Question

Sea $D=a^2+b^2+c^2,$ donde $a,$ $b$ son enteros consecutivos y $c=ab.$ Entonces $\sqrt D$ es:

Let $D=a^2+b^2+c^2,$ where $a,$ $b$ are consecutive integers and $c=ab.$ Then $\sqrt D$ is:

siempre un entero par

always an even integer

a veces un entero impar y a veces no

sometimes an odd integer, sometimes not

siempre un entero impar

always an odd integer

a veces racional y a veces no

sometimes rational, sometimes not

siempre irracional

always irrational

Respuesta: C

Conceptos:manipulación algebraica paridad cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Toma $b=a+1$ y desarrolla $D$

Set $b=a+1$ and expand $D$

Pista grande:

Intenta reconocer $D$ como el cuadrado de $a^2+a+1$

Try to recognize $D$ as the square of $a^2+a+1$

Solución:

Con $b=a+1$ y $c=a(a+1),$ $\begin{aligned} D&=a^2+(a+1)^2+a^2(a+1)^2\\ &=(a^2+a+1)^2. \end{aligned}$ Así, $\sqrt D=a^2+a+1.$ Como $a(a+1)$ es par, este entero siempre es impar.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

With $b=a+1$ and $c=a(a+1),$ $\begin{aligned} D&=a^2+(a+1)^2+a^2(a+1)^2\\ &=(a^2+a+1)^2. \end{aligned}$ Thus $\sqrt D=a^2+a+1.$ Since $a(a+1)$ is even, this integer is always odd.

Therefore, the correct answer is C.

1967 AMC 12 Problema 31

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 31 en otros años