Si (a+b)/(b+c)=(c+d)/(d+a), entonces:

(B) a+b+c+d debe ser igual a cero

1964 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

¿Cuál es el valor de $\left[\log_{10}\left(5\log_{10}100\right)\right]^2$ ?

What is the value of $\left[\log_{10}\left(5\log_{10}100\right)\right]^2?$

$\log_{10}50$

$25$

$10$

$2$

$1$

Respuesta: E

Conceptos:logaritmo orden de las operaciones exponente

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Evalúa primero el logaritmo interior

Evaluate the inner logarithm first

Pista grande:

Después de multiplicar por $5,$ toma el logaritmo en base $10$ y luego eleva al cuadrado

After multiplying by $5,$ take the base- $10$ logarithm and then square

Solución:

Como $\log_{10}100=2,$ la expresión entre corchetes es $\log_{10}(5\cdot2)=\log_{10}10=1.$ Su cuadrado es $1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $\log_{10}100=2,$ the expression inside the square brackets is $\log_{10}(5\cdot2)=\log_{10}10=1.$ Its square is $1.$

Therefore, the correct answer is E.

2.

La gráfica de $x^2-4y^2=0$ es:

The graph of $x^2-4y^2=0$ is:

una parábola

a parabola

una elipse

an ellipse

un par de rectas

a pair of straight lines

un punto

a point

ninguna de estas

none of these

Respuesta: C

Conceptos:factorización diferencia de cuadrados geometría analítica

Nivel de dificultad: 940

Pista pequeña:

Factoriza el lado izquierdo como una diferencia de cuadrados

Factor the left side as a difference of squares

Pista grande:

Iguala a cero cada factor lineal

Set each linear factor equal to zero

Solución:

Al factorizar se obtiene $x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y).$ Por tanto, cada punto está sobre $x=2y$ o $x=-2y,$ que forman un par de rectas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Factoring gives $x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y).$ Thus every point lies on $x=2y$ or $x=-2y,$ a pair of straight lines.

Therefore, the correct answer is C.

3.

Cuando un entero positivo $x$ se divide entre un entero positivo $y,$ el cociente es $u$ y el residuo es $v,$ donde $u$ y $v$ son enteros. ¿Cuál es el residuo al dividir $x+2uy$ entre $y$ ?

When a positive integer $x$ is divided by a positive integer $y,$ the quotient is $u$ and the remainder is $v,$ where $u$ and $v$ are integers. What is the remainder when $x+2uy$ is divided by $y?$

$0$

$2u$

$3u$

$v$

$2v$

Respuesta: D

Conceptos:aritmética modular operaciones con números enteros sustitución

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Escribe $x=uy+v$

Write $x=uy+v$

Pista grande:

Sumar un múltiplo de $y$ no cambia el residuo al dividir entre $y$

Adding a multiple of $y$ does not change the remainder upon division by $y$

Solución:

El algoritmo de la división da $x=uy+v.$ Por tanto, $x+2uy=3uy+v.$ El primer término es divisible entre $y,$ así que el residuo es $v.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The division algorithm gives $x=uy+v.$ Hence $x+2uy=3uy+v.$ The first term is divisible by $y,$ so the remainder is $v.$

Therefore, the correct answer is D.

4.

La expresión

$\frac{P+Q}{P-Q}-\frac{P-Q}{P+Q},$

donde $P=x+y$ y $Q=x-y,$ equivale a:

The expression

$\frac{P+Q}{P-Q}-\frac{P-Q}{P+Q},$

where $P=x+y$ and $Q=x-y,$ is equivalent to:

$\dfrac{x^2-y^2}{xy}$

$\dfrac{x^2-y^2}{2xy}$

$1$

$\dfrac{x^2+y^2}{xy}$

$\dfrac{x^2+y^2}{2xy}$

Respuesta: A

Conceptos:manipulación algebraica sustitución diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Sustituye primero $P+Q=2x$ y $P-Q=2y$

First substitute $P+Q=2x$ and $P-Q=2y$

Pista grande:

Simplifica $\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$ con un denominador común

Simplify $\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$ using a common denominator

Solución:

Como $P+Q=2x$ y $P-Q=2y,$ la expresión se convierte en $\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{x^2-y^2}{xy}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $P+Q=2x$ and $P-Q=2y,$ the expression becomes $\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{x^2-y^2}{xy}.$

Therefore, the correct answer is A.

5.

Si $y$ varía directamente con $x,$ y si $y=8$ cuando $x=4,$ el valor de $y$ cuando $x=-8$ es:

If $y$ varies directly as $x,$ and if $y=8$ when $x=4,$ the value of $y$ when $x=-8$ is:

$-16$

$-4$

$-2$

$4k,$ $k=\pm1,$ $\pm2,$ $\ldots$

$16k,$ $k=\pm1,$ $\pm2,$ $\ldots$

Respuesta: A

Conceptos:razón y proporción tasa sustitución

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Escribe la variación directa como $y=kx$

Write direct variation as $y=kx$

Pista grande:

Usa el primer par para hallar $k$

Use the first pair to find $k$

Solución:

La variación directa da $y=kx.$ De $8=4k,$ se obtiene $k=2.$ Por tanto, cuando $x=-8,$ $y=2(-8)=-16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Direct variation gives $y=kx.$ From $8=4k,$ $k=2.$ Therefore, when $x=-8,$ $y=2(-8)=-16.$

Thus, the correct answer is A.

6.

Si $x,$ $2x+2,$ $3x+3,$ $\ldots$ están en progresión geométrica, el cuarto término es:

If $x,$ $2x+2,$ $3x+3,$ $\ldots$ are in geometric progression, the fourth term is:

$-27$

$-13\dfrac12$

$12$

$13\dfrac12$

$27$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión geométrica cuadrática razón y proporción

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

En tres términos no nulos consecutivos, el cuadrado del término central es el producto de sus vecinos

For three consecutive nonzero terms, the middle term squared equals the product of its neighbors

Pista grande:

Después de hallar $x,$ multiplica el tercer término por la razón común

After finding $x,$ multiply the third term by the common ratio

Solución:

La relación de media geométrica da $(2x+2)^2=x(3x+3).$ Según la convención del examen para la razón de una progresión geométrica, las razones consecutivas deben estar definidas, así que $x\ne-1.$ Al dividir entre $x+1$ se obtiene $4(x+1)=3x$ y $x=-4.$ Los tres primeros términos son $-4,-6,-9,$ con razón $\frac{3}{2}.$ El cuarto es $-9(\frac{3}{2})=-\frac{27}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The geometric-mean relation gives $(2x+2)^2=x(3x+3).$ Under the examination’s ratio convention for a geometric progression, the consecutive ratios must be defined, so $x\ne-1.$ Dividing by $x+1$ yields $4(x+1)=3x$ and $x=-4.$ The first three terms are $-4,-6,-9,$ with ratio $\frac{3}{2}.$ The fourth is $-9(\frac{3}{2})=-\frac{27}{2}.$

Therefore, the correct answer is B.

7.

Sea $n$ el número de valores reales de $p$ para los cuales las raíces de

$x^2-px+p=0$

son iguales. Entonces $n$ es:

Let $n$ be the number of real values of $p$ for which the roots of

$x^2-px+p=0$

are equal. Then $n$ equals:

$0$

$1$

$2$

un número finito mayor que $2$

a finite number greater than $2$

un número infinitamente grande

an infinitely large number

Respuesta: C

Conceptos:cuadrática propiedad del producto nulo

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Las raíces iguales hacen que el discriminante sea cero

Equal roots make the discriminant zero

Pista grande:

Resuelve $p^2-4p=0$

Solve $p^2-4p=0$

Solución:

Las raíces iguales requieren $(-p)^2-4p=p(p-4)=0.$ Así, $p=0$ o $p=4,$ lo que da dos valores reales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Equal roots require $(-p)^2-4p=p(p-4)=0.$ Thus $p=0$ or $p=4,$ giving two real values.

Therefore, the correct answer is C.

8.

La raíz menor de la ecuación

$\begin{aligned} &\left(x-\frac34\right)\left(x-\frac34\right)\\ &\quad+\left(x-\frac34\right) \left(x-\frac12\right)=0 \end{aligned}$

es:

The smaller root of the equation

$\begin{aligned} &\left(x-\frac34\right)\left(x-\frac34\right)\\ &\quad+\left(x-\frac34\right) \left(x-\frac12\right)=0 \end{aligned}$

is:

$-\dfrac34$

$\dfrac12$

$\dfrac58$

$\dfrac34$

$1$

Respuesta: C

Conceptos:factorización ecuación lineal propiedad del producto nulo

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Extrae el factor común $x-\frac34$

Factor out the common expression $x-\frac34$

Pista grande:

El factor lineal restante es $2x-\frac54$

The remaining linear factor is $2x-\frac54$

Solución:

Al combinar los dos términos y factorizar se obtiene $\left(x-\frac34\right)\left(2x-\frac54\right)=0.$ Por tanto, las raíces son $\frac{3}{4}$ y $\frac{5}{8},$ de las cuales $\frac{5}{8}$ es la menor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Combining the two terms and factoring gives $\left(x-\frac34\right)\left(2x-\frac54\right)=0.$ Hence the roots are $\frac{3}{4}$ and $\frac{5}{8},$ of which $\frac{5}{8}$ is smaller.

Therefore, the correct answer is C.

9.

Un mayorista compra un artículo a un precio de $\$24$ con un descuento de $12\dfrac12\%.$ Luego desea venderlo con una ganancia de $33\dfrac13\%$ sobre su costo después de conceder un descuento de $20\%$ sobre el precio marcado. ¿Qué precio, en dólares, debe marcar en el artículo?

A jobber buys an article at $\$24$ less $12\dfrac12\%.$ He then wishes to sell the article at a gain of $33\dfrac13\%$ of his cost after allowing a $20\%$ discount on his marked price. At what price, in dollars, should the article be marked?

$25.20$

$30.00$

$33.60$

$40.00$

ninguno de estos

none of these

Respuesta: E

Conceptos:porcentaje dinero razón y proporción

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Calcula primero el costo con descuento y luego auméntalo en un tercio

Compute the discounted cost first, then increase it by one third

Pista grande:

El precio de venta es el $80\%$ del precio marcado

The selling price is $80\%$ of the marked price

Solución:

El costo es $24(1-\frac{1}{8})=21$ dólares. Una ganancia de un tercio produce un precio de venta deseado de $21(\frac{4}{3})=28$ dólares. Si $M$ es el precio marcado, entonces $0.8M=28,$ por lo que $M=35.$ Este valor no aparece.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The cost is $24(1-\frac{1}{8})=21$ dollars. A gain of one third makes the desired selling price $21(\frac{4}{3})=28$ dollars. If $M$ is the marked price, then $0.8M=28,$ so $M=35.$ This is not listed.

Thus, the correct answer is E.

10.

Se da un cuadrado de lado $s.$ Sobre una diagonal como base se construye un triángulo de tres lados desiguales cuya área es igual a la del cuadrado. La longitud de la altura trazada a la base es:

Given a square with side of length $s.$ On a diagonal as base a triangle with three unequal sides is constructed so that its area equals that of the square. The length of the altitude drawn to the base is:

$s\sqrt2$

$\dfrac{s}{\sqrt2}$

$2s$

$2\sqrt{s}$

$\dfrac2{\sqrt{s}}$

Respuesta: A

Conceptos:cuadrado (geometría)diagonal área del triángulo radical

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

La diagonal del cuadrado mide $s\sqrt2$

The square’s diagonal has length $s\sqrt2$

Pista grande:

Plantea $\frac12(s\sqrt2)h=s^2$

Set $\frac12(s\sqrt2)h=s^2$

Solución:

La base del triángulo es la diagonal del cuadrado, $s\sqrt2.$ Si su altura es $h,$ la igualdad de áreas da $\frac12(s\sqrt2)h=s^2,$ de modo que $h=s\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The triangle’s base is the square’s diagonal, $s\sqrt2.$ If its altitude is $h,$ equality of areas gives $\frac12(s\sqrt2)h=s^2,$ so $h=s\sqrt2.$

Therefore, the correct answer is A.

11.

Dados $2^x=8^{y+1}$ y $9^y=3^{x-9},$ halla el valor de $x+y.$

Given $2^x=8^{y+1}$ and $9^y=3^{x-9},$ find the value of $x+y.$

$18$

$21$

$24$

$27$

$30$

Respuesta: D

Conceptos:exponente sistema de ecuaciones sustitución

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Reescribe $8$ como $2^3$ y $9$ como $3^2$

Rewrite $8$ as $2^3$ and $9$ as $3^2$

Pista grande:

Iguala los exponentes para obtener dos ecuaciones lineales en $x$ y $y$

Equate exponents to obtain two linear equations in $x$ and $y$

Solución:

Al escribir ambas ecuaciones con bases comunes se obtiene $\begin{aligned} x&=3y+3,\\ 2y&=x-9. \end{aligned}$ La sustitución da $y=6$ y $x=21,$ por lo que $x+y=27.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Writing both equations with common bases gives $\begin{aligned} x&=3y+3,\\ 2y&=x-9. \end{aligned}$ Substitution yields $y=6$ and $x=21,$ so $x+y=27.$

Therefore, the correct answer is D.

12.

¿Cuál de las siguientes es la negación del enunciado: para todo $x$ de cierto conjunto, $x^2\gt0$ ?

Which of the following is the negation of the statement: For all $x$ of a certain set, $x^2\gt0?$

Para todo $x,$ $x^2\lt0$

For all $x,$ $x^2\lt0$

Para todo $x,$ $x^2\leq0$

For all $x,$ $x^2\leq0$

Para ningún $x,$ $x^2\gt0$

For no $x,$ $x^2\gt0$

Para algún $x,$ $x^2\gt0$

For some $x,$ $x^2\gt0$

Para algún $x,$ $x^2\leq0$

For some $x,$ $x^2\leq0$

Respuesta: E

Conceptos:deducción lógica desigualdad contraejemplo

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

La negación de «para todo» comienza con «para algún»

The negation of “for all” begins with “for some”

Pista grande:

La negación de $x^2\gt0$ es $x^2\leq0$

Negating $x^2\gt0$ gives $x^2\leq0$

Solución:

La negación de un enunciado universal es un enunciado existencial, y la negación de $x^2\gt0$ es $x^2\leq0.$ Por tanto, la negación es: para algún $x,$ $x^2\leq0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The negation of a universal statement is an existential statement, and the negation of $x^2\gt0$ is $x^2\leq0.$ Thus the negation is: for some $x,$ $x^2\leq0.$

Therefore, the correct answer is E.

13.

Una circunferencia está inscrita en un triángulo cuyos lados miden $8,$ $13,$ y $17.$ Sean $r$ y $s$ los segmentos en que el punto de tangencia divide el lado de longitud $8,$ con $r\lt s.$ ¿Cuál es la razón $r:s$ ?

A circle is inscribed in a triangle with side lengths $8,$ $13,$ and $17.$ Let the segments of the side of length $8,$ made by a point of tangency, be $r$ and $s,$ with $r\lt s.$ What is the ratio $r:s?$

$1:3$

$2:5$

$1:2$

$2:3$

$3:4$

Respuesta: A

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio recta tangente razón y proporción

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Calcula el semiperímetro del triángulo

Compute the semiperimeter of the triangle

Pista grande:

Un segmento tangente adyacente a un vértice es igual al semiperímetro menos el lado opuesto

A tangency segment adjacent to a vertex equals the semiperimeter minus the opposite side

Solución:

El semiperímetro es $\frac{8+13+17}{2}=19.$ En los extremos del lado de longitud $8,$ las longitudes tangentes son $19-13=6$ y $19-17=2.$ Así, $r:s=2:6=1:3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The semiperimeter is $\frac{8+13+17}{2}=19.$ At the endpoints of the side of length $8,$ the tangent lengths are $19-13=6$ and $19-17=2.$ Thus $r:s=2:6=1:3.$

Therefore, the correct answer is A.

14.

Un granjero compró $749$ ovejas. Vendió $700$ de ellas por el precio que había pagado por las $749$ ovejas. Las $49$ restantes se vendieron al mismo precio por cabeza que las otras $700.$ Con respecto al costo, el porcentaje de ganancia de toda la transacción es:

A farmer bought $749$ sheep. He sold $700$ of them for the price paid for the $749$ sheep. The remaining $49$ sheep were sold at the same price per head as the other $700.$ Based on the cost, the percent gain on the entire transaction is:

$6.5$

$6.75$

$7$

$7.5$

$8$

Respuesta: C

Conceptos:porcentaje tasa dinero

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Sea $C$ el costo total de compra

Let the total purchase cost be $C$

Pista grande:

El precio de venta por oveja es $\frac{C}{700}$

The selling price per sheep is $\frac{C}{700}$

Solución:

Sea $C$ el costo total. Como las primeras $700$ ovejas se venden por $C,$ cada una se vende por $\frac{C}{700}.$ Por tanto, el ingreso total es $\frac{749C}{700}=1.07C,$ una ganancia de $7\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the total cost be $C.$ Since the first $700$ sheep sell for $C,$ each sheep sells for $\frac{C}{700}.$ Total revenue is therefore $\frac{749C}{700}=1.07C,$ a $7\%$ gain.

Thus, the correct answer is C.

15.

Una recta que pasa por el punto $(-a,0)$ delimita en el segundo cuadrante una región triangular de área $T.$ La ecuación de la recta es:

A line through the point $(-a,0)$ cuts from the second quadrant a triangular region with area $T.$ The equation of the line is:

$2Tx+a^2y+2aT=0$

$2Tx-a^2y+2aT=0$

$2Tx+a^2y-2aT=0$

$2Tx-a^2y-2aT=0$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: B

Conceptos:pendiente geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Si la intersección positiva con el eje $y$ es $b,$ entonces $\frac12ab=T$

If the positive $y$ -intercept is $b,$ then $\frac12ab=T$

Pista grande:

Usa la forma de intersecciones $-\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

Use the intercept form $-\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

Solución:

Sea $b$ la intersección con el eje $y.$ El triángulo del segundo cuadrante tiene área $\frac{ab}{2}=T,$ así que $b=\frac{2T}{a}.$ La forma de intersecciones es $\frac{x}{-a}+\frac{y}{\frac{2T}{a}}=1.$ Al eliminar denominadores se obtiene $2Tx-a^2y+2aT=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the $y$ -intercept be $b.$ The second-quadrant triangle has area $\frac{ab}{2}=T,$ so $b=\frac{2T}{a}.$ The intercept form is $\frac{x}{-a}+\frac{y}{\frac{2T}{a}}=1.$ Clearing denominators gives $2Tx-a^2y+2aT=0.$

Therefore, the correct answer is B.

16.

Sea $f(x)=x^2+3x+2$ y sea $S$ el conjunto de enteros $\{0,1,2,\ldots,25\}.$ El número de elementos $s$ de $S$ tales que $f(s)$ deja residuo cero al dividirse entre $6$ es:

Let $f(x)=x^2+3x+2$ and let $S$ be the set of integers $\{0,1,2,\ldots,25\}.$ The number of members $s$ of $S$ such that $f(s)$ has remainder zero when divided by $6$ is:

$25$

$22$

$21$

$18$

$17$

Respuesta: E

Conceptos:aritmética modular divisibilidad conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Factoriza $f(s)$ como $(s+1)(s+2)$

Factor $f(s)$ as $(s+1)(s+2)$

Pista grande:

El producto siempre es par; determina qué residuo de $s$ módulo $3$ falla

The product is always even; determine which residue of $s$ modulo $3$ fails

Solución:

Tenemos $f(s)=(s+1)(s+2),$ un producto de enteros consecutivos, por lo que siempre es par. Es divisible entre $3$ salvo cuando $s\equiv0\pmod3.$ Entre $0,1,\ldots,25,$ nueve valores son múltiplos de $3.$ Así, funcionan $26-9=17$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

We have $f(s)=(s+1)(s+2),$ a product of consecutive integers, so it is always even. It is divisible by $3$ unless $s\equiv0\pmod3.$ Among $0,1,\ldots,25,$ nine values are multiples of $3.$ Thus $26-9=17$ values work.

Therefore, the correct answer is E.

17.

Se dan los puntos distintos $P(x_1,y_1),$ $Q(x_2,y_2)$ y $R(x_1+x_2,y_1+y_2).$ Se trazan segmentos que conectan estos puntos entre sí y con el origen $O.$ De las tres posibilidades: $(1)$ paralelogramo, $(2)$ recta, $(3)$ trapecio, la figura $OPRQ,$ según la ubicación de los puntos $P,$ $Q,$ y $R,$ puede ser:

Given the distinct points $P(x_1,y_1),$ $Q(x_2,y_2)$ and $R(x_1+x_2,y_1+y_2).$ Line segments are drawn connecting these points to each other and to the origin $O.$ Of the three possibilities: $(1)$ parallelogram, $(2)$ straight line, $(3)$ trapezoid, figure $OPRQ,$ depending upon the location of the points $P,$ $Q,$ and $R,$ can be:

solo $(1)$

$(1)$ only

solo $(2)$

$(2)$ only

solo $(3)$

$(3)$ only

solo $(1)$ o $(2)$

$(1)$ or $(2)$ only

las tres

all three

Respuesta: D

Conceptos:vector paralelogramo deducción lógica

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Interpreta los vectores de posición como $R=P+Q$

Interpret the position vectors as $R=P+Q$

Pista grande:

Separa los casos en que los vectores $P$ y $Q$ son independientes o dependientes

Separate the cases in which the vectors $P$ and $Q$ are independent or dependent

Solución:

La relación $\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$ hace que los lados opuestos de $OPRQ$ sean paralelos e iguales cuando $P$ y $Q$ no son colineales, de modo que la figura es un paralelogramo. Si los dos vectores son dependientes, los cuatro puntos están en una recta. No puede ser un trapecio genuino.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The relation $\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$ makes opposite sides of $OPRQ$ parallel and equal whenever $P$ and $Q$ are not collinear, so the figure is a parallelogram. If the two vectors are dependent, all four points lie on a straight line. It cannot be a genuine trapezoid.

Thus, the correct answer is D.

18.

Sea $n$ el número de pares de valores de $b$ y $c$ tales que $3x+by+c=0$ y $cx-2y+12=0$ tienen la misma gráfica. Entonces $n$ es:

Let $n$ be the number of pairs of values of $b$ and $c$ such that $3x+by+c=0$ and $cx-2y+12=0$ have the same graph. Then $n$ is:

$0$

$1$

$2$

finito, pero mayor que $2$

finite but more than $2$

mayor que cualquier número finito

greater than any finite number

Respuesta: C

Conceptos:sistema de ecuaciones pendiente deducción lógica

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Las ecuaciones de rectas coincidentes tienen ternas de coeficientes proporcionales

Coincident line equations have proportional coefficient triples

Pista grande:

Plantea $(c,-2,12)=k(3,b,c)$ y usa las coordenadas primera y tercera

Set $(c,-2,12)=k(3,b,c)$ and use the first and third coordinates

Solución:

Para que tengan la misma gráfica, $(c,-2,12)=k(3,b,c).$ Así, $c=3k$ y $12=kc=3k^2,$ por lo que $k=\pm2.$ Cada valor determina un par mediante $b=-\frac{2}{k}$ y $c=3k.$ Por tanto, hay dos pares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For the same graph, $(c,-2,12)=k(3,b,c).$ Thus $c=3k$ and $12=kc=3k^2,$ so $k=\pm2.$ Each value determines one pair through $b=-\frac{2}{k}$ and $c=3k.$ Hence there are two pairs.

Therefore, the correct answer is C.

19.

Si $2x-3y-z=0$ y $x+3y-14z=0,$ con $z\ne0,$ el valor numérico de $\dfrac{x^2+3xy}{y^2+z^2}$ es:

If $2x-3y-z=0$ and $x+3y-14z=0,$ $z\ne0,$ the numerical value of $\dfrac{x^2+3xy}{y^2+z^2}$ is:

$7$

$2$

$0$

$-\dfrac{20}{17}$

$-2$

Respuesta: A

Conceptos:sistema de ecuaciones sustitución manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Resuelve ambas ecuaciones lineales para expresar $x$ y $y$ en función de $z$

Solve both linear equations for $x$ and $y$ in terms of $z$

Pista grande:

Las ecuaciones dan $y=3z$ y $x=5z$

The equations give $y=3z$ and $x=5z$

Solución:

Al resolver las ecuaciones se obtiene $y=3z$ y $x=5z.$ Por tanto, $\frac{x^2+3xy}{y^2+z^2}=\frac{25z^2+45z^2}{9z^2+z^2}=7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Solving the equations gives $y=3z$ and $x=5z.$ Therefore $\frac{x^2+3xy}{y^2+z^2}=\frac{25z^2+45z^2}{9z^2+z^2}=7.$

Thus, the correct answer is A.

20.

La suma de los coeficientes numéricos de todos los términos de la expansión de $(x-2y)^{18}$ es:

The sum of the numerical coefficients of all the terms in the expansion of $(x-2y)^{18}$ is:

$0$

$1$

$19$

$-1$

$-19$

Respuesta: B

Conceptos:polinomio sustitución teorema del binomio

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

La suma de coeficientes de un polinomio se obtiene igualando cada variable a $1$

A polynomial’s coefficient sum is found by setting every variable equal to $1$

Pista grande:

Evalúa $(1-2)^{18}$

Evaluate $(1-2)^{18}$

Solución:

Haz $x=y=1.$ La suma de todos los coeficientes numéricos es entonces $(1-2)^{18}=(-1)^{18}=1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Set $x=y=1.$ The sum of all numerical coefficients is then $(1-2)^{18}=(-1)^{18}=1.$

Therefore, the correct answer is B.

21.

Si $\log_{b^2}x+\log_{x^2}b=1,$ donde $b\gt0,$ $b\ne1,$ y $x\ne1,$ entonces $x$ es igual a:

If $\log_{b^2}x+\log_{x^2}b=1,$ where $b\gt0,$ $b\ne1,$ and $x\ne1,$ then $x$ equals:

$\dfrac1{b^2}$

$\dfrac1b$

$b^2$

$b$

$\sqrt b$

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo sustitución manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Sea $t=\log_bx$

Let $t=\log_bx$

Pista grande:

La ecuación se convierte en $\frac t2+\frac1{2t}=1$

The equation becomes $\frac t2+\frac1{2t}=1$

Solución:

Sea $t=\log_bx.$ Entonces $\log_{b^2}x=\frac{t}{2}$ y $\log_{x^2}b=\frac{1}{2t}.$ Así, $t+\frac1t=2,$ por lo que $(t-1)^2=0$ y $t=1.$ Por tanto, $x=b.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $t=\log_bx.$ Then $\log_{b^2}x=\frac{t}{2}$ and $\log_{x^2}b=\frac{1}{2t}.$ Thus $t+\frac1t=2,$ so $(t-1)^2=0$ and $t=1.$ Hence $x=b.$

Therefore, the correct answer is D.

22.

Se da el paralelogramo $ABCD$ con $E$ como punto medio de la diagonal $BD.$ Se conecta $E$ con un punto $F$ de $DA$ de modo que $DF=\frac13DA.$ ¿Cuál es la razón entre el área del triángulo $DFE$ y la del cuadrilátero $ABEF$ ?

Given parallelogram $ABCD$ with $E$ the midpoint of diagonal $BD.$ Point $E$ is connected to a point $F$ in $DA$ so that $DF=\frac13DA.$ What is the ratio of the area of triangle $DFE$ to the area of quadrilateral $ABEF?$

$1:2$

$1:3$

$1:5$

$1:6$

$1:7$

Respuesta: C

Conceptos:paralelogramo razón de áreas punto medio área del triángulo

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Usa vectores $A=0,$ $B=u,$ y $D=v$

Use vectors $A=0,$ $B=u,$ and $D=v$

Pista grande:

Entonces $E=\frac{u+v}{2}$ y $F=\frac{2v}{3}$ ; calcula ambas áreas como fracciones del paralelogramo

Then $E=\frac{u+v}{2}$ and $F=\frac{2v}{3}$ ; compute both areas as fractions of the parallelogram

Solución:

Sea el área del paralelogramo $S=|u\times v|,$ con $A=0,$ $B=u,$ y $D=v.$ Entonces $E=\frac{u+v}{2}$ y $F=\frac{2v}{3}.$ Los determinantes dan $[DFE]=\frac{S}{12}.$ Para el cuadrilátero $ABEF,$ las dos contribuciones dan $[ABEF]=\frac S4+\frac S6=\frac{5S}{12}.$ La razón pedida es $1:5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the parallelogram’s area be $S=|u\times v|,$ with $A=0,$ $B=u,$ and $D=v.$ Then $E=\frac{u+v}{2}$ and $F=\frac{2v}{3}.$ Determinants give $[DFE]=\frac{S}{12}.$ For quadrilateral $ABEF,$ the two determinant contributions give $[ABEF]=\frac S4+\frac S6=\frac{5S}{12}.$ The desired ratio is $1:5.$

Therefore, the correct answer is C.

23.

Dos números tienen diferencia, suma y producto en la razón $1:7:24.$ El producto de los dos números es:

Two numbers are such that their difference, their sum, and their product are to one another as $1:7:24.$ The product of the two numbers is:

$6$

$12$

$24$

$48$

$96$

Respuesta: D

Conceptos:razón y proporción sistema de ecuaciones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Representa la diferencia, la suma y el producto por $k,$ $7k$ y $24k$

Represent the difference, sum, and product by $k,$ $7k,$ and $24k$

Pista grande:

Los dos números son $\frac{7k+k}{2}$ y $\frac{7k-k}{2}$

The two numbers are $\frac{7k+k}{2}$ and $\frac{7k-k}{2}$

Solución:

Sea la diferencia $k$ y la suma $7k.$ Los números son $4k$ y $3k,$ así que su producto es $12k^2.$ Pero la razón también indica que el producto es $24k.$ Como los números son distintos, $k\ne0,$ por lo que $k=2$ y el producto es $48.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the difference be $k$ and the sum be $7k.$ The numbers are $4k$ and $3k,$ so their product is $12k^2.$ But the ratio also says the product is $24k.$ For distinct numbers $k\ne0,$ so $k=2$ and the product is $48.$

Therefore, the correct answer is D.

24.

Sea $y=(x-a)^2+(x-b)^2,$ donde $a,$ $b$ son constantes. ¿Para qué valor de $x$ es mínimo $y$ ?

Let $y=(x-a)^2+(x-b)^2,$ $a,$ $b$ constants. For what value of $x$ is $y$ a minimum?

$\dfrac{a+b}{2}$

$a+b$

$\sqrt{ab}$

$\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$

$\dfrac{a+b}{2ab}$

Respuesta: A

Conceptos:cuadrática completar el cuadrado optimización

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Expande y agrupa los términos en $x$

Expand and collect the terms in $x$

Pista grande:

Completa el cuadrado o usa la fórmula del vértice

Complete the square or use the vertex formula

Solución:

Al expandir y completar el cuadrado se obtiene $y=2\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2+\frac{(a-b)^2}{2}.$ El término cuadrático se minimiza en $x=\frac{a+b}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Expanding and completing the square gives $y=2\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2+\frac{(a-b)^2}{2}.$ The squared term is minimized at $x=\frac{a+b}{2}.$

Therefore, the correct answer is A.

25.

El conjunto de valores de $m$ para los cuales $x^2+3xy+x+my-m$ tiene dos factores de coeficientes enteros, lineales en $x$ y $y,$ es exactamente:

The set of values of $m$ for which $x^2+3xy+x+my-m$ has two factors, with integer coefficients, which are linear in $x$ and $y,$ is precisely:

$0,$ $12,$ $-12$

$0,$ $12$

$12,$ $-12$

$12$

$0$

Respuesta: B

Conceptos:factorización polinomio sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Escribe los factores como $(x+ay+b)(x+cy+d)$

Write the factors as $(x+ay+b)(x+cy+d)$

Pista grande:

La ausencia del término $y^2$ y el término $3xy$ obligan a que $\{a,c\}=\{0,3\}$

The missing $y^2$ -term and the $3xy$ -term force $\{a,c\}=\{0,3\}$

Solución:

Escribe la factorización como $(x+ay+b)(x+cy+d).$ Al comparar los coeficientes de $y^2$ y $xy$ se obtiene $ac=0$ y $a+c=3,$ así que toma $a=0,$ $c=3.$ Los otros coeficientes dan $\begin{aligned} b+d&=1,\\ bd&=-m,\\ 3b&=m. \end{aligned}$ Por tanto, $b(d+3)=0.$ Si $b=0,$ entonces $m=0;$ en caso contrario, $d=-3,$ $b=4,$ y $m=12.$ Ambos valores producen factorizaciones enteras válidas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write the factorization as $(x+ay+b)(x+cy+d).$ Comparing the $y^2$ and $xy$ coefficients gives $ac=0$ and $a+c=3,$ so take $a=0,$ $c=3.$ The other coefficients give $\begin{aligned} b+d&=1,\\ bd&=-m,\\ 3b&=m. \end{aligned}$ Hence $b(d+3)=0.$ If $b=0,$ then $m=0;$ otherwise $d=-3,$ $b=4,$ and $m=12.$ Both values produce valid integer factorizations.

Therefore, the correct answer is B.

26.

En una carrera de diez millas, el primero vence al segundo por $2$ millas y al tercero por $4$ millas. Si mantienen velocidades constantes, ¿por cuántas millas vence el segundo al tercero?

In a ten-mile race First beats Second by $2$ miles and First beats Third by $4$ miles. If the runners maintain constant speeds throughout the race, by how many miles does Second beat Third?

$2$

$2\dfrac14$

$2\dfrac12$

$2\dfrac34$

$3$

Respuesta: C

Conceptos:tasa razón y proporción distancia, velocidad y tiempo velocidad relativa

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Cuando termina el primero, el segundo y el tercero han recorrido $8$ y $6$ millas

When First finishes, Second and Third have run $8$ and $6$ miles

Pista grande:

Compara la distancia del tercero cuando el segundo completa $10$ millas

Compare Third’s distance when Second completes $10$ miles

Solución:

Respecto a la velocidad del primero, la del segundo es $\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$ y la del tercero es $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$ Así, el tercero corre a $\frac{3}{4}$ de la velocidad del segundo. Cuando el segundo termina $10$ millas, el tercero ha recorrido $10(\frac{3}{4})=7\dfrac12$ millas, por lo que el segundo gana por $2\dfrac12$ millas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Relative to First’s speed, Second’s speed is $\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$ and Third’s is $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$ Thus Third runs $\frac{3}{4}$ as fast as Second. When Second finishes $10$ miles, Third has run $10(\frac{3}{4})=7\dfrac12$ miles, so Second wins by $2\dfrac12$ miles.

Therefore, the correct answer is C.

27.

Si $x$ es real y $|x-4|+|x-3|\lt a,$ donde $a\gt0,$ entonces:

If $x$ is a real number and $|x-4|+|x-3|\lt a,$ where $a\gt0,$ then:

$0\lt a\lt0.01$

$0.01\lt a\lt1$

$0\lt a\lt1$

$0\lt a\leq1$

$a\gt1$

Respuesta: E

Conceptos:valor absoluto desigualdad triangular desigualdad

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Interpreta la suma como las distancias de $x$ a $3$ y $4$

Interpret the sum as the distances from $x$ to $3$ and $4$

Pista grande:

Halla su mínimo para $3\leq x\leq4$ , recordando que la desigualdad es estricta

Find its minimum for $3\leq x\leq4$ , remembering the inequality is strict

Solución:

Por la desigualdad triangular, $|x-4|+|x-3|\geq|4-3|=1.$ La igualdad se cumple para todo $x$ entre $3$ y $4.$ Por tanto, la desigualdad estricta tiene una solución real exactamente cuando $a\gt1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

By the triangle inequality, $|x-4|+|x-3|\geq|4-3|=1.$ Equality holds for every $x$ between $3$ and $4.$ Therefore the strict inequality has a real solution exactly when $a\gt1.$

Thus, the correct answer is E.

28.

La suma de $n$ términos de una progresión aritmética es $153,$ y la diferencia común es $2.$ Si el primer término es entero y $n\gt1,$ el número de valores posibles de $n$ es:

The sum of $n$ terms of an arithmetic progression is $153,$ and the common difference is $2.$ If the first term is an integer, and $n\gt1,$ then the number of possible values for $n$ is:

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: D

Conceptos:sucesión aritmética divisibilidad conteo de factores

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Si el primer término es $a,$ la suma es $n(a+n-1)$

If the first term is $a,$ the sum is $n(a+n-1)$

Pista grande:

Enumera los divisores de $153=3^2\cdot17$ mayores que $1$

List the divisors of $153=3^2\cdot17$ that exceed $1$

Solución:

La fórmula de la serie aritmética se simplifica a $153=n(a+n-1).$ Así, $n$ debe dividir a $153,$ y cada $n$ así da un entero $a.$ Los divisores mayores que $1$ son $3,$ $9,$ $17,$ $51$ y $153,$ por lo que hay cinco posibilidades.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The arithmetic-series formula simplifies to $153=n(a+n-1).$ Thus $n$ must divide $153,$ and every such $n$ gives an integer $a.$ The divisors greater than $1$ are $3,$ $9,$ $17,$ $51,$ and $153,$ so there are five possibilities.

Therefore, the correct answer is D.

29.

En esta figura, $\angle RFS=\angle FDR,$ $FD=4$ pulgadas, $DR=6$ pulgadas, $FR=5$ pulgadas y $FS=7\dfrac12$ pulgadas. La longitud de $RS,$ en pulgadas, es:

In this figure $\angle RFS=\angle FDR,$ $FD=4$ inches, $DR=6$ inches, $FR=5$ inches, and $FS=7\dfrac12$ inches. The length of $RS,$ in inches, is:

indeterminada

undetermined

$4$

$5\dfrac12$

$6$

$6\dfrac14$

Respuesta: E

Conceptos:semejanza persecución de ángulos razón y proporción

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Compara los triángulos $RFS$ y $FDR$ usando los ángulos incluidos que están marcados como iguales

Compare triangles $RFS$ and $FDR$ around the marked equal angles

Pista grande:

Las razones de los lados adyacentes son $\frac{5}{4}=\frac{15}{12}$

The adjacent side ratios are $\frac{5}{4}=\frac{15}{12}$

Solución:

En torno a los ángulos incluidos iguales, $\begin{gathered} \frac{FR}{FD}=\frac54,\\ \frac{FS}{DR}=\frac{15}{12}=\frac54. \end{gathered}$ Así, $\triangle RFS\sim\triangle FDR$ por LAL. El lado $RS$ corresponde a $FR=5,$ de modo que $RS=(\frac{5}{4})\cdot5=\frac{25}{4}=6\frac14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

At the equal included angles, $\begin{gathered} \frac{FR}{FD}=\frac54,\\ \frac{FS}{DR}=\frac{15}{12}=\frac54. \end{gathered}$ Thus $\triangle RFS\sim\triangle FDR$ by SAS. Side $RS$ corresponds to $FR=5,$ so $RS=(\frac{5}{4})\cdot5=\frac{25}{4}=6\frac14.$

Therefore, the correct answer is E.

30.

Si

$\begin{aligned} (7+4\sqrt3)x^2 &+(2+\sqrt3)x\\ &-2=0, \end{aligned}$

la raíz mayor menos la raíz menor es:

If

$\begin{aligned} (7+4\sqrt3)x^2 &+(2+\sqrt3)x\\ &-2=0, \end{aligned}$

the larger root minus the smaller root is:

$-2+3\sqrt3$

$2-\sqrt3$

$6+3\sqrt3$

$6-3\sqrt3$

$3\sqrt3+2$

Respuesta: D

Conceptos:cuadrática radical manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Observa que $7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2$

Notice that $7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2$

Pista grande:

Para $Ax^2+Bx+C=0,$ la diferencia de raíces es $\frac{\sqrt{B^2-4AC}}{A}$

For $Ax^2+Bx+C=0,$ the root difference is $\frac{\sqrt{B^2-4AC}}{A}$

Solución:

Sea $A=7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2$ y $B=2+\sqrt3.$ El discriminante es $B^2-4A(-2)=A+8A=9A.$ Por tanto, la diferencia de raíces es $\frac{\sqrt{9A}}A=\frac3{2+\sqrt3}=6-3\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $A=7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2$ and $B=2+\sqrt3.$ The discriminant is $B^2-4A(-2)=A+8A=9A.$ Hence the root difference is $\frac{\sqrt{9A}}A=\frac3{2+\sqrt3}=6-3\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is D.

31.

Sea

$\begin{aligned} f(n) &=\frac{5+3\sqrt5}{10} \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n\\ &\quad+\frac{5-3\sqrt5}{10} \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n. \end{aligned}$

Entonces $f(n+1)-f(n-1),$ expresado en función de $f(n),$ es igual a:

Let

$\begin{aligned} f(n) &=\frac{5+3\sqrt5}{10} \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n\\ &\quad+\frac{5-3\sqrt5}{10} \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n. \end{aligned}$

Then $f(n+1)-f(n-1),$ expressed in terms of $f(n),$ equals:

$\dfrac12f(n)$

$f(n)$

$2f(n)+1$

$f^2(n)$

$\dfrac12\left(f^2(n)-1\right)$

Respuesta: B

Conceptos:recursión Fibonacci exponente

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Llama $\alpha$ y $\beta$ a las dos bases exponenciales

Call the two exponential bases $\alpha$ and $\beta$

Pista grande:

Ambas raíces de $r^2-r-1=0$ satisfacen $r^{n+1}-r^{n-1}=r^n$

Both roots of $r^2-r-1=0$ satisfy $r^{n+1}-r^{n-1}=r^n$

Solución:

Cada base $r=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$ satisface $r^2=r+1,$ por lo que $r^2-1=r.$ Entonces $r^{n+1}-r^{n-1}=r^{n-1}(r^2-1)=r^n.$ Al aplicar esta identidad término a término a la combinación lineal que define la función se obtiene $f(n+1)-f(n-1)=f(n).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each base $r=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$ satisfies $r^2=r+1,$ so $r^2-1=r.$ Therefore $r^{n+1}-r^{n-1}=r^{n-1}(r^2-1)=r^n.$ Applying this identity term by term to the defining linear combination gives $f(n+1)-f(n-1)=f(n).$

Thus, the correct answer is B.

32.

Si $\dfrac{a+b}{b+c}=\dfrac{c+d}{d+a},$ entonces:

If $\dfrac{a+b}{b+c}=\dfrac{c+d}{d+a},$ then:

$a$ debe ser igual a $c$

$a$ must equal $c$

$a+b+c+d$ debe ser igual a cero

$a+b+c+d$ must equal zero

$a=c$ o $a+b+c+d=0,$ o ambas

either $a=c$ or $a+b+c+d=0,$ or both

$a+b+c+d\ne0$ si $a=c$

$a+b+c+d\ne0$ if $a=c$

$a(b+c+d)=c(a+b+d)$

Respuesta: C

Conceptos:ecuación racional factorización propiedad del producto nulo

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Multiplica en cruz las dos fracciones

Cross-multiply the two fractions

Pista grande:

Pasa todos los términos a un lado y extrae el factor $a-c$

Move all terms to one side and factor out $a-c$

Solución:

La multiplicación cruzada da $(a+b)(a+d)=(b+c)(c+d).$ Al restar el lado derecho y factorizar se obtiene $(a-c)(a+b+c+d)=0.$ Por tanto, $a=c$ o la suma es cero, y ambas pueden ocurrir.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Cross-multiplication gives $(a+b)(a+d)=(b+c)(c+d).$ Subtracting the right side and factoring yields $(a-c)(a+b+c+d)=0.$ Hence either $a=c$ or the sum is zero, and both may occur.

Therefore, the correct answer is C.

33.

$P$ es un punto interior del rectángulo $ABCD$ tal que $PA=3$ pulgadas, $PD=4$ pulgadas y $PC=5$ pulgadas. Entonces $PB,$ en pulgadas, es:

$P$ is a point interior to rectangle $ABCD$ and such that $PA=3$ inches, $PD=4$ inches, and $PC=5$ inches. Then $PB,$ in inches, equals:

$2\sqrt3$

$3\sqrt2$

$3\sqrt3$

$4\sqrt2$

$2$

Respuesta: B

Conceptos:rectángulo Teorema de la bandera británica fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Usa la identidad del rectángulo $PA^2+PC^2=PB^2+PD^2$

Use the rectangle identity $PA^2+PC^2=PB^2+PD^2$

Pista grande:

Sustituye las tres distancias conocidas y despeja $PB^2$

Substitute the three known distances and solve for $PB^2$

Solución:

Para cualquier punto de un rectángulo, el teorema de la bandera británica da $PA^2+PC^2=PB^2+PD^2.$ Así, $9+25=PB^2+16,$ por lo que $PB^2=18$ y $PB=3\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For any point in a rectangle, the British flag theorem gives $PA^2+PC^2=PB^2+PD^2.$ Thus $9+25=PB^2+16,$ so $PB^2=18$ and $PB=3\sqrt2.$

Therefore, the correct answer is B.

34.

Si $n$ es múltiplo de $4,$ la suma

$\begin{aligned} s&=1+2i+3i^2+\cdots\\ &\quad+(n+1)i^n, \end{aligned}$

donde $i=\sqrt{-1},$ es igual a:

If $n$ is a multiple of $4,$ the sum

$\begin{aligned} s&=1+2i+3i^2+\cdots\\ &\quad+(n+1)i^n, \end{aligned}$

where $i=\sqrt{-1},$ equals:

$1+i$

$\dfrac12(n+2)$

$\dfrac12(n+2-ni)$

$\dfrac12\left[(n+1)(1-i)+2\right]$

$\dfrac18(n^2+8-4ni)$

Respuesta: C

Conceptos:número complejo raíces de la unidad sumatoria

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Agrupa los términos en bloques de cuatro potencias de $i$

Group the terms in blocks of four powers of $i$

Pista grande:

Cada bloque completo que comienza con el coeficiente $4j+1$ suma $-2-2i$

Each complete block beginning with coefficient $4j+1$ sums to $-2-2i$

Solución:

Escribe $n=4m.$ Para $j=0,\ldots,m-1,$ los cuatro términos con exponentes de $4j$ a $4j+3$ suman $\begin{aligned} &(4j+1)+(4j+2)i\\ &\quad-(4j+3)-(4j+4)i\\ &=-2-2i. \end{aligned}$ El término final es $4m+1.$ Por tanto, $\begin{aligned} s&=m(-2-2i)+(4m+1)\\ &=\frac{n+2-ni}{2}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Write $n=4m.$ For $j=0,\ldots,m-1,$ the four terms with exponents $4j$ through $4j+3$ sum to $\begin{aligned} &(4j+1)+(4j+2)i\\ &\quad-(4j+3)-(4j+4)i\\ &=-2-2i. \end{aligned}$ The final term is $4m+1.$ Therefore $\begin{aligned} s&=m(-2-2i)+(4m+1)\\ &=\frac{n+2-ni}{2}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

35.

Los lados de un triángulo tienen longitudes $13,$ $14,$ y $15.$ Las alturas del triángulo se cortan en el punto $H.$ Si $AD$ es la altura correspondiente al lado de longitud $14,$ ¿cuál es la razón $HD:HA$ ?

The sides of a triangle are of lengths $13,$ $14,$ and $15.$ The altitudes of the triangle meet at point $H.$ If $AD$ is the altitude to the side of length $14,$ what is the ratio $HD:HA?$

$3:11$

$5:11$

$1:2$

$2:3$

$25:33$

Respuesta: B

Conceptos:altura geometría analítica Fórmula de Herón

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

El triángulo de lados $13$ - $14$ - $15$ tiene área $84$ , así que la altura al lado $14$ es $12$

The $13$ - $14$ - $15$ triangle has area $84$ , so the altitude to side $14$ is $12$

Pista grande:

El pie de la altura divide el lado de longitud $14$ en segmentos de longitudes $5$ y $9$ ; usa coordenadas para ubicar $H$

The altitude foot divides the side of length $14$ into segments $5$ and $9$ ; use coordinates to locate $H$

Solución:

La fórmula de Herón da un área de $84,$ así que $AD=\frac{2(84)}{14}=12.$ La proyección del lado adyacente de longitud $13$ es $\sqrt{13^2-12^2}=5,$ lo que deja $9$ en la base. Tomemos $D=(0,0),\ A=(0,12),$ $B=(-5,0),\ C=(9,0).$ La recta $AC$ tiene pendiente $-\frac{4}{3},$ por lo que la altura que pasa por $B$ tiene pendiente $\frac{3}{4}$ y corta a $AD$ a una altura de $\frac{15}{4}.$ Por tanto, $\begin{gathered} HD=\frac{15}{4},\\ HA=12-\frac{15}{4}=\frac{33}{4}, \end{gathered}$ lo que da $HD:HA=5:11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Heron’s formula gives area $84,$ so $AD=\frac{2(84)}{14}=12.$ The adjacent $13$ -side has projection $\sqrt{13^2-12^2}=5,$ leaving $9$ on the base. Put $D=(0,0),\ A=(0,12),$ $B=(-5,0),\ C=(9,0).$ Line $AC$ has slope $-\frac{4}{3},$ so the altitude through $B$ has slope $\frac{3}{4}$ and meets $AD$ at height $\frac{15}{4}.$ Thus $\begin{gathered} HD=\frac{15}{4},\\ HA=12-\frac{15}{4}=\frac{33}{4}, \end{gathered}$ giving $HD:HA=5:11.$

Therefore, the correct answer is B.

36.

En esta figura, el radio del círculo es igual a la altura del triángulo equilátero $ABC.$ Se hace rodar el círculo a lo largo del lado $AB,$ manteniéndolo tangente a este en un punto variable $T$ y haciendo que corte las rectas $AC$ y $BC$ en los puntos variables $M$ y $N,$ respectivamente. Sea $n$ el número de grados del arco $MTN.$ Entonces, para todas las posiciones permitidas del círculo, $n$ :

In this figure the radius of the circle is equal to the altitude of the equilateral triangle $ABC.$ The circle is made to roll along the side $AB,$ remaining tangent to it at a variable point $T$ and intersecting lines $AC$ and $BC$ in variable points $M$ and $N,$ respectively. Let $n$ be the number of degrees in arc $MTN.$ Then $n,$ for all permissible positions of the circle:

varía de $30^\circ$ a $90^\circ$

varies from $30^\circ$ to $90^\circ$

varía de $30^\circ$ a $60^\circ$

varies from $30^\circ$ to $60^\circ$

varía de $60^\circ$ a $90^\circ$

varies from $60^\circ$ to $90^\circ$

permanece constante en $30^\circ$

remains constant at $30^\circ$

permanece constante en $60^\circ$

remains constant at $60^\circ$

Respuesta: E

Conceptos:círculo geometría analítica triángulo equilátero ángulo inscrito arco

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

El centro $O$ del círculo y el vértice $C$ están a la misma distancia de $AB$ , así que $CO\parallel AB$

The circle’s center $O$ and vertex $C$ are the same distance above $AB$ , so $CO\parallel AB$

Pista grande:

Prolonga $NC$ más allá de $C$ hasta que vuelva a cortar el círculo en $D$ , y luego usa la reflexión respecto de la recta $CO$

Extend $NC$ through $C$ to meet the circle again at $D$ , then use reflection across line $CO$

Solución:

Sea $O$ el centro del círculo. Tanto $O$ como $C$ están a una distancia de $AB,$ igual a la altura del triángulo, así que $CO\parallel AB.$ Prolonga $NC$ más allá de $C$ hasta que vuelva a cortar el círculo en $D.$ Como $CD$ tiene dirección opuesta a $CN,$ $\begin{aligned} \angle MCD &=180^\circ-\angle MCN\\ &=120^\circ. \end{aligned}$ La recta $CO,$ paralela a $AB,$ biseca este ángulo. La reflexión respecto de $CO$ deja fijo el círculo e intercambia los rayos $CM$ y $CD,$ por lo que intercambia $M$ y $D.$ Por tanto, $CM=CD,$ y el triángulo isósceles $MCD$ tiene ángulos de la base de $30^\circ.$

Como $D,C,N$ son colineales, $\angle MDN=30^\circ.$ Este ángulo inscrito subtiende el arco $MTN,$ cuya medida es, por tanto, $60^\circ$ para toda posición permitida del círculo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $O$ be the circle’s center. Both $O$ and $C$ are one triangle altitude above $AB,$ so $CO\parallel AB.$ Extend $NC$ through $C$ to meet the circle again at $D.$ Since $CD$ is opposite to $CN,$ $\begin{aligned} \angle MCD &=180^\circ-\angle MCN\\ &=120^\circ. \end{aligned}$ The line $CO,$ parallel to $AB,$ bisects this angle. Reflection across $CO$ fixes the circle and interchanges rays $CM$ and $CD,$ so it interchanges $M$ and $D.$ Hence $CM=CD,$ and isosceles triangle $MCD$ has base angles $30^\circ.$

Because $D,C,N$ are collinear, $\angle MDN=30^\circ.$ This inscribed angle subtends arc $MTN,$ whose measure is therefore $60^\circ$ for every permissible circle position.

Thus, the correct answer is E.

37.

Dados dos números positivos $a,$ $b$ tales que $a\lt b.$ Sea A.M. su media aritmética y sea G.M. su media geométrica positiva. Entonces A.M. menos G.M. siempre es menor que:

Given two positive numbers $a,$ $b$ such that $a\lt b.$ Let A.M. be their arithmetic mean and let G.M. be their positive geometric mean. Then A.M. minus G.M. is always less than:

$\dfrac{(b+a)^2}{ab}$

$\dfrac{(b+a)^2}{8b}$

$\dfrac{(b-a)^2}{ab}$

$\dfrac{(b-a)^2}{8a}$

$\dfrac{(b-a)^2}{8b}$

Respuesta: D

Conceptos:Desigualdad MA-MG desigualdad radical

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Reescribe $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}$ usando $\sqrt b-\sqrt a$

Rewrite $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}$ using $\sqrt b-\sqrt a$

Pista grande:

Factoriza $b-a=(\sqrt b-\sqrt a)(\sqrt b+\sqrt a)$ para comparar con la opción D

Factor $b-a=(\sqrt b-\sqrt a)(\sqrt b+\sqrt a)$ to compare with choice D

Solución:

Tenemos $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} =\frac{(\sqrt b-\sqrt a)^2}{2}.$ Tras cancelar el factor positivo $(\sqrt b-\sqrt a)^2,$ la comparación con la opción D se reduce a $\frac12 <\frac{(\sqrt b+\sqrt a)^2}{8a}.$ Esto es cierto porque $\sqrt b+\sqrt a\gt2\sqrt a.$ Por tanto, A.M. menos G.M. siempre es menor que la expresión de la opción D.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} =\frac{(\sqrt b-\sqrt a)^2}{2}.$ After canceling the positive factor $(\sqrt b-\sqrt a)^2,$ comparison with choice D reduces to $\frac12 <\frac{(\sqrt b+\sqrt a)^2}{8a}.$ This is true because $\sqrt b+\sqrt a\gt2\sqrt a.$ Thus A.M. minus G.M. is always less than the expression in choice D.

Therefore, the correct answer is D.

38.

Los lados $PQ$ y $PR$ del triángulo $PQR$ miden, respectivamente, $4$ pulgadas y $7$ pulgadas. La mediana $PM$ mide $3\dfrac12$ pulgadas. Entonces $QR,$ en pulgadas, mide:

The sides $PQ$ and $PR$ of triangle $PQR$ are respectively of lengths $4$ inches and $7$ inches. The median $PM$ is $3\dfrac12$ inches. Then $QR,$ in inches, is:

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Respuesta: D

Conceptos:mediana (geometría)Teorema de Stewart ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Usa el teorema de Apolonio para la mediana correspondiente a $QR$

Use Apollonius’s theorem for the median to $QR$

Pista grande:

Sustituye $PQ=4,\ PR=7,\ PM=\frac{7}{2}$

Substitute $PQ=4,\ PR=7,\ PM=\frac{7}{2}$

Solución:

El teorema de Apolonio da $\begin{aligned} QR^2 &=2(4^2+7^2)-4\left(\frac72\right)^2\\ &=81. \end{aligned}$ Por lo tanto, $QR=9.$

Así, la respuesta correcta es D.

Apollonius’s theorem gives $\begin{aligned} QR^2 &=2(4^2+7^2)-4\left(\frac72\right)^2\\ &=81. \end{aligned}$ Therefore $QR=9.$

Thus, the correct answer is D.

39.

Las longitudes de los lados del triángulo $ABC$ son $a,$ $b,$ $c,$ como se muestra, con $c\leq b\leq a.$ Se trazan rectas que pasan por el punto interior $P$ y por los vértices $A,$ $B,$ $C,$ y que cortan los lados opuestos en $A',$ $B',$ $C',$ respectivamente. Sea $s=AA'+BB'+CC'.$ Entonces, para toda posición del punto $P,$ $s$ es menor que:

The magnitudes of the sides of triangle $ABC$ are $a,$ $b,$ $c,$ as shown, with $c\leq b\leq a.$ Through interior point $P$ and the vertices $A,$ $B,$ $C,$ lines are drawn meeting the opposite sides in $A',$ $B',$ $C',$ respectively. Let $s=AA'+BB'+CC'.$ Then, for all positions of point $P,$ $s$ is less than:

$2a+b$

$2a+c$

$2b+c$

$a+2b$

$a+b+c$

Respuesta: A

Conceptos:argumento extremal acotación a casos límite desigualdad

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Un punto de un segmento está más cerca de un vértice fijo que el extremo más lejano de ese segmento

A point on a segment is closer to a fixed vertex than the farther endpoint of that segment

Pista grande:

Acota $AA'$ , $BB'$ y $CC'$ por separado usando las longitudes de sus lados adyacentes

Bound $AA'$ , $BB'$ , and $CC'$ separately using their adjacent side lengths

Solución:

Para un vértice fijo, la distancia al cuadrado es una función convexa a lo largo del lado opuesto, por lo que su máximo se alcanza en un extremo. Como el extremo de cada ceviana está en el interior de su lado, $\begin{gathered} AA'\lt\max(AB,AC)=b,\\ BB'\lt\max(BA,BC)=a,\\ CC'\lt\max(CA,CB)=a. \end{gathered}$ Al sumar se obtiene $s\lt2a+b.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For a fixed vertex, squared distance is a convex function along the opposite side, so its maximum occurs at an endpoint. Since each cevian endpoint is interior to its side, $\begin{gathered} AA'\lt\max(AB,AC)=b,\\ BB'\lt\max(BA,BC)=a,\\ CC'\lt\max(CA,CB)=a. \end{gathered}$ Adding gives $s\lt2a+b.$

Therefore, the correct answer is A.

40.

Un reloj se atrasa $2\dfrac12$ minutos por día. Se ajusta correctamente a la $1$ p. m. en marzo, el día $15.$ Sea $n$ la corrección positiva, en minutos, que debe sumarse a la hora indicada por el reloj en un momento dado. Cuando el reloj indica las $9$ a. m. en marzo, el día $21,$ $n$ es igual a:

A watch loses $2\dfrac12$ minutes per day. It is set right at $1$ P.M. on March $15.$ Let $n$ be the positive correction, in minutes, to be added to the time shown by the watch at a given time. When the watch shows $9$ A.M. on March $21,$ $n$ equals:

$14\dfrac{14}{23}$

$14\dfrac1{14}$

$13\dfrac{101}{115}$

$13\dfrac{83}{115}$

$13\dfrac{13}{23}$

Respuesta: A

Conceptos:reloj fecha y hora tasa fracción

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

El reloj avanza a $\frac{575}{576}$ de la velocidad del tiempo real

The watch advances $\frac{575}{576}$ as fast as real time

Pista grande:

Desde la $1$ p. m. indicada el $15$ de marzo hasta las $9$ a. m. indicadas el $21$ de marzo transcurren $8400$ minutos indicados

From the displayed $1$ P.M. on March $15$ to $9$ A.M. on March $21$ is $8400$ displayed minutes

Solución:

El reloj avanza a $\frac{575}{576}$ de la velocidad correcta. El tiempo transcurrido que muestra es de $5$ días y $20$ horas, es decir, $8400$ minutos. Por tanto, el tiempo real transcurrido es $8400(\frac{576}{575}),$ y la corrección es $\begin{aligned} n&=8400\left(\frac{576}{575}-1\right)\\ &=\frac{8400}{575} =\frac{336}{23}\\ &=14\frac{14}{23}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The watch runs at $\frac{575}{576}$ of the correct rate. The displayed elapsed time is $5$ days $20$ hours, or $8400$ minutes. Thus the real elapsed time is $8400(\frac{576}{575}),$ and the correction is $\begin{aligned} n&=8400\left(\frac{576}{575}-1\right)\\ &=\frac{8400}{575} =\frac{336}{23}\\ &=14\frac{14}{23}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

Problemas del 1964 AMC 12

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 940

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Pista grande: