Question

Si $a,$ $b$ y $d$ son, respectivamente, las longitudes de un lado, una diagonal más corta y una diagonal más larga de un nonágono regular (véase la figura adjunta), entonces

If $a,$ $b$ and $d$ are the lengths of a side, a shortest diagonal and a longest diagonal, respectively, of a regular nonagon (see adjoining figure), then

$d=a+b$

$d^2=a^2+b^2$

$d^2=a^2+ab+b^2$

$b=\frac{a+d}{2}$

$b^2=ad$

Respuesta: A

Conceptos:polígono regular cuerda identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Escribe las longitudes de las tres cuerdas usando el circunradio del nonágono

Write the three chord lengths using the nonagon’s circumradius

Pista grande:

Compara $\sin20^\circ+\sin40^\circ$ con $\sin80^\circ$ mediante la identidad de suma a producto

Compare $\sin20^\circ+\sin40^\circ$ with $\sin80^\circ$ using the sum-to-product identity

Solución:

Si el circunradio es $r,$ las tres cuerdas subtienden ángulos centrales de $40^\circ,$ $80^\circ,$ $160^\circ,$ respectivamente. Así, $\begin{aligned} a&=2r\sin20^\circ,\\ b&=2r\sin40^\circ,\\ d&=2r\sin80^\circ. \end{aligned}$ La identidad de suma a producto da $\begin{gathered} \sin20^\circ+\sin40^\circ\\ =2\sin30^\circ\cos10^\circ\\ =\cos10^\circ=\sin80^\circ. \end{gathered}$ Al multiplicar por $2r$ se obtiene $a+b=d.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the circumradius is $r,$ the three chords subtend central angles $40^\circ,$ $80^\circ,$ $160^\circ,$ respectively. Thus $\begin{aligned} a&=2r\sin20^\circ,\\ b&=2r\sin40^\circ,\\ d&=2r\sin80^\circ. \end{aligned}$ The sum-to-product identity gives $\begin{gathered} \sin20^\circ+\sin40^\circ\\ =2\sin30^\circ\cos10^\circ\\ =\cos10^\circ=\sin80^\circ. \end{gathered}$ Multiplying by $2r$ yields $a+b=d.$

Therefore, the correct answer is A.

1977 AMC 12 Problema 30

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años