Question

En la siguiente ecuación, cada letra representa de manera única un dígito distinto en base diez: $(YE)\cdot(ME)=TTT.$ La suma $E+M+T+Y$ es igual a

In the following equation, each of the letters represents uniquely a different digit in base ten: $(YE)\cdot(ME)=TTT.$ The sum $E+M+T+Y$ equals

$19$

$20$

$21$

$22$

$24$

Respuesta: C

Conceptos:criptoaritmética divisibilidad dígitos dígito de las unidades

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Usa $TTT=111T=3\cdot37\cdot T$

Use $TTT=111T=3\cdot37\cdot T$

Pista grande:

El primo $37$ debe dividir uno de los factores de dos dígitos; prueba sus múltiplos de dos dígitos que terminan en el dígito común $E$

The prime $37$ must divide one of the two-digit factors; test its two-digit multiples ending in the common digit $E$

Solución:

Como $TTT=111T=3\cdot37\cdot T,$ el primo $37$ divide a uno de $YE$ y $ME.$ Un múltiplo de dos dígitos de $37$ es $37$ o $74.$ El valor $74$ es imposible: el otro factor de dos dígitos que termina en $4$ es al menos $14,$ y $74\cdot14\gt999.$ Por lo tanto, un factor es $37,$ así que $E=7.$

El dígito de las unidades del producto es el dígito de las unidades de $7^2,$ así que $T=9.$ Por lo tanto, el producto es $999,$ y el otro factor es $\frac{999}{37}=27.$ Los cuatro dígitos son $2,$ $3,$ $7,$ $9,$ cuya suma es $21.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $TTT=111T=3\cdot37\cdot T,$ the prime $37$ divides one of $YE$ and $ME.$ A two-digit multiple of $37$ is $37$ or $74.$ The value $74$ is impossible: the other two-digit factor ending in $4$ is at least $14,$ and $74\cdot14\gt999.$ Hence one factor is $37,$ so $E=7.$

The units digit of the product is the units digit of $7^2,$ so $T=9.$ Thus the product is $999,$ and the other factor is $\frac{999}{37}=27.$ The four digits are $2,$ $3,$ $7,$ $9,$ whose sum is $21.$

Therefore, the correct answer is C.

1973 AMC 12 Problema 31

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 31 en otros años