Soluciones del 1966 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Dado que la razón de $3x-4$ a $y+15$ es constante y que $y=3$ cuando $x=2,$ entonces, cuando $y=12,$ $x$ es igual a:

Given that the ratio of $3x-4$ to $y+15$ is constant, and $y=3$ when $x=2,$ then, when $y=12,$ $x$ equals:

$\dfrac18$

$\dfrac87$

$\dfrac73$

$\dfrac72$

$8$

Conceptos:ecuación lineal razón y proporción

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Usa $x=2$ y $y=3$ para hallar la razón constante

Use $x=2$ and $y=3$ to find the constant ratio

Pista grande:

Mantén $\frac{3x-4}{y+15}$ igual a esa razón cuando $y=12$

Keep $\frac{3x-4}{y+15}$ equal to that ratio when $y=12$

Solución:

El par dado hace que la razón sea $\frac{3\cdot2-4}{3+15}=\frac{1}{9}.$ Por lo tanto, cuando $y=12,$ $\frac{3x-4}{27}=\frac19,$ así que $3x-4=3$ y $x=\frac{7}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The given pair makes the ratio $\frac{3\cdot2-4}{3+15}=\frac{1}{9}.$ Therefore, when $y=12,$ $\frac{3x-4}{27}=\frac19,$ so $3x-4=3$ and $x=\frac{7}{3}.$

Therefore, the correct answer is C.

2.

Cuando la base de un triángulo aumenta $10\%$ y la altura correspondiente disminuye $10\%,$ el cambio en el área es:

When the base of a triangle is increased $10\%$ and the altitude to this base is decreased $10\%,$ the change in area is:

aumento de $1\%$

$1\%$ increase

aumento de $\dfrac12\%$

$\dfrac12\%$ increase

$0\%$

disminución de $\dfrac12\%$

$\dfrac12\%$ decrease

disminución de $1\%$

$1\%$ decrease

Conceptos:porcentaje área del triángulo

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

El área es proporcional al producto de la base por la altura

The area is proportional to the product of base and altitude

Pista grande:

Multiplica los factores de escala $1.1$ y $0.9$

Multiply the scale factors $1.1$ and $0.9$

Solución:

El área nueva es $1.1\cdot0.9=0.99$ veces la anterior. Por lo tanto, es $1\%$ menor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The new area is $1.1\cdot0.9=0.99$ times the old area. It is therefore $1\%$ smaller.

Thus, the correct answer is E.

3.

Si la media aritmética de dos números es $6$ y su media geométrica es $10,$ entonces una ecuación que tiene esos dos números como raíces es:

If the arithmetic mean of two numbers is $6$ and their geometric mean is $10,$ then an equation with the given two numbers as roots is:

$x^2+12x+100=0$

$x^2+6x+100=0$

$x^2-12x-10=0$

$x^2-12x+100=0$

$x^2-6x+100=0$

Conceptos:media Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Los dos números tienen suma $12$ y producto $100$

The two numbers have sum $12$ and product $100$

Pista grande:

Las raíces de suma $S$ y producto $P$ satisfacen $x^2-Sx+P=0$

Roots with sum $S$ and product $P$ satisfy $x^2-Sx+P=0$

Solución:

Si los números son $r,$ y $s,$ entonces $\frac{r+s}{2}=6$ da $r+s=12,$ mientras que $\sqrt{rs}=10$ da $rs=100.$ La ecuación mónica con esas raíces es $x^2-(r+s)x+rs=0,$ es decir, $x^2-12x+100=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If the numbers are $r,$ and $s,$ then $\frac{r+s}{2}=6$ gives $r+s=12,$ while $\sqrt{rs}=10$ gives $rs=100.$ The monic equation with those roots is $x^2-(r+s)x+rs=0,$ or $x^2-12x+100=0.$

Therefore, the correct answer is D.

4.

El círculo $\mathrm{I}$ está circunscrito a un cuadrado dado y el círculo $\mathrm{II}$ está inscrito en él. Si $r$ es la razón entre el área del círculo $\mathrm{I}$ y la del círculo $\mathrm{II},$ entonces $r$ es igual a:

Circle $\mathrm{I}$ is circumscribed about a given square and circle $\mathrm{II}$ is inscribed in the given square. If $r$ is the ratio of the area of circle $\mathrm{I}$ to that of circle $\mathrm{II},$ then $r$ equals:

$\sqrt2$

$2$

$\sqrt3$

$2\sqrt2$

$2\sqrt3$

Conceptos:razón de áreas área del círculo cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Para un cuadrado de lado $s,$ compara los radios $\frac{s}{\sqrt2}$ y $\frac{s}{2}$

For square side $s,$ compare radii $\frac{s}{\sqrt2}$ and $\frac{s}{2}$

Pista grande:

Las áreas de los círculos son proporcionales a los cuadrados de sus radios

Circle areas are proportional to the squares of their radii

Solución:

Para un cuadrado de lado $s,$ el círculo exterior tiene radio $\frac{s}{\sqrt2},$ mientras que el interior tiene radio $\frac{s}{2}.$ Por ello, $r=\frac{\pi(\frac{s}{\sqrt2})^2}{\pi(\frac{s}{2})^2}=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For square side $s,$ the outer circle has radius $\frac{s}{\sqrt2},$ while the inner circle has radius $\frac{s}{2}.$ Hence $r=\frac{\pi(\frac{s}{\sqrt2})^2}{\pi(\frac{s}{2})^2}=2.$

Therefore, the correct answer is B.

5.

El número de valores de $x$ que satisfacen la ecuación

$\frac{2x^2-10x}{x^2-5x}=x-3$

es:

The number of values of $x$ satisfying the equation

$\frac{2x^2-10x}{x^2-5x}=x-3$

is:

cero

zero

uno

one

dos

two

tres

three

un entero mayor que $3$

an integer greater than $3$

Conceptos:factorización ecuación racional

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Factoriza el numerador y el denominador antes de resolver

Factor numerator and denominator before solving

Pista grande:

No admitas valores que anulen el denominador original

Do not admit values that make the original denominator zero

Solución:

El denominador exige $x\ne0$ y $x\ne5.$ En ese dominio, $\frac{2x(x-5)}{x(x-5)}=2.$ La ecuación restante $2=x-3$ da $x=5,$ que está excluido. Por lo tanto, no hay soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The denominator requires $x\ne0$ and $x\ne5.$ On that domain, $\frac{2x(x-5)}{x(x-5)}=2.$ The remaining equation $2=x-3$ gives $x=5,$ which is excluded. Thus there are no solutions.

Therefore, the correct answer is A.

6.

$AB$ es el diámetro de un círculo con centro $O.$ $C$ es un punto del círculo tal que el ángulo $BOC$ mide $60^\circ.$ Si el diámetro mide $5$ pulgadas, la longitud de la cuerda $AC,$ en pulgadas, es:

$AB$ is a diameter of a circle centered at $O.$ $C$ is a point on the circle such that angle $BOC$ is $60^\circ.$ If the diameter of the circle is $5$ inches, the length of chord $AC,$ expressed in inches, is:

$3$

$\dfrac{5\sqrt2}{2}$

$\dfrac{5\sqrt3}{2}$

$3\sqrt3$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:cuerda triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Como $AB$ es un diámetro, $\angle AOC=120^\circ$

Because $AB$ is a diameter, $\angle AOC=120^\circ$

Pista grande:

Divide el triángulo isósceles $AOC$ en dos triángulos $30$ - $60$ - $90$

Split isosceles triangle $AOC$ into two $30$ - $60$ - $90$ triangles

Solución:

El radio es $\frac{5}{2},$ y $\angle AOC=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$ Una cuerda que subtiende $120^\circ$ tiene longitud $2\left(\frac52\right)\sin60^\circ=\frac{5\sqrt3}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The radius is $\frac{5}{2},$ and $\angle AOC=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$ A chord subtending $120^\circ$ has length $2\left(\frac52\right)\sin60^\circ=\frac{5\sqrt3}{2}.$

Therefore, the correct answer is C.

7.

Sea

$\frac{35x-29}{x^2-3x+2} =\frac{N_1}{x-1}+\frac{N_2}{x-2}$

una identidad en $x.$ El valor numérico de $N_1N_2$ es:

Let

$\frac{35x-29}{x^2-3x+2} =\frac{N_1}{x-1}+\frac{N_2}{x-2}$

be an identity in $x.$ The numerical value of $N_1N_2$ is:

$-246$

$-210$

$-29$

$210$

$246$

Conceptos:ecuación lineal fracciones parciales

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Combina las dos fracciones sobre $(x-1)(x-2)$

Combine the two fractions over $(x-1)(x-2)$

Pista grande:

Compara el coeficiente de $x$ y el término constante

Compare the coefficient of $x$ and the constant term

Solución:

Al combinar el lado derecho se obtiene el numerador $\begin{aligned} &N_1(x-2)+N_2(x-1)\\ &\quad=(N_1+N_2)x\\ &\qquad-(2N_1+N_2). \end{aligned}$ Así, $N_1+N_2=35$ y $2N_1+N_2=29.$ Por lo tanto, $N_1=-6,$ $N_2=41,$ y $N_1N_2=-246.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Combining the right side gives numerator $\begin{aligned} &N_1(x-2)+N_2(x-1)\\ &\quad=(N_1+N_2)x\\ &\qquad-(2N_1+N_2). \end{aligned}$ Thus $N_1+N_2=35$ and $2N_1+N_2=29.$ Hence $N_1=-6,$ $N_2=41,$ and $N_1N_2=-246.$

Therefore, the correct answer is A.

8.

La cuerda común de dos círculos que se cortan mide $16$ pies. Si los radios miden $10$ y $17$ pies, un valor posible de la distancia entre los centros, expresada en pies, es:

The length of the common chord of two intersecting circles is $16$ feet. If the radii are $10$ feet and $17$ feet, a possible value for the distance between the centers of the circles, expressed in feet, is:

$27$

$21$

$\sqrt{389}$

$15$

indeterminado

undetermined

Conceptos:cuerda círculo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

La recta de los centros biseca perpendicularmente la cuerda común

The line of centers perpendicularly bisects the common chord

Pista grande:

Halla la distancia de cada centro a la cuerda usando la semicuarda $8$

Find each center’s distance from the chord using half-chord $8$

Solución:

La semicuarda mide $8.$ Las dos distancias perpendiculares de los centros a su recta son $\begin{gathered} \sqrt{10^2-8^2}=6,\\ \sqrt{17^2-8^2}=15. \end{gathered}$ Si los centros están en lados opuestos de la cuerda, su distancia es $6+15=21,$ que es un valor posible.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The half-chord has length $8.$ The two perpendicular distances from the centers to its line are $\begin{gathered} \sqrt{10^2-8^2}=6,\\ \sqrt{17^2-8^2}=15. \end{gathered}$ If the centers lie on opposite sides of the chord, their distance is $6+15=21,$ which is a possible value.

Therefore, the correct answer is B.

9.

Si $x=(\log_8 2)^{(\log_2 8)},$ entonces $\log_3 x$ es igual a:

If $x=(\log_8 2)^{(\log_2 8)},$ then $\log_3 x$ equals:

$-3$

$-\dfrac13$

$\dfrac13$

$3$

$9$

Conceptos:exponente logaritmo

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Evalúa $\log_8 2$ y $\log_2 8$ por separado

Evaluate $\log_8 2$ and $\log_2 8$ separately

Pista grande:

Expresa la potencia resultante como potencia de $3$

Express the resulting power as a power of $3$

Solución:

Tenemos $\log_8 2=\frac{1}{3}$ y $\log_2 8=3.$ Por lo tanto, $x=(\frac{1}{3})^3=3^{-3},$ así que $\log_3x=-3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have $\log_8 2=\frac{1}{3}$ and $\log_2 8=3.$ Therefore $x=(\frac{1}{3})^3=3^{-3},$ so $\log_3x=-3.$

Thus, the correct answer is A.

10.

Si la suma de dos números es $1$ y su producto es $1,$ entonces la suma de sus cubos es, donde $i=\sqrt{-1}:$

If the sum of two numbers is $1$ and their product is $1,$ then the sum of their cubes is, where $i=\sqrt{-1}:$

$2$

$-2-\dfrac{3\sqrt3i}{4}$

$0$

$-\dfrac{3\sqrt3i}{4}$

$-2$

Conceptos:número complejo suma y diferencia de cubos simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Usa $u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)$

Use $u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)$

Pista grande:

Sustituye directamente la suma y el producto dados

Substitute the given sum and product directly

Solución:

Si los números son $u,$ y $v,$ entonces $\begin{aligned} u^3+v^3 &=(u+v)^3-3uv(u+v)\\ &=1^3-3=-2. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If the numbers are $u,$ and $v,$ then $\begin{aligned} u^3+v^3 &=(u+v)^3-3uv(u+v)\\ &=1^3-3=-2. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

11.

Los lados del triángulo $BAC$ están en la razón $2:3:4.$ $BD$ es la bisectriz trazada hacia el lado más corto $AC,$ que lo divide en los segmentos $AD$ y $CD.$ Si $AC$ mide $10,$ entonces la longitud del segmento mayor de $AC$ es:

The sides of triangle $BAC$ are in the ratio $2:3:4.$ $BD$ is the angle-bisector drawn to the shortest side $AC,$ dividing it into segments $AD$ and $CD.$ If the length of $AC$ is $10,$ then the length of the longer segment of $AC$ is:

$3\dfrac12$

$5$

$5\dfrac57$

$6$

$7\dfrac12$

Conceptos:teorema de la bisectriz razón y proporción

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Como $AC$ es el lado más corto, los lados adyacentes están en razón $3:4$

Since $AC$ is the shortest side, the adjacent sides are in ratio $3:4$

Pista grande:

Aplica el teorema de la bisectriz a $AD:DC$

Apply the angle-bisector theorem to $AD:DC$

Solución:

Los lados adyacentes al ángulo $B$ están en razón $3:4.$ Por el teorema de la bisectriz, $AD:DC=3:4.$ Por lo tanto, la mayor de las dos partes es $\frac4{3+4}\cdot10=\frac{40}{7}=5\frac57.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The sides adjacent to angle $B$ are in ratio $3:4.$ By the angle-bisector theorem, $AD:DC=3:4.$ The longer of the two parts is therefore $\frac4{3+4}\cdot10=\frac{40}{7}=5\frac57.$

Therefore, the correct answer is C.

12.

El número de valores reales de $x$ que satisfacen la ecuación

$(2^{6x+3})(4^{3x+6})=8^{4x+5}$

es:

The number of real values of $x$ that satisfy the equation

$(2^{6x+3})(4^{3x+6})=8^{4x+5}$

is:

$0$

$1$

$2$

$3$

mayor que $3$

greater than $3$

Conceptos:manipulación algebraica exponente

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Reescribe cada término con base $2$

Rewrite every term with base $2$

Pista grande:

Compara el exponente total de cada lado antes de intentar despejar $x$

Compare the total exponent on each side before trying to solve for $x$

Solución:

En base $2,$ el exponente del lado izquierdo es $\begin{aligned} &(6x+3)+2(3x+6)\\ &\qquad=12x+15, \end{aligned}$ y el del lado derecho es $3(4x+5)=12x+15.$ La ecuación es una identidad para todo $x$ real, así que tiene más de tres soluciones reales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

In base $2,$ the left exponent is $\begin{aligned} &(6x+3)+2(3x+6)\\ &\qquad=12x+15, \end{aligned}$ and the right exponent is $3(4x+5)=12x+15.$ The equation is an identity for every real $x,$ so it has more than three real solutions.

Therefore, the correct answer is E.

13.

El número de puntos con coordenadas racionales positivas entre los puntos del plano $xy$ que satisfacen $x+y\leq5,$ es:

The number of points with positive rational coordinates selected from the set of points in the $xy$ -plane such that $x+y\leq5,$ is:

$9$

$10$

$14$

$15$

infinito

infinite

Conceptos:geometría analítica desigualdad

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Intenta fijar una coordenada racional positiva

Try fixing one positive rational coordinate

Pista grande:

Hay infinitos números racionales positivos en un intervalo

There are infinitely many positive rational numbers in an interval

Solución:

Por ejemplo, toma $y=1.$ Cada racional positivo $x\leq4$ da entonces un punto permitido $(x,1),$ y hay infinitos racionales de ese tipo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For example, set $y=1.$ Every positive rational $x\leq4$ then gives an allowed point $(x,1),$ and there are infinitely many such rationals.

Therefore, the correct answer is E.

14.

El rectángulo $ABCD$ mide $5$ pulgadas de largo y $3$ de ancho. Los puntos $E$ y $F$ dividen la diagonal $AC$ en tres segmentos iguales. El área del triángulo $BEF,$ expresada en pulgadas cuadradas, es:

The length of rectangle $ABCD$ is $5$ inches and its width is $3$ inches. Diagonal $AC$ is divided into three equal segments by points $E$ and $F.$ The area of triangle $BEF,$ expressed in square inches, is:

$\dfrac32$

$\dfrac53$

$\dfrac52$

$\dfrac13\sqrt{34}$

$\dfrac13\sqrt{68}$

Conceptos:geometría analítica rectángulo área del triángulo

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Coloca el rectángulo en $(0,0),$ $(5,0),$ $(5,3),$ y $(0,3)$

Place the rectangle at $(0,0),$ $(5,0),$ $(5,3),$ and $(0,3)$

Pista grande:

Los puntos de trisección de la diagonal $AC$ tienen coordenadas sencillas

The trisection points of diagonal $AC$ have easy coordinates

Solución:

Toma $A=(0,0),$ $B=(5,0),$ y $C=(5,3).$ Entonces $E=(\frac{5}{3},1)$ y $F=(\frac{10}{3},2).$ La fórmula del determinante da $\begin{aligned} [BEF] &=\frac12\left| \left(-\frac{10}{3}\right)2 -\left(-\frac53\right)1 \right|\\ &=\frac52. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Take $A=(0,0),$ $B=(5,0),$ and $C=(5,3).$ Then $E=(\frac{5}{3},1)$ and $F=(\frac{10}{3},2).$ The determinant formula gives $\begin{aligned} [BEF] &=\frac12\left| \left(-\frac{10}{3}\right)2 -\left(-\frac53\right)1 \right|\\ &=\frac52. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

15.

Si $x-y\gt x$ y $x+y\lt y,$ entonces:

If $x-y\gt x$ and $x+y\lt y,$ then:

$y\lt x$

$x\lt y$

$x\lt y\lt0$

$x\lt0,$ y $y\lt0$

$x\lt0,$ and $y\lt0$

$x\lt0,$ y $y\gt0$

$x\lt0,$ and $y\gt0$

Conceptos:manipulación algebraica desigualdad

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Resta $x$ en ambos lados de la primera desigualdad

Subtract $x$ from the first inequality

Pista grande:

Resta $y$ en ambos lados de la segunda desigualdad

Subtract $y$ from the second inequality

Solución:

De $x-y\gt x$ se obtiene $-y\gt0,$ por lo que $y\lt0.$ De $x+y\lt y$ se obtiene $x\lt0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

From $x-y\gt x$ we get $-y\gt0,$ so $y\lt0.$ From $x+y\lt y$ we get $x\lt0.$

Therefore, the correct answer is D.

16.

Si

$\begin{gathered} \dfrac{4^x}{2^{x+y}}=8,\\ \dfrac{9^{x+y}}{3^{5y}}=243, \end{gathered}$

$x$ y $y$ son números reales, entonces $xy$ es igual a:

If

$\begin{gathered} \dfrac{4^x}{2^{x+y}}=8,\\ \dfrac{9^{x+y}}{3^{5y}}=243, \end{gathered}$

$x$ and $y$ are real numbers, then $xy$ equals:

$1\dfrac34$

$4$

$6$

$12$

$-4$

Conceptos:exponente sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Reescribe las dos ecuaciones con bases $2$ y $3$

Rewrite both equations with bases $2$ and $3$

Pista grande:

Iguala exponentes para obtener dos ecuaciones lineales en $x$ y $y$

Equate exponents to obtain two linear equations in $x$ and $y$

Solución:

La primera ecuación se convierte en $2^{x-y}=2^3,$ por lo que $x-y=3.$ La segunda se convierte en $3^{2x-3y}=3^5,$ por lo que $2x-3y=5.$ Al resolver se obtiene $y=1,$ $x=4,$ y por ello $xy=4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first equation becomes $2^{x-y}=2^3,$ so $x-y=3.$ The second becomes $3^{2x-3y}=3^5,$ so $2x-3y=5.$ Solving gives $y=1,$ $x=4,$ and hence $xy=4.$

Therefore, the correct answer is B.

17.

El número de puntos distintos comunes a las curvas $x^2+4y^2=1$ y $4x^2+y^2=4$ es:

The number of distinct points common to the curves $x^2+4y^2=1$ and $4x^2+y^2=4$ is:

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:elipse sustitución sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Usa la primera ecuación para sustituir $x^2$ en la segunda

Use the first equation to substitute for $x^2$ in the second

Pista grande:

Después de hallar $y,$ cuenta los dos signos posibles de $x$

After finding $y,$ count both possible signs of $x$

Solución:

De la primera ecuación, $x^2=1-4y^2.$ Al sustituir en la segunda se obtiene $4(1-4y^2)+y^2=4,$ por lo que $y=0.$ Entonces $x^2=1,$ lo que da los dos puntos $(1,0)$ y $(-1,0).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

From the first equation, $x^2=1-4y^2.$ Substitution into the second gives $4(1-4y^2)+y^2=4,$ so $y=0.$ Then $x^2=1,$ giving the two points $(1,0)$ and $(-1,0).$

Therefore, the correct answer is C.

18.

En cierta sucesión aritmética, el primer término es $2,$ el último es $29,$ y la suma de todos los términos es $155.$ La diferencia común es:

In a given arithmetic sequence the first term is $2,$ the last term is $29,$ and the sum of all the terms is $155.$ The common difference is:

$3$

$2$

$\dfrac{27}{19}$

$\dfrac{13}{9}$

$\dfrac{23}{38}$

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Usa $155=\frac{n(2+29)}{2}$ para hallar el número de términos

Use $155=\frac{n(2+29)}{2}$ to find the number of terms

Pista grande:

Luego usa $29=2+(n-1)d$

Then use $29=2+(n-1)d$

Solución:

La fórmula de la suma da $155=\frac{31n}{2},$ por lo que $n=10.$ Entonces $29=2+9d,$ y $d=3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sum formula gives $155=\frac{31n}{2},$ so $n=10.$ Therefore $29=2+9d,$ and $d=3.$

Thus, the correct answer is A.

19.

Sea $s_1$ la suma de los primeros $n$ términos de la sucesión aritmética $8,$ $12,$ $\ldots$ , y sea $s_2$ la suma de los primeros $n$ términos de la sucesión aritmética $17,$ $19,$ $\ldots.$ Entonces $s_1=s_2$ para:

Let $s_1$ be the sum of the first $n$ terms of the arithmetic sequence $8,$ $12,$ $\ldots$ and let $s_2$ be the sum of the first $n$ terms of the arithmetic sequence $17,$ $19,$ $\ldots.$ Then $s_1=s_2$ for:

ningún valor de $n$

no value of $n$

un valor de $n$

one value of $n$

dos valores de $n$

two values of $n$

cuatro valores de $n$

four values of $n$

más de cuatro valores de $n$

more than four values of $n$

Conceptos:sucesión aritmética cuadrática sumatoria

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Escribe una fórmula de suma para cada progresión

Write a sum formula for each progression

Pista grande:

Cancela el factor positivo $n$ después de igualar las sumas

Cancel the positive factor $n$ after equating the sums

Solución:

Las dos sumas son $\begin{gathered} s_1=2n^2+6n,\\ s_2=n^2+16n. \end{gathered}$ Al igualarlas se obtiene $n(n-10)=0.$ Como el número de términos es positivo, solo funciona $n=10$ , así que hay un valor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The two sums are $\begin{gathered} s_1=2n^2+6n,\\ s_2=n^2+16n. \end{gathered}$ Equality gives $n(n-10)=0.$ Since a number of terms is positive, only $n=10$ works, so there is one value.

Therefore, the correct answer is B.

20.

Si la proposición “ $a=0$ ” es verdadera, la negación de la proposición “Para valores reales de $a$ y $b,$ si $a=0,$ entonces $ab=0$ ” es:

If the proposition “ $a=0$ ” is true, the negation of the proposition “For real values of $a$ and $b,$ if $a=0,$ then $ab=0$ ” is:

Si $a\ne0,$ entonces $ab\ne0$

If $a\ne0,$ then $ab\ne0$

Si $a\ne0,$ entonces $ab=0$

If $a\ne0,$ then $ab=0$

Si $a=0,$ entonces $ab\ne0$

If $a=0,$ then $ab\ne0$

Si $ab\ne0,$ entonces $a\ne0$

If $ab\ne0,$ then $a\ne0$

Si $ab=0,$ entonces $a\ne0$

If $ab=0,$ then $a\ne0$

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

La negación de una conclusión verdadera es su enunciado opuesto

The negation of a true conclusion is its opposite statement

Pista grande:

Bajo la suposición dada $a=0,$ niega la conclusión $ab=0$

Under the stated assumption $a=0,$ negate the conclusion $ab=0$

Solución:

Se supone verdadera la premisa $a=0$ . Por ello, negar la implicación niega su conclusión: $ab=0$ se convierte en $ab\ne0.$ Así, el enunciado pedido es “Si $a=0,$ entonces $ab\ne0.$ ”

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The stated premise $a=0$ is assumed true. Negating the implication therefore negates its conclusion: $ab=0$ becomes $ab\ne0.$ Thus the required statement is “If $a=0,$ then $ab\ne0.$ ”

Therefore, the correct answer is C.

21.

Se forma una “estrella de $n$ puntas” así: los lados de un polígono convexo se numeran consecutivamente $1,$ $2,$ $\ldots,$ $k,$ $\ldots,$ $n,$ $n\geq5;$ para los $n$ valores de $k,$ los lados $k$ y $k+2$ no son paralelos, y los lados $n+1$ y $n+2$ son respectivamente idénticos a los lados $1$ y $2;$ se prolongan los $n$ pares de lados numerados $k$ y $k+2$ hasta que se corten. (Se muestra una figura para el caso $n=5.$ )

Sea $S$ la suma en grados de los ángulos interiores en las $n$ puntas de la estrella; entonces $S$ es igual a:

An “ $n$ -pointed star” is formed as follows: the sides of a convex polygon are numbered consecutively $1,$ $2,$ $\ldots,$ $k,$ $\ldots,$ $n,$ $n\geq5;$ for all $n$ values of $k,$ sides $k$ and $k+2$ are non-parallel, sides $n+1$ and $n+2$ being respectively identical with sides $1$ and $2;$ prolong the $n$ pairs of sides numbered $k$ and $k+2$ until they meet. (A figure is shown for the case $n=5.$ )

Let $S$ be the degree-sum of the interior angles at the $n$ points of the star; then $S$ equals:

$180$

$360$

$180(n+2)$

$180(n-2)$

$180(n-4)$

Conceptos:persecución de ángulos suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Relaciona cada ángulo de una punta con dos ángulos interiores adyacentes del polígono original

Relate each star-tip angle to two adjacent interior angles of the original polygon

Pista grande:

La suma de los ángulos interiores del polígono original es $180(n-2)$ grados

The original polygon’s interior-angle sum is $180(n-2)$ degrees

Solución:

Sean $a_1,\ldots,a_n.$ los ángulos interiores del polígono original. El ángulo de la estrella formado por los lados $k$ y $k+2$ es $a_k+a_{k+1}-180^\circ.$ Al sumar cíclicamente se cuenta cada $a_k$ dos veces. Por ello, $\begin{aligned} S&=2\sum_{k=1}^n a_k-180n\\ &=2\cdot180(n-2)-180n\\ &=180(n-4). \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the original polygon’s interior angles be $a_1,\ldots,a_n.$ The star angle made from sides $k$ and $k+2$ equals $a_k+a_{k+1}-180^\circ.$ Summing cyclically counts each $a_k$ twice. Hence $\begin{aligned} S&=2\sum_{k=1}^n a_k-180n\\ &=2\cdot180(n-2)-180n\\ &=180(n-4). \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

22.

Considera las afirmaciones:

$\text{(I) }\sqrt{a^2+b^2}=0$ $\text{(II) }\sqrt{a^2+b^2}=ab$ $\text{(III) }\sqrt{a^2+b^2}=a+b$ $\text{(IV) }\sqrt{a^2+b^2}=a-b$

donde se permite que $a$ y $b$ sean números reales o complejos. Las afirmaciones que tienen soluciones distintas de $a=0$ y $b=0,$ son:

Consider the statements:

$\text{(I) }\sqrt{a^2+b^2}=0$ $\text{(II) }\sqrt{a^2+b^2}=ab$ $\text{(III) }\sqrt{a^2+b^2}=a+b$ $\text{(IV) }\sqrt{a^2+b^2}=a-b$

where we allow $a$ and $b$ to be real or complex numbers. Those statements for which there exist solutions other than $a=0$ and $b=0,$ are:

$(\mathrm{I}),$ $(\mathrm{II}),$ $(\mathrm{III}),$ $(\mathrm{IV})$

solo $(\mathrm{II}),$ $(\mathrm{III}),$ $(\mathrm{IV})$

$(\mathrm{II}),$ $(\mathrm{III}),$ $(\mathrm{IV})$ only

solo $(\mathrm{I}),$ $(\mathrm{III}),$ $(\mathrm{IV})$

$(\mathrm{I}),$ $(\mathrm{III}),$ $(\mathrm{IV})$ only

solo $(\mathrm{III}),$ $(\mathrm{IV})$

$(\mathrm{III}),$ $(\mathrm{IV})$ only

solo $(\mathrm{I})$

$(\mathrm{I})$ only

Conceptos:número complejo contraejemplo radical

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Basta un ejemplo no nulo para cada afirmación

One nonzero example is enough for each statement

Pista grande:

Prueba $b=i$ para $(\mathrm{I}),$ valores positivos iguales para $(\mathrm{II}),$ y $b=0$ para $(\mathrm{III})$ y $(\mathrm{IV})$

Try $b=i$ for $(\mathrm{I}),$ equal positive values for $(\mathrm{II}),$ and $b=0$ for $(\mathrm{III})$ and $(\mathrm{IV})$

Solución:

Cada afirmación tiene una solución no nula. Para $(\mathrm{I}),$ usa $(a,b)=(1,i).$ Para $(\mathrm{II}),$ usa $a=b=\sqrt2,$ lo que da $\sqrt4=2=ab.$ Para $(\mathrm{III})$ y $(\mathrm{IV}),$ usa $(a,b)=(1,0).$ Por lo tanto, sirven las cuatro afirmaciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Every statement has a nonzero solution. For $(\mathrm{I}),$ use $(a,b)=(1,i).$ For $(\mathrm{II}),$ use $a=b=\sqrt2,$ giving $\sqrt4=2=ab.$ For both $(\mathrm{III})$ and $(\mathrm{IV}),$ use $(a,b)=(1,0).$ Thus all four statements qualify.

Therefore, the correct answer is A.

23.

Si $x$ es real y $4y^2+4xy+x+6=0,$ entonces el conjunto completo de valores de $x$ para los que $y$ es real es:

If $x$ is real and $4y^2+4xy+x+6=0,$ then the complete set of values of $x$ for which $y$ is real, is:

$x\leq-2$ o $x\geq3$

$x\leq-2$ or $x\geq3$

$x\leq2$ o $x\geq3$

$x\leq2$ or $x\geq3$

$x\leq-3$ o $x\geq2$

$x\leq-3$ or $x\geq2$

$-3\leq x\leq2$

$-2\leq x\leq3$

Conceptos:desigualdad cuadrática

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Trata la ecuación como una cuadrática en $y$

Treat the equation as a quadratic in $y$

Pista grande:

Exige que su discriminante $16(x-3)(x+2)$ sea no negativo

Require its discriminant $16(x-3)(x+2)$ to be nonnegative

Solución:

Como cuadrática en $y,$ la ecuación tiene discriminante $\begin{aligned} &(4x)^2-16(x+6)\\ &\qquad=16(x-3)(x+2). \end{aligned}$ Este es no negativo exactamente cuando $x\leq-2$ o $x\geq3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

As a quadratic in $y,$ the equation has discriminant $\begin{aligned} &(4x)^2-16(x+6)\\ &\qquad=16(x-3)(x+2). \end{aligned}$ This is nonnegative exactly when $x\leq-2$ or $x\geq3.$

Therefore, the correct answer is A.

24.

Si $\log_MN=\log_NM,$ $M\ne N,$ $MN\gt0,$ y $M\ne1,$ $N\ne1,$ entonces $MN$ es igual a:

If $\log_MN=\log_NM,$ $M\ne N,$ $MN\gt0,$ and $M\ne1,$ $N\ne1,$ then $MN$ equals:

$\dfrac12$

$1$

$2$

$10$

un número mayor que $2$ y menor que $10$

a number greater than $2$ and less than $10$

Conceptos:manipulación algebraica logaritmo

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Escribe ambos logaritmos mediante logaritmos naturales

Write both logarithms using natural logs

Pista grande:

La igualdad da $(\ln M)^2=(\ln N)^2$ ; usa $M\ne N$

The equality gives $(\ln M)^2=(\ln N)^2$ ; use $M\ne N$

Solución:

El cambio de base da $\frac{\ln N}{\ln M}=\frac{\ln M}{\ln N},$ por lo que $(\ln M)^2=(\ln N)^2.$ La igualdad de los propios logaritmos daría $M=N,$ lo cual está excluido. Por ello, $\ln M=-\ln N,$ y $\ln(MN)=0.$ Así, $MN=1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Change of base gives $\frac{\ln N}{\ln M}=\frac{\ln M}{\ln N},$ so $(\ln M)^2=(\ln N)^2.$ Equality of the logs themselves would give $M=N,$ which is excluded. Hence $\ln M=-\ln N,$ and $\ln(MN)=0.$ Thus $MN=1.$

Therefore, the correct answer is B.

25.

Si $F(n+1)=\dfrac{2F(n)+1}{2}$ para $n=1,$ $2,$ $\ldots,$ y $F(1)=2,$ entonces $F(101)$ es igual a:

If $F(n+1)=\dfrac{2F(n)+1}{2}$ for $n=1,$ $2,$ $\ldots,$ and $F(1)=2,$ then $F(101)$ equals:

$49$

$50$

$51$

$52$

$53$

Conceptos:sucesión aritmética recursión

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Simplifica la recurrencia a $F(n+1)=F(n)+\frac{1}{2}$

Simplify the recurrence to $F(n+1)=F(n)+\frac{1}{2}$

Pista grande:

Cuenta los incrementos desde $n=1$ hasta $n=101$

Count the increments from $n=1$ to $n=101$

Solución:

Cada paso suma $\frac{1}{2}.$ Hay $100$ pasos desde $F(1)$ hasta $F(101),$ por lo que $F(101)=2+\frac{100}{2}=52.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each step adds $\frac{1}{2}.$ There are $100$ steps from $F(1)$ to $F(101),$ so $F(101)=2+\frac{100}{2}=52.$

Therefore, the correct answer is D.

26.

Sea $m$ un entero positivo, y supongamos que las rectas $13x+11y=700$ y $y=mx-1$ se cortan en un punto de coordenadas enteras. Entonces $m$ puede ser:

Let $m$ be a positive integer and let the lines $13x+11y=700$ and $y=mx-1$ intersect in a point whose coordinates are integers. Then $m$ can be:

solo $4$

$4$ only

solo $5$

$5$ only

solo $6$

$6$ only

solo $7$

$7$ only

uno de los enteros $4,$ $5,$ $6,$ $7$ y otro entero positivo

one of the integers $4,$ $5,$ $6,$ $7$ and one other positive integer

Conceptos:Ecuación diofántica divisibilidad ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Sustituye $y=mx-1$ en la primera recta

Substitute $y=mx-1$ into the first line

Pista grande:

Para que $x$ sea entero, $13+11m$ debe dividir a $711$

For integer $x,$ the number $13+11m$ must divide $711$

Solución:

La sustitución da $(13+11m)x=711.$ Así, $13+11m$ debe ser un divisor positivo de $711=3^2\cdot79.$ Entre los divisores mayores que $13,$ solo $79$ es congruente con $13\pmod{11}.$ Por ello, $13+11m=79,$ así que $m=6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Substitution gives $(13+11m)x=711.$ Thus $13+11m$ must be a positive divisor of $711=3^2\cdot79.$ Among divisors greater than $13,$ only $79$ is congruent to $13\pmod{11}.$ Hence $13+11m=79,$ so $m=6.$

Therefore, the correct answer is C.

27.

A su velocidad habitual, un hombre rema $15$ millas río abajo en cinco horas menos de lo que tarda en regresar. Si duplica su velocidad habitual, el tiempo río abajo es solo una hora menor que el tiempo río arriba. La velocidad de la corriente, en millas por hora, es:

At his usual rate a man rows $15$ miles downstream in five hours less time than it takes him to return. If he doubles his usual rate, the time downstream is only one hour less than the time upstream. In miles per hour, the rate of the stream’s current is:

$2$

$\dfrac52$

$3$

$\dfrac72$

$4$

Conceptos:ecuación racional velocidad relativa sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Sea $v$ la velocidad del remero en agua quieta y $c$ la de la corriente

Let $v$ be the rower’s still-water speed and $c$ the current speed

Pista grande:

Expresa las dos diferencias de tiempo usando las velocidades $v\pm c$ y $2v\pm c$

Translate the two time differences using speeds $v\pm c$ and $2v\pm c$

Solución:

Las dos diferencias de tiempo dan $\begin{aligned} \frac{15}{v-c}-\frac{15}{v+c}&=5,\\ \frac{15}{2v-c}-\frac{15}{2v+c}&=1. \end{aligned}$ Estas se simplifican a $v^2-c^2=6c$ y $4v^2-c^2=30c.$ Al sustituir $v^2=c^2+6c$ en la segunda se obtiene $3c^2-6c=0.$ Como $c\gt0,$ se tiene $c=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The two time differences give $\begin{aligned} \frac{15}{v-c}-\frac{15}{v+c}&=5,\\ \frac{15}{2v-c}-\frac{15}{2v+c}&=1. \end{aligned}$ These simplify to $v^2-c^2=6c$ and $4v^2-c^2=30c.$ Substituting $v^2=c^2+6c$ into the second gives $3c^2-6c=0.$ Since $c\gt0,$ we have $c=2.$

Therefore, the correct answer is A.

28.

Se toman, en este orden, cinco puntos $O,$ $A,$ $B,$ $C,$ $D$ sobre una recta, con distancias $OA=a,$ $OB=b,$ $OC=c,$ y $OD=d.$ $P$ es un punto de la recta entre $B$ y $C$ tal que $AP:PD=BP:PC.$ Entonces $OP$ es igual a:

Five points $O,$ $A,$ $B,$ $C,$ $D$ are taken in order on a straight line with distances $OA=a,$ $OB=b,$ $OC=c,$ and $OD=d.$ $P$ is a point on the line between $B$ and $C$ and such that $AP:PD=BP:PC.$ Then $OP$ equals:

$\dfrac{b^2-bc}{a-b+c-d}$

$\dfrac{ac-bd}{a-b+c-d}$

$-\dfrac{bd+ac}{a-b+c-d}$

$\dfrac{bc+ad}{a+b+c+d}$

$\dfrac{ac-bd}{a+b+c+d}$

Conceptos:ecuación lineal razón y proporción

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Escribe $p=OP.$ Entonces $AP=p-a,$ $PD=d-p,$ $BP=p-b,$ y $PC=c-p$

Write $p=OP.$ Then $AP=p-a,$ $PD=d-p,$ $BP=p-b,$ and $PC=c-p$

Pista grande:

Multiplica en cruz la igualdad de razones después de esas sustituciones

Cross-multiply the two given ratios after making those substitutions

Solución:

Sea $p=OP.$ La razón dada se convierte en $\frac{p-a}{d-p}=\frac{p-b}{c-p}.$ Al multiplicar en cruz se cancelan los términos $p^2$ y se obtiene $p(a-b+c-d)=ac-bd.$ Por lo tanto, $p=\frac{ac-bd}{a-b+c-d}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $p=OP.$ The given ratio becomes $\frac{p-a}{d-p}=\frac{p-b}{c-p}.$ Cross-multiplication cancels the $p^2$ terms and yields $p(a-b+c-d)=ac-bd.$ Therefore $p=\frac{ac-bd}{a-b+c-d}.$

Thus, the correct answer is B.

29.

El número de enteros positivos menores que $1000$ que no son divisibles ni por $5$ ni por $7$ es:

The number of positive integers less than $1000$ divisible by neither $5$ nor $7$ is:

$688$

$686$

$684$

$658$

$630$

Conceptos:conteo de enteros en un rango divisibilidad inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Hay $999$ enteros positivos menores que $1000$

There are $999$ positive integers below $1000$

Pista grande:

Resta los múltiplos de $5$ y $7$ , y luego vuelve a sumar los múltiplos de $35$

Subtract multiples of $5$ and $7$ , then add back multiples of $35$

Solución:

Por inclusión-exclusión, la cantidad es $\begin{aligned} &999-\left\lfloor\frac{999}{5}\right\rfloor -\left\lfloor\frac{999}{7}\right\rfloor\\ &\quad+\left\lfloor\frac{999}{35}\right\rfloor\\ &=999-199-142+28\\ &=686. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By inclusion-exclusion, the count is $\begin{aligned} &999-\left\lfloor\frac{999}{5}\right\rfloor -\left\lfloor\frac{999}{7}\right\rfloor\\ &\quad+\left\lfloor\frac{999}{35}\right\rfloor\\ &=999-199-142+28\\ &=686. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

30.

Si tres de las raíces de $x^4+ax^2+bx+c=0$ son $1,$ $2,$ y $3,$ entonces el valor de $a+c$ es:

If three of the roots of $x^4+ax^2+bx+c=0$ are $1,$ $2,$ and $3,$ then the value of $a+c$ is:

$35$

$24$

$-12$

$-61$

$-63$

Conceptos:polinomio Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

La ausencia del coeficiente de $x^3$ hace que la suma de las cuatro raíces sea cero

The missing $x^3$ coefficient makes the sum of all four roots zero

Pista grande:

Usa la cuarta raíz para calcular la suma por pares $a$ y el producto $c$

Use the fourth root to compute the pairwise sum $a$ and product $c$

Solución:

La cuarta raíz es $-6$ porque la suma de las raíces es cero. La suma de los productos por pares es $\begin{aligned} a&=2+3-6+6\\ &\quad-12-18=-25, \end{aligned}$ mientras que el producto es $c=(1)(2)(3)(-6)=-36.$ Así, $a+c=-61.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The fourth root is $-6$ because the root sum is zero. The sum of pairwise products is $\begin{aligned} a&=2+3-6+6\\ &\quad-12-18=-25, \end{aligned}$ while the product is $c=(1)(2)(3)(-6)=-36.$ Thus $a+c=-61.$

Therefore, the correct answer is D.

31.

El triángulo $ABC$ está inscrito en un círculo de centro $O'.$ Un círculo de centro $O$ está inscrito en el triángulo $ABC.$ Se traza $AO$ y se prolonga hasta cortar el círculo mayor en $D.$ Entonces necesariamente:

Triangle $ABC$ is inscribed in a circle with center $O'.$ A circle with center $O$ is inscribed in triangle $ABC.$ $AO$ is drawn, and extended to intersect the larger circle in $D.$ Then we must have:

$CD=BD=O'D$

$AO=CO=OD$

$CD=CO=BD$

$CD=OD=BD$

$O'B=O'C=OD$

Conceptos:persecución de ángulos circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio circunferencia inscrita, incentro e inradio

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

La recta $AD$ biseca $\angle A,$ por lo que $D$ es el punto medio del arco $BC$

Line $AD$ bisects $\angle A,$ so $D$ is the midpoint of arc $BC$

Pista grande:

Compara los ángulos del triángulo $COD$ para demostrar $CD=OD$

Compare angles in triangle $COD$ to show $CD=OD$

Solución:

Como $AO$ es una bisectriz, los ángulos inscritos $\angle BAD$ y $\angle CAD$ son iguales. Por ello, los arcos $BD$ y $CD$ , y por consiguiente las cuerdas $BD$ y $CD,$ son iguales.

Sean $\angle BAD=\alpha$ y $\angle BCO=\beta.$ Entonces $\angle OCD=\alpha+\beta.$ En el triángulo $AOC,$ el ángulo exterior $\angle COD$ también es $\alpha+\beta.$ Así, $CD=OD,$ por lo que $CD=OD=BD.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $AO$ is an angle bisector, the inscribed angles $\angle BAD$ and $\angle CAD$ are equal. Hence arcs $BD$ and $CD$ , and therefore chords $BD$ and $CD,$ are equal.

Let $\angle BAD=\alpha$ and $\angle BCO=\beta.$ Then $\angle OCD=\alpha+\beta.$ In triangle $AOC,$ the exterior angle $\angle COD$ also equals $\alpha+\beta.$ Thus $CD=OD,$ so $CD=OD=BD.$

Therefore, the correct answer is D.

32.

Sea $M$ el punto medio del lado $AB$ del triángulo $ABC.$ Sea $P$ un punto de $AB$ entre $A$ y $M,$ y trácese $MD$ paralela a $PC$ , que corta a $BC$ en $D.$ Si la razón entre el área del triángulo $BPD$ y la del triángulo $ABC$ se denota por $r,$ entonces:

Let $M$ be the midpoint of side $AB$ of triangle $ABC.$ Let $P$ be a point on $AB$ between $A$ and $M,$ and let $MD$ be drawn parallel to $PC$ and intersecting $BC$ at $D.$ If the ratio of the area of triangle $BPD$ to that of triangle $ABC$ is denoted by $r,$ then:

$\dfrac12\lt r\lt1$ , según la posición de $P$

$\dfrac12\lt r\lt1$ depending upon the position of $P$

$r=\dfrac12$ , independientemente de la posición de $P$

$r=\dfrac12$ independent of the position of $P$

$\dfrac12\leq r\lt1$ , según la posición de $P$

$\dfrac12\leq r\lt1$ depending upon the position of $P$

$\dfrac13\lt r\lt\dfrac23$ , según la posición de $P$

$\dfrac13\lt r\lt\dfrac23$ depending upon the position of $P$

$r=\dfrac13$ , independientemente de la posición de $P$

$r=\dfrac13$ independent of the position of $P$

Conceptos:razón de áreas mediana (geometría)rectas paralelas

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Los triángulos $MDP$ y $MDC$ tienen bases iguales sobre rectas paralelas

Triangles $MDP$ and $MDC$ have equal bases on parallel lines

Pista grande:

Suma sus áreas a $[BMD]$ y usa que $CM$ es una mediana

Add their areas to $[BMD]$ and use that $CM$ is a median

Solución:

Como $MD\parallel PC,$ los triángulos $MDP$ y $MDC$ tienen la misma base $MD$ y alturas iguales, así que sus áreas son iguales. Por ello, $\begin{aligned} [BPD] &=[BMD]+[MDP]\\ &=[BMD]+[MDC]\\ &=[BMC]. \end{aligned}$ Como $CM$ es una mediana, $[BMC]=\frac{[ABC]}{2}.$ Así, $r=\frac{1}{2}$ para todo $P$ permitido.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $MD\parallel PC,$ triangles $MDP$ and $MDC$ have the same base $MD$ and equal altitudes, so their areas are equal. Hence $\begin{aligned} [BPD] &=[BMD]+[MDP]\\ &=[BMD]+[MDC]\\ &=[BMC]. \end{aligned}$ Because $CM$ is a median, $[BMC]=\frac{[ABC]}{2}.$ Thus $r=\frac{1}{2}$ for every allowed $P.$

Therefore, the correct answer is B.

33.

Si $ab\ne0$ y $|a|\ne|b|,$ el número de valores distintos de $x$ que satisfacen la ecuación

$\begin{aligned} \frac{x-a}{b}+\frac{x-b}{a} &=\frac{b}{x-a}\\ &\quad+\frac{a}{x-b} \end{aligned}$

es:

If $ab\ne0$ and $|a|\ne|b|,$ the number of distinct values of $x$ satisfying the equation

$\begin{aligned} \frac{x-a}{b}+\frac{x-b}{a} &=\frac{b}{x-a}\\ &\quad+\frac{a}{x-b} \end{aligned}$

is:

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:manipulación algebraica factorización ecuación racional

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Tras combinar términos, ambos lados contienen el numerador $(a+b)x-(a^2+b^2)$

Both sides contain the numerator $(a+b)x-(a^2+b^2)$ after combining terms

Pista grande:

Factoriza la ecuación como ese numerador por una diferencia de recíprocos

Factor the equation into that numerator times a difference of reciprocals

Solución:

Sea $N=(a+b)x-a^2-b^2.$ Al combinar cada lado se obtiene $N\left(\frac1{ab} -\frac1{(x-a)(x-b)}\right)=0.$ El primer factor da $x=\frac{a^2+b^2}{a+b}.$ El segundo da $(x-a)(x-b)=ab,$ o bien $x(x-a-b)=0,$ lo que da $x=0$ y $x=a+b.$ Las hipótesis garantizan que los tres están definidos y son distintos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $N=(a+b)x-a^2-b^2.$ Combining each side gives $N\left(\frac1{ab} -\frac1{(x-a)(x-b)}\right)=0.$ The first factor gives $x=\frac{a^2+b^2}{a+b}.$ The second gives $(x-a)(x-b)=ab,$ or $x(x-a-b)=0,$ giving $x=0$ and $x=a+b.$ The hypotheses ensure that all three are defined and distinct.

Therefore, the correct answer is D.

34.

Sea $r$ la velocidad en millas por hora a la que avanza una rueda de $11$ pies de circunferencia. Si el tiempo de una vuelta completa se reduce en $\dfrac14$ de segundo, la velocidad $r$ aumenta $5$ millas por hora. Entonces $r$ es:

Let $r$ be the speed in miles per hour at which a wheel, $11$ feet in circumference, travels. If the time for a complete rotation of the wheel is shortened by $\dfrac14$ of a second, the speed $r$ is increased by $5$ miles per hour. Then $r$ is:

$9$

$10$

$10\dfrac12$

$11$

$12$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo ecuación racional conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

A $r$ millas por hora, una vuelta tarda $\frac{7.5}{r}$ segundos

At $r$ miles per hour, one rotation takes $\frac{7.5}{r}$ seconds

Pista grande:

Plantea $\frac{7.5}{r}-\frac{7.5}{r+5}=\frac{1}{4}$

Set $\frac{7.5}{r}-\frac{7.5}{r+5}=\frac{1}{4}$

Solución:

Como $11$ pies son $\frac{11}{5280}$ de milla, una vuelta a $r$ millas por hora tarda $\frac{3600\cdot11}{5280r}=\frac{7.5}{r}$ segundos. Por ello, $\frac{7.5}{r}-\frac{7.5}{r+5}=\frac14.$ Esto se reduce a $r^2+5r-150=0,$ o $(r-10)(r+15)=0.$ La velocidad positiva es $r=10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $11$ feet is $\frac{11}{5280}$ mile, one rotation at $r$ mph takes $\frac{3600\cdot11}{5280r}=\frac{7.5}{r}$ seconds. Thus $\frac{7.5}{r}-\frac{7.5}{r+5}=\frac14.$ This reduces to $r^2+5r-150=0,$ or $(r-10)(r+15)=0.$ The positive speed is $r=10.$

Therefore, the correct answer is B.

35.

Sea $O$ un punto interior del triángulo $ABC,$ y sea $s_1=OA+OB+OC.$ Si $s_2=AB+BC+CA,$ entonces:

Let $O$ be an interior point of triangle $ABC,$ and let $s_1=OA+OB+OC.$ If $s_2=AB+BC+CA,$ then:

para todo triángulo, $s_1\gt\dfrac12s_2,$ y $s_1\leq s_2$

for every triangle $s_1\gt\dfrac12s_2,$ and $s_1\leq s_2$

para todo triángulo, $s_1\geq\dfrac12s_2,$ y $s_1\lt s_2$

for every triangle $s_1\geq\dfrac12s_2,$ and $s_1\lt s_2$

para todo triángulo, $s_1\gt\dfrac12s_2,$ y $s_1\lt s_2$

for every triangle $s_1\gt\dfrac12s_2,$ and $s_1\lt s_2$

para todo triángulo, $s_1\geq\dfrac12s_2,$ y $s_1\leq s_2$

for every triangle $s_1\geq\dfrac12s_2,$ and $s_1\leq s_2$

ni $(A)$ , ni $(B)$ , ni $(C)$ , ni $(D)$ se aplica a todo triángulo

neither $(A)$ nor $(B)$ nor $(C)$ nor $(D)$ applies to every triangle

Conceptos:acotación a casos límite desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Suma $AB\lt OA+OB,$ $BC\lt OB+OC,$ y $CA\lt OC+OA$

Add $AB\lt OA+OB,$ $BC\lt OB+OC,$ and $CA\lt OC+OA$

Pista grande:

Prolonga $AO$ hasta el lado $BC$ para demostrar $OA+OB\lt AC+CB,$ y repite cíclicamente

Extend $AO$ to side $BC$ to prove $OA+OB\lt AC+CB,$ and cycle

Solución:

Al sumar las tres desigualdades triangulares estrictas $\begin{gathered} AB\lt OA+OB,\\ BC\lt OB+OC,\\ CA\lt OC+OA \end{gathered}$ se obtiene $s_2\lt2s_1.$

Para la cota superior, prolonga $AO$ hasta $D$ en $BC.$ Entonces $AO+OD\lt AC+CD$ y $OB\lt OD+DB,$ por lo que al cancelar se obtiene $OA+OB\lt AC+CB.$ Al repetir cíclicamente y sumar se obtiene $2s_1\lt2s_2.$ Por lo tanto, $s_1\gt \frac{s_2}{2}$ y $s_1\lt s_2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Adding the three strict triangle inequalities $\begin{gathered} AB\lt OA+OB,\\ BC\lt OB+OC,\\ CA\lt OC+OA \end{gathered}$ gives $s_2\lt2s_1.$

For the upper bound, extend $AO$ to $D$ on $BC.$ Then $AO+OD\lt AC+CD$ and $OB\lt OD+DB,$ so cancellation gives $OA+OB\lt AC+CB.$ Cycling and adding yields $2s_1\lt2s_2.$ Therefore $s_1\gt \frac{s_2}{2}$ and $s_1\lt s_2.$

Thus, the correct answer is C.

36.

Sea

$\begin{aligned} (1+x+x^2)^n &=a_0+a_1x\\ &\quad+a_2x^2+\cdots\\ &\quad+a_{2n}x^{2n} \end{aligned}$

una identidad en $x.$ Si tomamos $s=a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{2n},$ entonces $s$ es igual a:

Let

$\begin{aligned} (1+x+x^2)^n &=a_0+a_1x\\ &\quad+a_2x^2+\cdots\\ &\quad+a_{2n}x^{2n} \end{aligned}$

be an identity in $x.$ If we let $s=a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{2n},$ then $s$ equals:

$2^n$

$2^n+1$

$\dfrac{3^n-1}{2}$

$\dfrac{3^n}{2}$

$\dfrac{3^n+1}{2}$

Conceptos:paridad polinomio sustitución

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Evalúa el polinomio en $x=1$ y $x=-1$

Evaluate the polynomial at $x=1$ and $x=-1$

Pista grande:

Al sumar esos dos valores se cancelan todos los coeficientes de grado impar

Adding those two values cancels all odd-degree coefficients

Solución:

Sea $P(x)=(1+x+x^2)^n.$ Entonces $P(1)=3^n$ es la suma de todos los coeficientes, mientras que $P(-1)=1$ es la suma de los coeficientes pares menos la de los impares. Por lo tanto, $s=\frac{P(1)+P(-1)}2=\frac{3^n+1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $P(x)=(1+x+x^2)^n.$ Then $P(1)=3^n$ is the sum of all coefficients, while $P(-1)=1$ is the even-coefficient sum minus the odd-coefficient sum. Therefore $s=\frac{P(1)+P(-1)}2=\frac{3^n+1}{2}.$

Therefore, the correct answer is E.

37.

Tres hombres, Alfa, Beta y Gamma, trabajando juntos, terminan un trabajo en $6$ horas menos que Alfa solo, en $1$ hora menos que Beta solo y en la mitad del tiempo que necesita Gamma solo. Sea $h$ el número de horas que necesitan Alfa y Beta, trabajando juntos, para terminarlo. Entonces $h$ es igual a:

Three men, Alpha, Beta, and Gamma, working together, do a job in $6$ hours less time than Alpha alone, in $1$ hour less time than Beta alone, and in one-half the time needed by Gamma when working alone. Let $h$ be the number of hours needed by Alpha and Beta, working together, to do the job. Then $h$ equals:

$\dfrac52$

$\dfrac32$

$\dfrac43$

$\dfrac54$

$\dfrac34$

Conceptos:tasa ecuación racional sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Sea $t$ el tiempo que tardan los tres juntos

Let $t$ be the time all three take together

Pista grande:

Sus tiempos individuales son $t+6,$ $t+1,$ y $2t$ ; suma las tasas recíprocas

Their individual times are $t+6,$ $t+1,$ and $2t$ ; add reciprocal rates

Solución:

Si los tres juntos tardan $t$ horas, entonces $\frac1{t+6}+\frac1{t+1}+\frac1{2t}=\frac1t.$ Esto se simplifica a $3t^2+7t-6=0,$ por lo que $t=\frac{2}{3}.$ Alfa y Beta solos tardan $\frac{20}{3}$ y $\frac{5}{3}$ horas, así que su tasa conjunta es $\frac{3}{20}+\frac{3}{5}=\frac{3}{4}.$ Por ello, $h=\frac{4}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If all three together take $t$ hours, then $\frac1{t+6}+\frac1{t+1}+\frac1{2t}=\frac1t.$ This simplifies to $3t^2+7t-6=0,$ so $t=\frac{2}{3}.$ Alpha and Beta alone take $\frac{20}{3}$ and $\frac{5}{3}$ hours, so their combined rate is $\frac{3}{20}+\frac{3}{5}=\frac{3}{4}.$ Hence $h=\frac{4}{3}.$

Therefore, the correct answer is C.

38.

En el triángulo $ABC$ , las medianas $AM$ y $CN$ a los lados $BC$ y $AB,$ respectivamente, se cortan en $O.$ $P$ es el punto medio del lado $AC,$ y $MP$ corta a $CN$ en $Q.$ Si el área del triángulo $OMQ$ es $n,$ entonces el área del triángulo $ABC$ es:

In triangle $ABC$ the medians $AM$ and $CN$ to sides $BC$ and $AB,$ respectively, intersect in point $O.$ $P$ is the midpoint of side $AC,$ and $MP$ intersects $CN$ in $Q.$ If the area of triangle $OMQ$ is $n,$ then the area of triangle $ABC$ is:

$16n$

$18n$

$21n$

$24n$

$27n$

Conceptos:razón de áreas baricentro geometría analítica mediana (geometría)

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Usa un modelo afín $A=(0,0),$ $B=(2,0),$ y $C=(0,2)$

Use an affine model $A=(0,0),$ $B=(2,0),$ and $C=(0,2)$

Pista grande:

Halla $M,O,P,Q$ y compara las dos áreas

Find $M,O,P,Q$ and compare the two areas

Solución:

Las razones de áreas son invariantes bajo transformaciones afines, así que toma $A=(0,0),$ $B=(2,0),$ y $C=(0,2).$ Entonces $\begin{gathered} M=(1,1),\\ O=(\frac{2}{3},\frac{2}{3}),\\ P=(0,1). \end{gathered}$ La recta $MP$ es $y=1,$ y corta la mediana $CN$ en $Q=(\frac{1}{2},1).$ Así, $[OMQ]=\frac{1}{12},$ mientras que $[ABC]=2.$ Su razón es $24,$ por lo que $[ABC]=24n.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Area ratios are affine-invariant, so take $A=(0,0),$ $B=(2,0),$ and $C=(0,2).$ Then $\begin{gathered} M=(1,1),\\ O=(\frac{2}{3},\frac{2}{3}),\\ P=(0,1). \end{gathered}$ Line $MP$ is $y=1,$ and it meets median $CN$ at $Q=(\frac{1}{2},1).$ Thus $[OMQ]=\frac{1}{12},$ while $[ABC]=2.$ Their ratio is $24,$ so $[ABC]=24n.$

Therefore, the correct answer is D.

39.

En base $R_1$ , la expansión de la fracción $F_1$ es $0.373737\ldots$ y la de $F_2$ es $0.737373\ldots.$ En base $R_2$ , la fracción $F_1,$ al expandirse, se convierte en $0.252525\ldots,$ mientras que $F_2$ se convierte en $0.525252\ldots.$ La suma de $R_1$ y $R_2,$ escritos ambos en base diez, es:

In base $R_1$ the expanded fraction $F_1$ becomes $0.373737\ldots$ and the expanded fraction $F_2$ becomes $0.737373\ldots.$ In base $R_2$ fraction $F_1,$ when expanded, becomes $0.252525\ldots,$ while fraction $F_2$ becomes $0.525252\ldots.$ The sum of $R_1$ and $R_2,$ each written in base ten, is:

$24$

$22$

$21$

$20$

$19$

Conceptos:base numérica decimal periódico sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Un par repetido $ab$ en base $R$ es igual a $\frac{aR+b}{R^2-1}$

A repeating pair $ab$ in base $R$ equals $\frac{aR+b}{R^2-1}$

Pista grande:

Suma las ecuaciones de $F_1$ y $F_2,$ y luego réstalas

Add the equations for $F_1$ and $F_2,$ then subtract them

Solución:

Las dos descripciones dan $\begin{aligned} F_1&=\frac{3R_1+7}{R_1^2-1}\\ &=\frac{2R_2+5}{R_2^2-1},\\ F_2&=\frac{7R_1+3}{R_1^2-1}\\ &=\frac{5R_2+2}{R_2^2-1}. \end{aligned}$ Al sumar se obtiene $\frac{10}{R_1-1}=\frac{7}{R_2-1},$ o $10R_2-7R_1=3.$ Al restar se obtiene $\frac{4}{R_1+1}=\frac{3}{R_2+1},$ o $4R_2-3R_1=-1.$ Al resolver se obtiene $R_1=11,$ $R_2=8,$ cuya suma es $19.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The two descriptions give $\begin{aligned} F_1&=\frac{3R_1+7}{R_1^2-1}\\ &=\frac{2R_2+5}{R_2^2-1},\\ F_2&=\frac{7R_1+3}{R_1^2-1}\\ &=\frac{5R_2+2}{R_2^2-1}. \end{aligned}$ Adding yields $\frac{10}{R_1-1}=\frac{7}{R_2-1},$ or $10R_2-7R_1=3.$ Subtracting yields $\frac{4}{R_1+1}=\frac{3}{R_2+1},$ or $4R_2-3R_1=-1.$ Solving gives $R_1=11,$ $R_2=8,$ whose sum is $19.$

Therefore, the correct answer is E.

40.

En esta figura, $AB$ es el diámetro de un círculo de centro $O,$ y radio $a.$ Se traza la cuerda $AD$ y se prolonga hasta cortar en $C$ la tangente al círculo en $B.$ Se toma el punto $E$ en $AC$ de modo que $AE=DC.$ Si las coordenadas de $E$ son $(x,y),$ entonces:

In this figure $AB$ is a diameter of a circle, centered at $O,$ with radius $a.$ A chord $AD$ is drawn and extended to meet the tangent to the circle at $B,$ in point $C.$ Point $E$ is taken on $AC$ so that $AE=DC.$ If the coordinates of $E$ are $(x,y),$ then:

$y^2=\dfrac{x^3}{2a-x}$

$y^2=\dfrac{x^3}{2a+x}$

$y^4=\dfrac{x^2}{2a-x}$

$x^2=\dfrac{y^2}{2a-x}$

$x^2=\dfrac{y^2}{2a+x}$

Conceptos:círculo geometría analítica semejanza recta tangente

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Traza perpendiculares desde $E$ y $D$ al diámetro $AB$

Drop perpendiculars from $E$ and $D$ to diameter $AB$

Pista grande:

Usa $AE=DC$ entre las dos tangentes paralelas y combina el teorema de la altura con triángulos semejantes

Use $AE=DC$ between the two parallel tangents, then combine the altitude theorem with similar triangles

Solución:

Traza las perpendiculares $EM$ y $DN$ a $AB.$ Como $AE=DC$ y las tangentes por $A,B$ son paralelas, sus proyecciones dan $NB=x.$ Por ello, $AN=2a-x.$ En el triángulo rectángulo $ADB,$ el teorema de la altura da $DN^2=x(2a-x).$ Los triángulos semejantes $AME$ y $AND$ dan $\frac{DN}{2a-x}=\frac{y}{x},$ por lo que $DN=\frac{y(2a-x)}{x}.$ La sustitución y la cancelación producen $y^2=\frac{x^3}{2a-x}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Drop perpendiculars $EM$ and $DN$ to $AB.$ Since $AE=DC$ and the tangents through $A,B$ are parallel, their projections give $NB=x.$ Hence $AN=2a-x.$ In right triangle $ADB,$ the altitude theorem gives $DN^2=x(2a-x).$ Similar triangles $AME$ and $AND$ give $\frac{DN}{2a-x}=\frac{y}{x},$ so $DN=\frac{y(2a-x)}{x}.$ Substitution and cancellation yield $y^2=\frac{x^3}{2a-x}.$

Therefore, the correct answer is A.