Question

Sea

$\begin{aligned} f(n) &=\frac{5+3\sqrt5}{10} \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n\\ &\quad+\frac{5-3\sqrt5}{10} \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n. \end{aligned}$

Entonces $f(n+1)-f(n-1),$ expresado en función de $f(n),$ es igual a:

Let

$\begin{aligned} f(n) &=\frac{5+3\sqrt5}{10} \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n\\ &\quad+\frac{5-3\sqrt5}{10} \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n. \end{aligned}$

Then $f(n+1)-f(n-1),$ expressed in terms of $f(n),$ equals:

$\dfrac12f(n)$

$f(n)$

$2f(n)+1$

$f^2(n)$

$\dfrac12\left(f^2(n)-1\right)$

Respuesta: B

Conceptos:recursión Fibonacci exponente

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Llama $\alpha$ y $\beta$ a las dos bases exponenciales

Call the two exponential bases $\alpha$ and $\beta$

Pista grande:

Ambas raíces de $r^2-r-1=0$ satisfacen $r^{n+1}-r^{n-1}=r^n$

Both roots of $r^2-r-1=0$ satisfy $r^{n+1}-r^{n-1}=r^n$

Solución:

Cada base $r=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$ satisface $r^2=r+1,$ por lo que $r^2-1=r.$ Entonces $r^{n+1}-r^{n-1}=r^{n-1}(r^2-1)=r^n.$ Al aplicar esta identidad término a término a la combinación lineal que define la función se obtiene $f(n+1)-f(n-1)=f(n).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each base $r=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$ satisfies $r^2=r+1,$ so $r^2-1=r.$ Therefore $r^{n+1}-r^{n-1}=r^{n-1}(r^2-1)=r^n.$ Applying this identity term by term to the defining linear combination gives $f(n+1)-f(n-1)=f(n).$

Thus, the correct answer is B.

1964 AMC 12 Problema 31

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 31 en otros años