Question

Dados dos números positivos $a,$ $b$ tales que $a\lt b.$ Sea A.M. su media aritmética y sea G.M. su media geométrica positiva. Entonces A.M. menos G.M. siempre es menor que:

Given two positive numbers $a,$ $b$ such that $a\lt b.$ Let A.M. be their arithmetic mean and let G.M. be their positive geometric mean. Then A.M. minus G.M. is always less than:

$\dfrac{(b+a)^2}{ab}$

$\dfrac{(b+a)^2}{8b}$

$\dfrac{(b-a)^2}{ab}$

$\dfrac{(b-a)^2}{8a}$

$\dfrac{(b-a)^2}{8b}$

Respuesta: D

Conceptos:Desigualdad MA-MG desigualdad radical

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Reescribe $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}$ usando $\sqrt b-\sqrt a$

Rewrite $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}$ using $\sqrt b-\sqrt a$

Pista grande:

Factoriza $b-a=(\sqrt b-\sqrt a)(\sqrt b+\sqrt a)$ para comparar con la opción D

Factor $b-a=(\sqrt b-\sqrt a)(\sqrt b+\sqrt a)$ to compare with choice D

Solución:

Tenemos $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} =\frac{(\sqrt b-\sqrt a)^2}{2}.$ Tras cancelar el factor positivo $(\sqrt b-\sqrt a)^2,$ la comparación con la opción D se reduce a $\frac12 <\frac{(\sqrt b+\sqrt a)^2}{8a}.$ Esto es cierto porque $\sqrt b+\sqrt a\gt2\sqrt a.$ Por tanto, A.M. menos G.M. siempre es menor que la expresión de la opción D.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} =\frac{(\sqrt b-\sqrt a)^2}{2}.$ After canceling the positive factor $(\sqrt b-\sqrt a)^2,$ comparison with choice D reduces to $\frac12 <\frac{(\sqrt b+\sqrt a)^2}{8a}.$ This is true because $\sqrt b+\sqrt a\gt2\sqrt a.$ Thus A.M. minus G.M. is always less than the expression in choice D.

Therefore, the correct answer is D.

1964 AMC 12 Problema 37

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 37 en otros años