Question

有一个数，除以 $10$ 余 $9$ ，除以 $9$ 余 $8$ ，除以 $8$ 余 $7$ ，依此类推，直到除以 $2$ 余 $1$ 。这个数是：

A number which when divided by $10$ leaves a remainder of $9,$ when divided by $9$ leaves a remainder of $8,$ by $8$ leaves a remainder of $7,$ etc., down to where, when divided by $2,$ it leaves a remainder of $1,$ is:

$59$

$419$

$1259$

$2519$

以上答案均不正确

None of these answers

答案：D

知识点：最小公倍数模运算

难度评级：1580

小提示：

给所求数加 $1$ ，即可消去每个条件中的余数

Adding $1$ to the desired number removes every listed remainder

大提示：

求 $\operatorname{lcm}(2,3,\ldots,10)$

Find $\operatorname{lcm}(2,3,\ldots,10)$

解答：

若这个数为 $N$ ，则 $N+1$ 能被从 $2$ 到 $10$ 的每个整数整除。这些整数的最小公倍数为 $2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7=2520\text{。}$ 因此，满足所有条件的最小正数为 $N=2520-1=2519$ 。

因此，正确答案是 D。

If the number is $N,$ then $N+1$ is divisible by every integer from $2$ through $10.$ Their least common multiple is $2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7=2520.$ Thus the least positive number fitting all the conditions is $N=2520-1=2519.$

Thus, the correct answer is D.

1951 AMC 12 第 37 题

答案：D

难度评级：1580

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 37 题