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1973 AMC 12 Problema 30

Intenta el Problema 30 del 1973 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1973 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

30.

Sea [t][t] el mayor entero que no excede a t,t, donde t≥0,t\ge0, y S={(x,y):(x−T)2+y2≤T2},T=t−[t]. \begin{aligned} S=\{(x,y):{}&(x-T)^2+y^2\\ &\le T^2\},\\ T&=t-[t]. \end{aligned} Entonces se cumple

Let [t][t] denote the greatest integer not exceeding t,t, where t≥0,t\ge0, and S={(x,y):(x−T)2+y2≤T2},T=t−[t]. \begin{aligned} S=\{(x,y):{}&(x-T)^2+y^2\\ &\le T^2\},\\ T&=t-[t]. \end{aligned} Then we have

el punto (0,0)(0,0) no pertenece a SS para ningún tt

the point (0,0)(0,0) does not belong to SS for any tt

0≤Area⁡S≤π0\le\operatorname{Area} S\le\pi para todo tt

0≤Area⁡S≤π0\le\operatorname{Area} S\le\pi for all tt

SS está contenido en el primer cuadrante para todo t≥5t\ge5

SS is contained in the first quadrant for all t≥5t\ge5

el centro de SS para cualquier tt está en la recta y=xy=x

the center of SS for any tt is on the line y=xy=x

ninguna de las otras afirmaciones es verdadera

none of the other statements is true

Respuesta: B
Conceptos:funciones piso y techocírculoáreageometría analítica
Nivel de dificultad: 1720
Pista pequeña:

Reconoce T=t−[t]T=t-[t] como la parte fraccionaria de tt

Recognize T=t−[t]T=t-[t] as the fractional part of tt

Pista grande:

Interpreta la ecuación de SS como un disco e identifica su centro y su radio

Interpret the equation for SS as a disk and identify its center and radius

Solución:

La parte fraccionaria satisface 0≤T<1.0\le T\lt1. El conjunto SS es el disco cerrado de centro (T,0)(T,0) y radio T.T. Su área es πT2, \pi T^2, así que 0≤Area⁡S<π,0\le\operatorname{Area}S\lt\pi, lo cual en particular da 0≤Area⁡S≤π.0\le\operatorname{Area}S\le\pi. El origen pertenece a todos esos discos, el disco se extiende por debajo del eje xx cuando T>0,T\gt0, y su centro en general no está sobre y=x.y=x.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The fractional part satisfies 0≤T<1.0\le T\lt1. The set SS is the closed disk centered at (T,0)(T,0) with radius T.T. Its area is πT2, \pi T^2, so 0≤Area⁡S<π,0\le\operatorname{Area}S\lt\pi, which in particular gives 0≤Area⁡S≤π.0\le\operatorname{Area}S\le\pi. The origin lies on every such disk, the disk extends below the xx-axis when T>0,T\gt0, and its center is generally not on y=x.y=x.

Therefore, the correct answer is B.

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