右端的非零数字为

For each positive integer $n,$ let $a_n=\frac{(n+9)!}{(n-1)!}.$ Let $k$ denote the smallest positive integer for which the rightmost nonzero digit of $a_k$ is odd. The rightmost nonzero digit of $a_k$ is

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

答案：E

知识点：prime valuations trailing digits 模运算

难度评级：2630

小提示：

把 $a_n=n(n+1)\cdots(n+9)$ 写成连乘式，并比较其中因数 $2$ 和 $5$ 的个数

Write $a_n=n(n+1)\cdots(n+9)$ and compare its powers of $2$ and $5$

大提示：

当十项数块中包含 $5^7$ 时，最右端非零数字才第一次可能为奇数

An odd rightmost nonzero digit first becomes possible when the ten-term block contains $5^7$

解答：

任意十个连续整数中的五个偶数至少贡献 $2^8$ 。所以只有当数块至少含八个因数 $5$ 时，最右端非零数字才可能为奇数；第一次可能出现这种情形，是数块包含 $5^7=78125$ 时。对于 $n=5^7-9$ ，数块中 $v_2=9$ 、 $v_5=8$ ，所以该数字仍为偶数。对于 $n=5^7-8=78117$ ，两个指数都为 $8$ 。约去 $2^8 5^8$ ，再将剩余奇数的个位数字相乘，得到 $\begin{aligned} &7\cdot9\cdot1\cdot3\cdot9\cdot3\\ &\qquad\cdot1\cdot1\cdot3 \equiv9\pmod{10} \end{aligned}\text{。}$ 因此第一个为奇数的最右端非零数字是 $9$ ，正确答案是 E。

The five even terms in any ten consecutive integers contribute at least $2^8.$ Thus the rightmost nonzero digit can be odd only when the block contains at least eight factors of $5,$ first possible when it contains $5^7=78125.$ For $n=5^7-9,$ the block has $v_2=9$ and $v_5=8,$ so the digit remains even. For $n=5^7-8=78117,$ both valuations are $8.$ Cancelling $2^8 5^8$ and multiplying the remaining odd unit digits gives $\begin{aligned} &7\cdot9\cdot1\cdot3\cdot9\cdot3\\ &\qquad\cdot1\cdot1\cdot3 \equiv9\pmod{10}. \end{aligned}$ Hence the first odd rightmost nonzero digit is $9,$ and E is correct.

1998 AMC 12 第 30 题

答案：E

难度评级：2630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题