Question

在同一平面内画有凸多边形 $P_1$ 和 $P_2$ ，其边数分别为 $n_1$ 和 $n_2$ ，且 $n_1\leq n_2$ 。若 $P_1$ 与 $P_2$ 没有任何公共线段，则 $P_1$ 与 $P_2$ 交点数的最大值为：

Convex polygons $P_1$ and $P_2$ are drawn in the same plane with $n_1$ and $n_2$ sides, respectively, $n_1\leq n_2.$ If $P_1$ and $P_2$ do not have any line segment in common, then the maximum number of intersections of $P_1$ and $P_2$ is:

$2n_1$

$2n_2$

$n_1n_2$

$n_1+n_2$

以上皆非

none of these

答案：A

知识点：交点计数极端原理

难度评级：2130

小提示：

一条线段至多只能进入并离开一个凸多边形一次

A line segment can enter and leave a convex polygon at most once

大提示：

对边数较少的多边形的每一条边应用这一上界

Apply that bound to each side of the polygon with fewer sides

解答：

$P_1$ 的每条边都位于一条直线上，它与凸区域 $P_2$ 的交集要么是一条线段，要么为空。因此该边与 $P_2$ 的边界至多相交两次。对 $n_1$ 条边合计，交点数至多为 $2n_1$ ；取适当的狭长凸 $n_1$ 边形穿过一个凸 $n_2$ 边形即可达到此上界。

因此，正确答案是 A。

Each side of $P_1$ lies on a line, and its intersection with the convex region $P_2$ is a single segment or empty. Thus that side crosses the boundary of $P_2$ at most twice. Across $n_1$ sides there are at most $2n_1,$ and a suitable thin convex $n_1$ -gon crossing a convex $n_2$ -gon attains this bound.

Therefore, the correct answer is A.

1968 AMC 12 第 30 题

答案：A

难度评级：2130

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题