Question

$ABCD$ es un cuadrado de lado unitario. Se toman los puntos $E$ y $F$ respectivamente sobre los lados $AB$ y $AD,$ de modo que $AE=AF$ y el cuadrilátero $CDFE$ tenga área máxima. En unidades cuadradas, esta área máxima es:

$ABCD$ is a square with side of unit length. Points $E$ and $F$ are taken respectively on sides $AB$ and $AD$ so that $AE=AF$ and the quadrilateral $CDFE$ has maximum area. In square units this maximum area is:

$\dfrac12$

$\dfrac9{16}$

$\dfrac{19}{32}$

$\dfrac58$

$\dfrac23$

Respuesta: D

Conceptos:área fórmula del cordón completar el cuadrado optimización

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Sea $AE=AF=t$ y usa coordenadas o la fórmula del zapatero

Let $AE=AF=t$ and use coordinates or the shoelace formula

Pista grande:

El área se convierte en $\frac12(1+t-t^2);$ completa el cuadrado

The area becomes $\frac12(1+t-t^2)$ ; complete the square

Solución:

Fija $A=(0,0),$ $B=(1,0),$ $C=(1,1),$ y $D=(0,1).$ Entonces $E=(t,0)$ y $F=(0,t).$ La fórmula del zapatero da $\begin{aligned} [CDFE]&=\frac{1+t-t^2}{2}\\ &=\frac58-\frac12 \left(t-\frac12\right)^2. \end{aligned}$ Su máximo es $\frac{5}{8}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Set $A=(0,0),$ $B=(1,0),$ $C=(1,1),$ and $D=(0,1).$ Then $E=(t,0)$ and $F=(0,t).$ The shoelace formula gives $\begin{aligned} [CDFE]&=\frac{1+t-t^2}{2}\\ &=\frac58-\frac12 \left(t-\frac12\right)^2. \end{aligned}$ Its maximum is $\frac{5}{8}.$

Thus, the correct answer is D.

1962 AMC 12 Problema 37

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 37 en otros años