Question

假设 $7$ 名男孩和 $13$ 名女孩排成一列。设 $S$ 为队列中男孩与女孩相邻的位置数。例如，对于队列 $GBBGGGBGBG$ $GGBGBGGBGG$ ，有 $S=12$ 。 $S$ 的平均值（若考虑这 $20$ 个人所有可能的排列）最接近

Suppose that $7$ boys and $13$ girls line up in a row. Let $S$ be the number of places in the row where a boy and a girl are standing next to each other. For example, for the row $GBBGGGBGBG$ $GGBGBGGBGG$ we have $S=12.$ The average value of $S$ (if all possible orders of these $20$ people are considered) is closest to

$9$

$10$

$11$

$12$

$13$

答案：A

知识点：期望值双重计数排列

难度评级：2550

小提示：

对 $19$ 对相邻位置中的每一对设置一个指示变量

Use an indicator for each of the $19$ adjacent pairs

大提示：

对固定的一对相邻位置，求出现 $BG$ 或 $GB$ 的概率

For a fixed adjacent pair, compute the probability of seeing $BG$ or $GB$

解答：

对于 $19$ 对相邻位置中的每一对，两人性别不同的概率为 $\frac7{20}\cdot\frac{13}{19} +\frac{13}{20}\cdot\frac7{19}\text{。}$ 由期望的线性性质， $\begin{aligned} \mathbb E[S] &=19\cdot\frac{2\cdot7\cdot13}{20\cdot19}\\ &=\frac{91}{10}=9.1 \end{aligned}\text{，}$ 最接近 $9$ 。

所以正确答案是 A。

For each of the $19$ adjacent position pairs, the probability of mixed sexes is $\frac7{20}\cdot\frac{13}{19} +\frac{13}{20}\cdot\frac7{19}.$ By linearity of expectation, $\begin{aligned} \mathbb E[S] &=19\cdot\frac{2\cdot7\cdot13}{20\cdot19}\\ &=\frac{91}{10}=9.1, \end{aligned}$ which is closest to $9.$

Thus the correct answer is A.

1989 AMC 12 第 30 题

答案：A

难度评级：2550

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题