Question

给定两个正数 $a$ 、 $b$ ，且 $a\lt b$ 。设它们的算术平均数为 A.M.，正的几何平均数为 G.M.。那么 A.M. 与 G.M. 之差总小于：

Given two positive numbers $a,$ $b$ such that $a\lt b.$ Let A.M. be their arithmetic mean and let G.M. be their positive geometric mean. Then A.M. minus G.M. is always less than:

$\dfrac{(b+a)^2}{ab}$

$\dfrac{(b+a)^2}{8b}$

$\dfrac{(b-a)^2}{ab}$

$\dfrac{(b-a)^2}{8a}$

$\dfrac{(b-a)^2}{8b}$

答案：D

知识点：算术-几何平均不等式不等式根式

难度评级：1670

小提示：

用 $\sqrt b-\sqrt a$ 改写 $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}$

Rewrite $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}$ using $\sqrt b-\sqrt a$

大提示：

将 $b-a=(\sqrt b-\sqrt a)(\sqrt b+\sqrt a)$ 因式分解，再与选项 D 比较

Factor $b-a=(\sqrt b-\sqrt a)(\sqrt b+\sqrt a)$ to compare with choice D

解答：

我们有 $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} =\frac{(\sqrt b-\sqrt a)^2}{2}\text{。}$ 约去正因子 $(\sqrt b-\sqrt a)^2$ 后，与选项 D 的比较化为 $\frac12 <\frac{(\sqrt b+\sqrt a)^2}{8a}\text{。}$ 由于 $\sqrt b+\sqrt a\gt2\sqrt a$ ，这个不等式成立。因此，A.M. 与 G.M. 之差总小于选项 D 中的式子。

所以，正确答案是 D。

We have $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} =\frac{(\sqrt b-\sqrt a)^2}{2}.$ After canceling the positive factor $(\sqrt b-\sqrt a)^2,$ comparison with choice D reduces to $\frac12 <\frac{(\sqrt b+\sqrt a)^2}{8a}.$ This is true because $\sqrt b+\sqrt a\gt2\sqrt a.$ Thus A.M. minus G.M. is always less than the expression in choice D.

Therefore, the correct answer is D.

1964 AMC 12 第 37 题

答案：D

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 37 题