Question

Un número que al dividirse entre $10$ deja residuo $9,$ al dividirse entre $9$ deja residuo $8,$ al dividirse entre $8$ deja residuo $7,$ y así sucesivamente, hasta que al dividirse entre $2$ deja residuo $1,$ es:

A number which when divided by $10$ leaves a remainder of $9,$ when divided by $9$ leaves a remainder of $8,$ by $8$ leaves a remainder of $7,$ etc., down to where, when divided by $2,$ it leaves a remainder of $1,$ is:

$59$

$419$

$1259$

$2519$

Ninguna de las anteriores

None of these answers

Respuesta: D

Conceptos:mínimo común múltiplo aritmética modular

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Al sumar $1$ al número buscado se eliminan todos los residuos indicados

Adding $1$ to the desired number removes every listed remainder

Pista grande:

Halla $\operatorname{lcm}(2,3,\ldots,10)$

Find $\operatorname{lcm}(2,3,\ldots,10)$

Solución:

Si el número es $N,$ entonces $N+1$ es divisible por todos los enteros desde $2$ hasta $10.$ Su mínimo común múltiplo es $2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7=2520.$ Por lo tanto, el menor número positivo que satisface todas las condiciones es $N=2520-1=2519.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If the number is $N,$ then $N+1$ is divisible by every integer from $2$ through $10.$ Their least common multiple is $2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7=2520.$ Thus the least positive number fitting all the conditions is $N=2520-1=2519.$

Thus, the correct answer is D.

1951 AMC 12 Problema 37

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 37 en otros años