Question

Supongamos que $7$ niños y $13$ niñas se forman en una fila. Sea $S$ el número de lugares de la fila en los que un niño y una niña están uno al lado del otro. Por ejemplo, para la fila $GBBGGGBGBG$ $GGBGBGGBGG$ tenemos $S=12.$ El valor promedio de $S$ (si se consideran todos los órdenes posibles de estas $20$ personas) es más cercano a

Suppose that $7$ boys and $13$ girls line up in a row. Let $S$ be the number of places in the row where a boy and a girl are standing next to each other. For example, for the row $GBBGGGBGBG$ $GGBGBGGBGG$ we have $S=12.$ The average value of $S$ (if all possible orders of these $20$ people are considered) is closest to

$9$

$10$

$11$

$12$

$13$

Respuesta: A

Conceptos:valor esperado doble conteo permutaciones

Nivel de dificultad: 2550

Pista pequeña:

Usa un indicador para cada uno de los $19$ pares de posiciones adyacentes

Use an indicator for each of the $19$ adjacent pairs

Pista grande:

Para un par de posiciones adyacentes fijo, calcula la probabilidad de obtener $BG$ o $GB$

For a fixed adjacent pair, compute the probability of seeing $BG$ or $GB$

Solución:

Para cada uno de los $19$ pares de posiciones adyacentes, la probabilidad de que los sexos sean distintos es $\frac7{20}\cdot\frac{13}{19} +\frac{13}{20}\cdot\frac7{19}.$ Por la linealidad de la esperanza, $\begin{aligned} \mathbb E[S] &=19\cdot\frac{2\cdot7\cdot13}{20\cdot19}\\ &=\frac{91}{10}=9.1, \end{aligned}$ que es más cercano a $9.$

Por tanto, la respuesta correcta es A.

For each of the $19$ adjacent position pairs, the probability of mixed sexes is $\frac7{20}\cdot\frac{13}{19} +\frac{13}{20}\cdot\frac7{19}.$ By linearity of expectation, $\begin{aligned} \mathbb E[S] &=19\cdot\frac{2\cdot7\cdot13}{20\cdot19}\\ &=\frac{91}{10}=9.1, \end{aligned}$ which is closest to $9.$

Thus the correct answer is A.

1989 AMC 12 Problema 30

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2550

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años