Question

设 $[t]$ 表示不超过 $t$ 的最大整数，其中 $t\ge0$ ，并且 $\begin{aligned} S=\{(x,y):{}&(x-T)^2+y^2\\ &\le T^2\},\\ T&=t-[t] \end{aligned}\text{。}$ 则有

Let $[t]$ denote the greatest integer not exceeding $t,$ where $t\ge0,$ and $\begin{aligned} S=\{(x,y):{}&(x-T)^2+y^2\\ &\le T^2\},\\ T&=t-[t]. \end{aligned}$ Then we have

对任意 $t$ ，点 $(0,0)$ 都不属于 $S$

the point $(0,0)$ does not belong to $S$ for any $t$

对所有 $t$ ，都有 $0\le\operatorname{Area} S\le\pi$

$0\le\operatorname{Area} S\le\pi$ for all $t$

对所有 $t\ge5$ ， $S$ 都包含在第一象限内

$S$ is contained in the first quadrant for all $t\ge5$

对任意 $t$ ， $S$ 的圆心都在直线 $y=x$ 上

the center of $S$ for any $t$ is on the line $y=x$

其他叙述都不正确

none of the other statements is true

答案：B

知识点：取整函数圆面积坐标几何

难度评级：1720

小提示：

看出 $T=t-[t]$ 是 $t$ 的小数部分

Recognize $T=t-[t]$ as the fractional part of $t$

大提示：

将 $S$ 的方程解释为一个圆盘，并确定其圆心与半径

Interpret the equation for $S$ as a disk and identify its center and radius

解答：

小数部分满足 $0\le T\lt1$ 。集合 $S$ 是以 $(T,0)$ 为圆心、 $T$ 为半径的闭圆盘。其面积为 $\pi T^2\text{，}$ 所以 $0\le\operatorname{Area}S\lt\pi$ ，从而特别有 $0\le\operatorname{Area}S\le\pi$ 。原点位于每个这样的圆盘上；当 $T\gt0$ 时，圆盘延伸到 $x$ 轴下方；而它的圆心一般不在 $y=x$ 上。

所以正确答案是 B。

The fractional part satisfies $0\le T\lt1.$ The set $S$ is the closed disk centered at $(T,0)$ with radius $T.$ Its area is $\pi T^2,$ so $0\le\operatorname{Area}S\lt\pi,$ which in particular gives $0\le\operatorname{Area}S\le\pi.$ The origin lies on every such disk, the disk extends below the $x$ -axis when $T\gt0,$ and its center is generally not on $y=x.$

Therefore, the correct answer is B.

1973 AMC 12 第 30 题

答案：B

难度评级：1720

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题