Question

若 $x^4+ax^2+bx+c=0$ 的三个根为 $1$ 、 $2$ 和 $3$ ，则 $a+c$ 的值为：

If three of the roots of $x^4+ax^2+bx+c=0$ are $1,$ $2,$ and $3,$ then the value of $a+c$ is:

$35$

$24$

$-12$

$-61$

$-63$

答案：D

知识点：多项式韦达定理

难度评级：1210

小提示：

缺少 $x^3$ 项意味着四个根之和为零

The missing $x^3$ coefficient makes the sum of all four roots zero

大提示：

利用第四个根求两两乘积之和 $a$ 与四根之积 $c$

Use the fourth root to compute the pairwise sum $a$ and product $c$

解答：

因为根之和为零，所以第四个根是 $-6$ 。两两乘积之和为 $\begin{aligned} a&=2+3-6+6\\ &\quad-12-18=-25 \end{aligned}\text{，}$ 而四根之积为 $c=(1)(2)(3)(-6)=-36$ 。因此 $a+c=-61$ 。

因此，正确答案是 D。

The fourth root is $-6$ because the root sum is zero. The sum of pairwise products is $\begin{aligned} a&=2+3-6+6\\ &\quad-12-18=-25, \end{aligned}$ while the product is $c=(1)(2)(3)(-6)=-36.$ Thus $a+c=-61.$

Therefore, the correct answer is D.

1966 AMC 12 第 30 题

答案：D

难度评级：1210

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题