Question

Si tres de las raíces de $x^4+ax^2+bx+c=0$ son $1,$ $2,$ y $3,$ entonces el valor de $a+c$ es:

If three of the roots of $x^4+ax^2+bx+c=0$ are $1,$ $2,$ and $3,$ then the value of $a+c$ is:

$35$

$24$

$-12$

$-61$

$-63$

Respuesta: D

Conceptos:polinomio Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

La ausencia del coeficiente de $x^3$ hace que la suma de las cuatro raíces sea cero

The missing $x^3$ coefficient makes the sum of all four roots zero

Pista grande:

Usa la cuarta raíz para calcular la suma por pares $a$ y el producto $c$

Use the fourth root to compute the pairwise sum $a$ and product $c$

Solución:

La cuarta raíz es $-6$ porque la suma de las raíces es cero. La suma de los productos por pares es $\begin{aligned} a&=2+3-6+6\\ &\quad-12-18=-25, \end{aligned}$ mientras que el producto es $c=(1)(2)(3)(-6)=-36.$ Así, $a+c=-61.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The fourth root is $-6$ because the root sum is zero. The sum of pairwise products is $\begin{aligned} a&=2+3-6+6\\ &\quad-12-18=-25, \end{aligned}$ while the product is $c=(1)(2)(3)(-6)=-36.$ Thus $a+c=-61.$

Therefore, the correct answer is D.

1966 AMC 12 Problema 30

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años