Question

若 $R_n=\frac12(a^n+b^n)$ ，其中 $a=3+2\sqrt2$ 、 $b=3-2\sqrt2$ ，且 $n=0$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $\ldots$ ，则 $R_{12345}$ 是整数。它的个位数字为

If $R_n=\frac12(a^n+b^n),$ where $a=3+2\sqrt2,$ $b=3-2\sqrt2,$ and $n=0,$ $1,$ $2,$ $\ldots,$ then $R_{12345}$ is an integer. Its units digit is

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

答案：E

知识点：recurrence 模运算 conjugates

难度评级：2260

小提示：

利用 $a+b=6$ 和 $ab=1$ ，求出 $R_n$ 的递推关系

Use $a+b=6$ and $ab=1$ to obtain a recurrence for $R_n$

大提示：

对 $10$ 取模计算该递推关系，并寻找一个较短的周期

Compute the recurrence modulo $10$ and look for a short period

解答：

因为 $a,b$ 是方程 $t^2-6t+1=0$ 的根， $R_n=6R_{n-1}-R_{n-2}\text{。}$ 从 $R_0=1,\ R_1=3$ 开始，个位数字依次为 $1,3,7,9,7,3,1,\ldots\text{，}$ 周期为 $6$ 。因为 $12345\equiv3\pmod6$ ，所求个位数字与 $R_3$ 的个位数字相同，即 $9$ 。

所以正确答案是 E。

Because $a,b$ are roots of $t^2-6t+1=0,$ $R_n=6R_{n-1}-R_{n-2}.$ Starting with $R_0=1,\ R_1=3,$ the units digits are $1,3,7,9,7,3,1,\ldots,$ with period $6.$ Since $12345\equiv3\pmod6,$ the units digit is the same as that of $R_3,$ namely $9.$

Thus the correct answer is E.

1990 AMC 12 第 30 题

答案：E

难度评级：2260

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题