1964 AMC 12 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

$\left[\log_{10}\left(5\log_{10}100\right)\right]^2$ 的值是多少？

What is the value of $\left[\log_{10}\left(5\log_{10}100\right)\right]^2?$

$\log_{10}50$

$25$

$10$

$2$

$1$

知识点：对数运算顺序指数

难度评级：1030

小提示：

先计算内层的对数

Evaluate the inner logarithm first

大提示：

乘以 $5$ 后，取以 $10$ 为底的对数，再平方

After multiplying by $5,$ take the base- $10$ logarithm and then square

解答：

由于 $\log_{10}100=2$ ，方括号内的表达式为 $\log_{10}(5\cdot2)=\log_{10}10=1$ 。它的平方是 $1$ 。

因此，正确答案是 E。

Since $\log_{10}100=2,$ the expression inside the square brackets is $\log_{10}(5\cdot2)=\log_{10}10=1.$ Its square is $1.$

Therefore, the correct answer is E.

2.

方程 $x^2-4y^2=0$ 的图像是：

The graph of $x^2-4y^2=0$ is:

一条抛物线

a parabola

一个椭圆

an ellipse

两条直线

a pair of straight lines

一个点

a point

以上都不是

none of these

知识点：因式分解平方差坐标几何

难度评级：940

小提示：

将左边按平方差分解因式

Factor the left side as a difference of squares

大提示：

分别令两个一次因式等于零

Set each linear factor equal to zero

解答：

分解因式得 $x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y)\text{。}$ 因此每个点都位于 $x=2y$ 或 $x=-2y$ 上，图像是两条直线。

因此，正确答案是 C。

Factoring gives $x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y).$ Thus every point lies on $x=2y$ or $x=-2y,$ a pair of straight lines.

Therefore, the correct answer is C.

3.

正整数 $x$ 除以正整数 $y$ 时，商为 $u$ ，余数为 $v$ ，其中 $u$ 和 $v$ 都是整数。那么 $x+2uy$ 除以 $y$ 的余数是多少？

When a positive integer $x$ is divided by a positive integer $y,$ the quotient is $u$ and the remainder is $v,$ where $u$ and $v$ are integers. What is the remainder when $x+2uy$ is divided by $y?$

$0$

$2u$

$3u$

$v$

$2v$

知识点：模运算整数运算换元法

难度评级：960

小提示：

写成 $x=uy+v$

Write $x=uy+v$

大提示：

加上 $y$ 的倍数不会改变除以 $y$ 的余数

Adding a multiple of $y$ does not change the remainder upon division by $y$

解答：

根据带余除法， $x=uy+v$ 。因此 $x+2uy=3uy+v\text{。}$ 第一项能被 $y$ 整除，所以余数是 $v$ 。

因此，正确答案是 D。

The division algorithm gives $x=uy+v.$ Hence $x+2uy=3uy+v.$ The first term is divisible by $y,$ so the remainder is $v.$

Therefore, the correct answer is D.

4.

表达式

$\frac{P+Q}{P-Q}-\frac{P-Q}{P+Q}$

其中 $P=x+y$ ， $Q=x-y$ ，它等价于：

The expression

$\frac{P+Q}{P-Q}-\frac{P-Q}{P+Q},$

where $P=x+y$ and $Q=x-y,$ is equivalent to:

$\dfrac{x^2-y^2}{xy}$

$\dfrac{x^2-y^2}{2xy}$

$1$

$\dfrac{x^2+y^2}{xy}$

$\dfrac{x^2+y^2}{2xy}$

知识点：代数变形换元法平方差

难度评级：1210

小提示：

先代入 $P+Q=2x$ 和 $P-Q=2y$

First substitute $P+Q=2x$ and $P-Q=2y$

大提示：

通分化简 $\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$

Simplify $\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$ using a common denominator

解答：

由于 $P+Q=2x$ 且 $P-Q=2y$ ，原式化为 $\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{x^2-y^2}{xy}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

Since $P+Q=2x$ and $P-Q=2y,$ the expression becomes $\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{x^2-y^2}{xy}.$

Therefore, the correct answer is A.

5.

若 $y$ 与 $x$ 成正比，且 $x=4$ 时 $y=8$ ，那么 $x=-8$ 时 $y$ 的值是：

If $y$ varies directly as $x,$ and if $y=8$ when $x=4,$ the value of $y$ when $x=-8$ is:

$-16$

$-4$

$-2$

$4k$ ，其中 $k=\pm1$ 、 $\pm2$ 、 $\ldots$

$4k,$ $k=\pm1,$ $\pm2,$ $\ldots$

$16k$ ，其中 $k=\pm1$ 、 $\pm2$ 、 $\ldots$

$16k,$ $k=\pm1,$ $\pm2,$ $\ldots$

知识点：比与比例速率换元法

难度评级：890

小提示：

将正比例关系写成 $y=kx$

Write direct variation as $y=kx$

大提示：

用第一组数值求出 $k$

Use the first pair to find $k$

解答：

正比例关系给出 $y=kx$ 。由 $8=4k$ 得 $k=2$ 。因此当 $x=-8$ 时， $y=2(-8)=-16$ 。

因此，正确答案是 A。

Direct variation gives $y=kx.$ From $8=4k,$ $k=2.$ Therefore, when $x=-8,$ $y=2(-8)=-16.$

Thus, the correct answer is A.

6.

若 $x$ 、 $2x+2$ 、 $3x+3$ 、 $\ldots$ 构成等比数列，则第四项是：

If $x,$ $2x+2,$ $3x+3,$ $\ldots$ are in geometric progression, the fourth term is:

$-27$

$-13\dfrac12$

$12$

$13\dfrac12$

$27$

知识点：等比数列二次方程比与比例

难度评级：1430

小提示：

三个连续非零项中，中间一项的平方等于相邻两项的乘积

For three consecutive nonzero terms, the middle term squared equals the product of its neighbors

大提示：

求出 $x$ 后，将第三项乘以公比

After finding $x,$ multiply the third term by the common ratio

解答：

等比中项关系给出 $(2x+2)^2=x(3x+3)\text{。}$ 按本试题对等比数列的公比约定，相邻项之比必须有定义，所以 $x\ne-1$ 。两边除以 $x+1$ ，得 $4(x+1)=3x$ ，从而 $x=-4$ 。前三项为 $-4,-6,-9$ ，公比为 $\frac{3}{2}$ 。第四项是 $-9(\frac{3}{2})=-\frac{27}{2}$ 。

因此，正确答案是 B。

The geometric-mean relation gives $(2x+2)^2=x(3x+3).$ Under the examination’s ratio convention for a geometric progression, the consecutive ratios must be defined, so $x\ne-1.$ Dividing by $x+1$ yields $4(x+1)=3x$ and $x=-4.$ The first three terms are $-4,-6,-9,$ with ratio $\frac{3}{2}.$ The fourth is $-9(\frac{3}{2})=-\frac{27}{2}.$

Therefore, the correct answer is B.

7.

设 $n$ 为使下列方程有相等两根的实数 $p$ 的个数：

$x^2-px+p=0$

则 $n$ 的值为：

Let $n$ be the number of real values of $p$ for which the roots of

$x^2-px+p=0$

are equal. Then $n$ equals:

$0$

$1$

$2$

大于 $2$ 的有限数

a finite number greater than $2$

无穷大

an infinitely large number

知识点：二次方程零积性质

难度评级：1140

小提示：

两根相等时判别式为零

Equal roots make the discriminant zero

大提示：

解方程 $p^2-4p=0$

Solve $p^2-4p=0$

解答：

两根相等要求 $(-p)^2-4p=p(p-4)=0\text{。}$ 因此 $p=0$ 或 $p=4$ ，共有两个实数值。

因此，正确答案是 C。

Equal roots require $(-p)^2-4p=p(p-4)=0.$ Thus $p=0$ or $p=4,$ giving two real values.

Therefore, the correct answer is C.

8.

方程

$\begin{aligned} &\left(x-\frac34\right)\left(x-\frac34\right)\\ &\quad+\left(x-\frac34\right) \left(x-\frac12\right)=0 \end{aligned}$

的较小根是：

The smaller root of the equation

$\begin{aligned} &\left(x-\frac34\right)\left(x-\frac34\right)\\ &\quad+\left(x-\frac34\right) \left(x-\frac12\right)=0 \end{aligned}$

is:

$-\dfrac34$

$\dfrac12$

$\dfrac58$

$\dfrac34$

$1$

知识点：因式分解一次方程零积性质

难度评级：1110

小提示：

提取公因式 $x-\frac34$

Factor out the common expression $x-\frac34$

大提示：

剩下的一次因式是 $2x-\frac54$

The remaining linear factor is $2x-\frac54$

解答：

合并两项并分解因式得 $\left(x-\frac34\right)\left(2x-\frac54\right)=0\text{。}$ 因此两根为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{5}{8}$ ，其中 $\frac{5}{8}$ 较小。

因此，正确答案是 C。

Combining the two terms and factoring gives $\left(x-\frac34\right)\left(2x-\frac54\right)=0.$ Hence the roots are $\frac{3}{4}$ and $\frac{5}{8},$ of which $\frac{5}{8}$ is smaller.

Therefore, the correct answer is C.

9.

一名批发商按 $\$24$ 再减去 $12\dfrac12\%$ 的价格买入一件商品。他想在标价打 $20\%$ 折扣后，仍获得相当于成本 $33\dfrac13\%$ 的利润。这件商品应标价多少美元？

A jobber buys an article at $\$24$ less $12\dfrac12\%.$ He then wishes to sell the article at a gain of $33\dfrac13\%$ of his cost after allowing a $20\%$ discount on his marked price. At what price, in dollars, should the article be marked?

$25.20$

$30.00$

$33.60$

$40.00$

以上都不是

none of these

知识点：百分数钱币比与比例

难度评级：1450

小提示：

先算折扣后的成本，再增加三分之一

Compute the discounted cost first, then increase it by one third

大提示：

售价是标价的 $80\%$

The selling price is $80\%$ of the marked price

解答：

成本为 $24(1-\frac{1}{8})=21$ 美元。增加三分之一的利润后，目标售价为 $21(\frac{4}{3})=28$ 美元。设标价为 $M$ ，则 $0.8M=28$ ，所以 $M=35$ 。选项中没有这个数值。

因此，正确答案是 E。

The cost is $24(1-\frac{1}{8})=21$ dollars. A gain of one third makes the desired selling price $21(\frac{4}{3})=28$ dollars. If $M$ is the marked price, then $0.8M=28,$ so $M=35.$ This is not listed.

Thus, the correct answer is E.

10.

一个正方形的边长为 $s$ 。以它的一条对角线为底，作一个三边互不相等且面积与正方形相等的三角形。这个三角形对该底边的高为：

Given a square with side of length $s.$ On a diagonal as base a triangle with three unequal sides is constructed so that its area equals that of the square. The length of the altitude drawn to the base is:

$s\sqrt2$

$\dfrac{s}{\sqrt2}$

$2s$

$2\sqrt{s}$

$\dfrac2{\sqrt{s}}$

知识点：正方形（几何）对角线三角形面积根式

难度评级：1110

小提示：

正方形的对角线长为 $s\sqrt2$

The square’s diagonal has length $s\sqrt2$

大提示：

列方程 $\frac12(s\sqrt2)h=s^2$

Set $\frac12(s\sqrt2)h=s^2$

解答：

三角形的底是正方形的对角线，长为 $s\sqrt2$ 。设高为 $h$ ，由面积相等得 $\frac12(s\sqrt2)h=s^2\text{，}$ 所以 $h=s\sqrt2$ 。

因此，正确答案是 A。

The triangle’s base is the square’s diagonal, $s\sqrt2.$ If its altitude is $h,$ equality of areas gives $\frac12(s\sqrt2)h=s^2,$ so $h=s\sqrt2.$

Therefore, the correct answer is A.

11.

已知 $2^x=8^{y+1}$ 且 $9^y=3^{x-9}$ ，求 $x+y$ 的值。

Given $2^x=8^{y+1}$ and $9^y=3^{x-9},$ find the value of $x+y.$

$18$

$21$

$24$

$27$

$30$

知识点：指数方程组换元法

难度评级：1430

小提示：

将 $8$ 写成 $2^3$ ，并将 $9$ 写成 $3^2$

Rewrite $8$ as $2^3$ and $9$ as $3^2$

大提示：

比较指数，得到关于 $x$ 和 $y$ 的两个一次方程

Equate exponents to obtain two linear equations in $x$ and $y$

解答：

将两个方程写成底数相同的形式，得 $\begin{aligned} x&=3y+3,\\ 2y&=x-9\text{。} \end{aligned}$ 代入可得 $y=6$ 且 $x=21$ ，所以 $x+y=27$ 。

因此，正确答案是 D。

Writing both equations with common bases gives $\begin{aligned} x&=3y+3,\\ 2y&=x-9. \end{aligned}$ Substitution yields $y=6$ and $x=21,$ so $x+y=27.$

Therefore, the correct answer is D.

12.

下列哪一项是此命题的否定：对于某个集合中的所有 $x$ ，都有 $x^2\gt0$ ？

Which of the following is the negation of the statement: For all $x$ of a certain set, $x^2\gt0?$

对所有 $x$ ， $x^2\lt0$

For all $x,$ $x^2\lt0$

对所有 $x$ ， $x^2\leq0$

For all $x,$ $x^2\leq0$

不存在 $x$ 使 $x^2\gt0$

For no $x,$ $x^2\gt0$

存在某个 $x$ 使 $x^2\gt0$

For some $x,$ $x^2\gt0$

存在某个 $x$ 使 $x^2\leq0$

For some $x,$ $x^2\leq0$

知识点：逻辑推理不等式反例

难度评级：1140

小提示：

“对所有”的否定以“存在某个”开头

The negation of “for all” begins with “for some”

大提示：

$x^2\gt0$ 的否定是 $x^2\leq0$

Negating $x^2\gt0$ gives $x^2\leq0$

解答：

全称命题的否定是存在命题，而 $x^2\gt0$ 的否定是 $x^2\leq0$ 。因此否定命题是：存在某个 $x$ ，使 $x^2\leq0$ 。

因此，正确答案是 E。

The negation of a universal statement is an existential statement, and the negation of $x^2\gt0$ is $x^2\leq0.$ Thus the negation is: for some $x,$ $x^2\leq0.$

Therefore, the correct answer is E.

13.

一个三角形的三边长为 $8$ 、 $13$ 和 $17$ ，其内切圆与长度为 $8$ 的边相切，并将该边分成长度为 $r$ 和 $s$ 的两段，其中 $r\lt s$ 。求 $r:s$ 。

A circle is inscribed in a triangle with side lengths $8,$ $13,$ and $17.$ Let the segments of the side of length $8,$ made by a point of tangency, be $r$ and $s,$ with $r\lt s.$ What is the ratio $r:s?$

$1:3$

$2:5$

$1:2$

$2:3$

$3:4$

知识点：内切圆、内心与内切圆半径切线比与比例

难度评级：1210

小提示：

计算三角形的半周长

Compute the semiperimeter of the triangle

大提示：

与某顶点相邻的切线段长等于半周长减去该顶点的对边长

A tangency segment adjacent to a vertex equals the semiperimeter minus the opposite side

解答：

半周长为 $\frac{8+13+17}{2}=19$ 。长度为 $8$ 的边两端对应的切线段长分别为 $19-13=6$ 和 $19-17=2$ 。因此 $r:s=2:6=1:3$ 。

因此，正确答案是 A。

The semiperimeter is $\frac{8+13+17}{2}=19.$ At the endpoints of the side of length $8,$ the tangent lengths are $19-13=6$ and $19-17=2.$ Thus $r:s=2:6=1:3.$

Therefore, the correct answer is A.

14.

一位农民买了 $749$ 只羊。他卖出其中 $700$ 只，所得正好等于购买 $749$ 只羊的总成本。剩余 $49$ 只羊的每只售价与前 $700$ 只相同。相对于成本，整笔交易的利润百分比是：

A farmer bought $749$ sheep. He sold $700$ of them for the price paid for the $749$ sheep. The remaining $49$ sheep were sold at the same price per head as the other $700.$ Based on the cost, the percent gain on the entire transaction is:

$6.5$

$6.75$

$7$

$7.5$

$8$

知识点：百分数速率钱币

难度评级：1180

小提示：

设总购买成本为 $C$

Let the total purchase cost be $C$

大提示：

每只羊的售价为 $\frac{C}{700}$

The selling price per sheep is $\frac{C}{700}$

解答：

设总成本为 $C$ 。由于前 $700$ 只羊共卖得 $C$ ，每只售价为 $\frac{C}{700}$ 。因此总收入为 $\frac{749C}{700}=1.07C$ ，利润为 $7\%$ 。

因此，正确答案是 C。

Let the total cost be $C.$ Since the first $700$ sheep sell for $C,$ each sheep sells for $\frac{C}{700}.$ Total revenue is therefore $\frac{749C}{700}=1.07C,$ a $7\%$ gain.

Thus, the correct answer is C.

15.

一条经过点 $(-a,0)$ 的直线在第二象限截出一个面积为 $T$ 的三角形区域。该直线的方程是：

A line through the point $(-a,0)$ cuts from the second quadrant a triangular region with area $T.$ The equation of the line is:

$2Tx+a^2y+2aT=0$

$2Tx-a^2y+2aT=0$

$2Tx+a^2y-2aT=0$

$2Tx-a^2y-2aT=0$

以上都不是

none of these

知识点：斜率坐标几何三角形面积

难度评级：1500

小提示：

若正的 $y$ 轴截距为 $b$ ，则 $\frac12ab=T$

If the positive $y$ -intercept is $b,$ then $\frac12ab=T$

大提示：

使用截距式 $-\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

Use the intercept form $-\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

解答：

设 $y$ 轴截距为 $b$ 。第二象限内三角形的面积为 $\frac{ab}{2}=T$ ，所以 $b=\frac{2T}{a}$ 。直线的截距式为 $\frac{x}{-a}+\frac{y}{\frac{2T}{a}}=1\text{。}$ 消去分母得 $2Tx-a^2y+2aT=0$ 。

因此，正确答案是 B。

Let the $y$ -intercept be $b.$ The second-quadrant triangle has area $\frac{ab}{2}=T,$ so $b=\frac{2T}{a}.$ The intercept form is $\frac{x}{-a}+\frac{y}{\frac{2T}{a}}=1.$ Clearing denominators gives $2Tx-a^2y+2aT=0.$

Therefore, the correct answer is B.

16.

设 $f(x)=x^2+3x+2$ ，并设 $S$ 为整数集合 $\{0,1,2,\ldots,25\}$ 。使 $f(s)$ 除以 $6$ 的余数为零的 $S$ 中元素 $s$ 的个数是：

Let $f(x)=x^2+3x+2$ and let $S$ be the set of integers $\{0,1,2,\ldots,25\}.$ The number of members $s$ of $S$ such that $f(s)$ has remainder zero when divided by $6$ is:

$25$

$22$

$21$

$18$

$17$

知识点：模运算整除性区间内整数计数

难度评级：1450

小提示：

将 $f(s)$ 分解为 $(s+1)(s+2)$

Factor $f(s)$ as $(s+1)(s+2)$

大提示：

该乘积总是偶数；判断 $s$ 模 $3$ 的哪一类余数不符合

The product is always even; determine which residue of $s$ modulo $3$ fails

解答：

有 $f(s)=(s+1)(s+2)$ ，这是两个连续整数的乘积，所以总是偶数。除非 $s\equiv0\pmod3$ ，否则它能被 $3$ 整除。在 $0,1,\ldots,25$ 中，有九个数是 $3$ 的倍数。因此有 $26-9=17$ 个数符合条件。

因此，正确答案是 E。

We have $f(s)=(s+1)(s+2),$ a product of consecutive integers, so it is always even. It is divisible by $3$ unless $s\equiv0\pmod3.$ Among $0,1,\ldots,25,$ nine values are multiples of $3.$ Thus $26-9=17$ values work.

Therefore, the correct answer is E.

17.

给定互不相同的点 $P(x_1,y_1)$ 、 $Q(x_2,y_2)$ 和 $R(x_1+x_2,y_1+y_2)$ 。将这些点彼此连接，并分别与原点 $O$ 连接。在三种可能中： $(1)$ 平行四边形、 $(2)$ 直线、 $(3)$ 梯形，根据点 $P$ 、 $Q$ 和 $R$ 的位置，图形 $OPRQ$ 可以是：

Given the distinct points $P(x_1,y_1),$ $Q(x_2,y_2)$ and $R(x_1+x_2,y_1+y_2).$ Line segments are drawn connecting these points to each other and to the origin $O.$ Of the three possibilities: $(1)$ parallelogram, $(2)$ straight line, $(3)$ trapezoid, figure $OPRQ,$ depending upon the location of the points $P,$ $Q,$ and $R,$ can be:

仅 $(1)$

$(1)$ only

仅 $(2)$

$(2)$ only

仅 $(3)$

$(3)$ only

仅 $(1)$ 或 $(2)$

$(1)$ or $(2)$ only

三种都可以

all three

知识点：向量平行四边形逻辑推理

难度评级：1450

小提示：

将位置向量关系理解为 $R=P+Q$

Interpret the position vectors as $R=P+Q$

大提示：

分别讨论向量 $P$ 和 $Q$ 线性无关与线性相关的情形

Separate the cases in which the vectors $P$ and $Q$ are independent or dependent

解答：

当 $P$ 和 $Q$ 不共线时，关系 $\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$ 使 $OPRQ$ 的两组对边分别平行且相等，所以图形是平行四边形。若两个向量线性相关，则四点都在一条直线上。它不可能是严格意义上的梯形。

因此，正确答案是 D。

The relation $\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$ makes opposite sides of $OPRQ$ parallel and equal whenever $P$ and $Q$ are not collinear, so the figure is a parallelogram. If the two vectors are dependent, all four points lie on a straight line. It cannot be a genuine trapezoid.

Thus, the correct answer is D.

18.

设使 $3x+by+c=0$ 与 $cx-2y+12=0$ 图像相同的 $b$ 、 $c$ 数值对的个数为 $n$ 。则 $n$ 是：

Let $n$ be the number of pairs of values of $b$ and $c$ such that $3x+by+c=0$ and $cx-2y+12=0$ have the same graph. Then $n$ is:

$0$

$1$

$2$

有限但大于 $2$

finite but more than $2$

大于任何有限数

greater than any finite number

知识点：方程组斜率逻辑推理

难度评级：1500

小提示：

表示同一直线的两个方程，其三项系数成比例

Coincident line equations have proportional coefficient triples

大提示：

令 $(c,-2,12)=k(3,b,c)$ ，并利用第一、第三个分量

Set $(c,-2,12)=k(3,b,c)$ and use the first and third coordinates

解答：

要使图像相同，必须有 $(c,-2,12)=k(3,b,c)$ 。因此 $c=3k$ 且 $12=kc=3k^2$ ，所以 $k=\pm2$ 。每个值都通过 $b=-\frac{2}{k}$ 和 $c=3k$ 确定一组数值。因此共有两对。

因此，正确答案是 C。

For the same graph, $(c,-2,12)=k(3,b,c).$ Thus $c=3k$ and $12=kc=3k^2,$ so $k=\pm2.$ Each value determines one pair through $b=-\frac{2}{k}$ and $c=3k.$ Hence there are two pairs.

Therefore, the correct answer is C.

19.

若 $2x-3y-z=0$ 且 $x+3y-14z=0$ ，并且 $z\ne0$ ，则 $\dfrac{x^2+3xy}{y^2+z^2}$ 的数值为：

If $2x-3y-z=0$ and $x+3y-14z=0,$ $z\ne0,$ the numerical value of $\dfrac{x^2+3xy}{y^2+z^2}$ is:

$7$

$2$

$0$

$-\dfrac{20}{17}$

$-2$

知识点：方程组换元法代数变形

难度评级：1210

小提示：

解两个一次方程，用 $z$ 表示 $x$ 和 $y$

Solve both linear equations for $x$ and $y$ in terms of $z$

大提示：

由方程可得 $y=3z$ 和 $x=5z$

The equations give $y=3z$ and $x=5z$

解答：

解方程得 $y=3z$ 和 $x=5z$ 。因此 $\frac{x^2+3xy}{y^2+z^2}=\frac{25z^2+45z^2}{9z^2+z^2}=7\text{。}$

因此，正确答案是 A。

Solving the equations gives $y=3z$ and $x=5z.$ Therefore $\frac{x^2+3xy}{y^2+z^2}=\frac{25z^2+45z^2}{9z^2+z^2}=7.$

Thus, the correct answer is A.

20.

$(x-2y)^{18}$ 展开式中所有项的数值系数之和是：

The sum of the numerical coefficients of all the terms in the expansion of $(x-2y)^{18}$ is:

$0$

$1$

$19$

$-1$

$-19$

知识点：多项式换元法二项式定理

难度评级：1030

小提示：

令每个变量都等于 $1$ ，即可求出多项式的系数和

A polynomial’s coefficient sum is found by setting every variable equal to $1$

大提示：

计算 $(1-2)^{18}$

Evaluate $(1-2)^{18}$

解答：

令 $x=y=1$ 。所有数值系数之和就是 $(1-2)^{18}=(-1)^{18}=1\text{。}$

因此，正确答案是 B。

Set $x=y=1.$ The sum of all numerical coefficients is then $(1-2)^{18}=(-1)^{18}=1.$

Therefore, the correct answer is B.

21.

若 $\log_{b^2}x+\log_{x^2}b=1$ ，其中 $b\gt0$ 、 $b\ne1$ 且 $x\ne1$ ，则 $x$ 等于：

If $\log_{b^2}x+\log_{x^2}b=1,$ where $b\gt0,$ $b\ne1,$ and $x\ne1,$ then $x$ equals:

$\dfrac1{b^2}$

$\dfrac1b$

$b^2$

$b$

$\sqrt b$

知识点：对数换元法代数变形

难度评级：1450

小提示：

令 $t=\log_bx$

Let $t=\log_bx$

大提示：

方程化为 $\frac t2+\frac1{2t}=1$

The equation becomes $\frac t2+\frac1{2t}=1$

解答：

令 $t=\log_bx$ 。则 $\log_{b^2}x=\frac{t}{2}$ 且 $\log_{x^2}b=\frac{1}{2t}$ 。因此 $t+\frac1t=2\text{，}$ 所以 $(t-1)^2=0$ 且 $t=1$ 。故 $x=b$ 。

因此，正确答案是 D。

Let $t=\log_bx.$ Then $\log_{b^2}x=\frac{t}{2}$ and $\log_{x^2}b=\frac{1}{2t}.$ Thus $t+\frac1t=2,$ so $(t-1)^2=0$ and $t=1.$ Hence $x=b.$

Therefore, the correct answer is D.

22.

在平行四边形 $ABCD$ 中， $E$ 是对角线 $BD$ 的中点。将点 $E$ 与边 $DA$ 上一点 $F$ 相连，使 $DF=\frac13DA$ 。三角形 $DFE$ 的面积与四边形 $ABEF$ 的面积之比是多少？

Given parallelogram $ABCD$ with $E$ the midpoint of diagonal $BD.$ Point $E$ is connected to a point $F$ in $DA$ so that $DF=\frac13DA.$ What is the ratio of the area of triangle $DFE$ to the area of quadrilateral $ABEF?$

$1:2$

$1:3$

$1:5$

$1:6$

$1:7$

知识点：平行四边形面积比中点三角形面积

难度评级：1670

小提示：

使用向量 $A=0$ 、 $B=u$ 、 $D=v$

Use vectors $A=0,$ $B=u,$ and $D=v$

大提示：

此时 $E=\frac{u+v}{2}$ 且 $F=\frac{2v}{3}$ ；分别求两部分面积占平行四边形面积的比例

Then $E=\frac{u+v}{2}$ and $F=\frac{2v}{3}$ ; compute both areas as fractions of the parallelogram

解答：

设平行四边形面积为 $S=|u\times v|$ ，并取 $A=0$ 、 $B=u$ 、 $D=v$ 。则 $E=\frac{u+v}{2}$ ， $F=\frac{2v}{3}$ 。由行列式得 $[DFE]=\frac{S}{12}$ 。对于四边形 $ABEF$ ，两部分面积给出 $[ABEF]=\frac S4+\frac S6=\frac{5S}{12}\text{。}$ 所求比为 $1:5$ 。

因此，正确答案是 C。

Let the parallelogram’s area be $S=|u\times v|,$ with $A=0,$ $B=u,$ and $D=v.$ Then $E=\frac{u+v}{2}$ and $F=\frac{2v}{3}.$ Determinants give $[DFE]=\frac{S}{12}.$ For quadrilateral $ABEF,$ the two determinant contributions give $[ABEF]=\frac S4+\frac S6=\frac{5S}{12}.$ The desired ratio is $1:5.$

Therefore, the correct answer is C.

23.

两个数的差、和与积之比为 $1:7:24$ 。这两个数的乘积是：

Two numbers are such that their difference, their sum, and their product are to one another as $1:7:24.$ The product of the two numbers is:

$6$

$12$

$24$

$48$

$96$

知识点：比与比例方程组代数变形

难度评级：1210

小提示：

将差、和、积分别表示为 $k$ 、 $7k$ 、 $24k$

Represent the difference, sum, and product by $k,$ $7k,$ and $24k$

大提示：

两个数分别为 $\frac{7k+k}{2}$ 和 $\frac{7k-k}{2}$

The two numbers are $\frac{7k+k}{2}$ and $\frac{7k-k}{2}$

解答：

设差为 $k$ ，和为 $7k$ 。两个数为 $4k$ 和 $3k$ ，所以乘积为 $12k^2$ 。而比值还说明乘积为 $24k$ 。由于两数不同， $k\ne0$ ，故 $k=2$ ，乘积为 $48$ 。

因此，正确答案是 D。

Let the difference be $k$ and the sum be $7k.$ The numbers are $4k$ and $3k,$ so their product is $12k^2.$ But the ratio also says the product is $24k.$ For distinct numbers $k\ne0,$ so $k=2$ and the product is $48.$

Therefore, the correct answer is D.

24.

设 $y=(x-a)^2+(x-b)^2$ ，其中 $a$ 、 $b$ 为常数。当 $x$ 取何值时， $y$ 最小？

Let $y=(x-a)^2+(x-b)^2,$ $a,$ $b$ constants. For what value of $x$ is $y$ a minimum?

$\dfrac{a+b}{2}$

$a+b$

$\sqrt{ab}$

$\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$

$\dfrac{a+b}{2ab}$

知识点：二次方程配方法最优化

难度评级：1140

小提示：

展开并合并含 $x$ 的项

Expand and collect the terms in $x$

大提示：

配方或使用顶点公式

Complete the square or use the vertex formula

解答：

展开并配方得 $y=2\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2+\frac{(a-b)^2}{2}\text{。}$ 当 $x=\frac{a+b}{2}$ 时，平方项最小。

因此，正确答案是 A。

Expanding and completing the square gives $y=2\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2+\frac{(a-b)^2}{2}.$ The squared term is minimized at $x=\frac{a+b}{2}.$

Therefore, the correct answer is A.

25.

使 $x^2+3xy+x+my-m$ 能分解为两个关于 $x$ 和 $y$ 的整系数一次因式的 $m$ 值恰好是：

The set of values of $m$ for which $x^2+3xy+x+my-m$ has two factors, with integer coefficients, which are linear in $x$ and $y,$ is precisely:

$0$ 、 $12$ 、 $-12$

$0,$ $12,$ $-12$

$0$ 、 $12$

$0,$ $12$

$12$ 、 $-12$

$12,$ $-12$

$12$

$0$

知识点：因式分解多项式方程组

难度评级：1870

小提示：

将因式写成 $(x+ay+b)(x+cy+d)$

Write the factors as $(x+ay+b)(x+cy+d)$

大提示：

缺少 $y^2$ 项且交叉项为 $3xy$ ，这迫使 $\{a,c\}=\{0,3\}$

The missing $y^2$ -term and the $3xy$ -term force $\{a,c\}=\{0,3\}$

解答：

将分解式写成 $(x+ay+b)(x+cy+d)$ 。比较 $y^2$ 和 $xy$ 的系数，得 $ac=0$ 且 $a+c=3$ ，可取 $a=0$ 、 $c=3$ 。其余系数给出 $\begin{aligned} b+d&=1,\\ bd&=-m,\\ 3b&=m\text{。} \end{aligned}$ 因而 $b(d+3)=0$ 。若 $b=0$ ，则 $m=0$ ；否则 $d=-3$ 、 $b=4$ ，且 $m=12$ 。这两个值都能得到有效的整系数因式分解。

因此，正确答案是 B。

Write the factorization as $(x+ay+b)(x+cy+d).$ Comparing the $y^2$ and $xy$ coefficients gives $ac=0$ and $a+c=3,$ so take $a=0,$ $c=3.$ The other coefficients give $\begin{aligned} b+d&=1,\\ bd&=-m,\\ 3b&=m. \end{aligned}$ Hence $b(d+3)=0.$ If $b=0,$ then $m=0;$ otherwise $d=-3,$ $b=4,$ and $m=12.$ Both values produce valid integer factorizations.

Therefore, the correct answer is B.

26.

在一场十英里赛跑中，第一名领先第二名 $2$ 英里，领先第三名 $4$ 英里。若三人全程保持恒速，第二名将领先第三名多少英里？

In a ten-mile race First beats Second by $2$ miles and First beats Third by $4$ miles. If the runners maintain constant speeds throughout the race, by how many miles does Second beat Third?

$2$

$2\dfrac14$

$2\dfrac12$

$2\dfrac34$

$3$

知识点：速率比与比例路程、速度与时间相对速度

难度评级：1210

小提示：

第一名到达终点时，第二名和第三名分别跑了 $8$ 与 $6$ 英里

When First finishes, Second and Third have run $8$ and $6$ miles

大提示：

比较第二名跑完 $10$ 英里时第三名跑过的距离

Compare Third’s distance when Second completes $10$ miles

解答：

相对于第一名的速度，第二名的速度为 $\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$ ，第三名的速度为 $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$ 。因此第三名的速度是第二名的 $\frac{3}{4}$ 。当第二名跑完 $10$ 英里时，第三名跑了 $10(\frac{3}{4})=7\dfrac12$ 英里，所以第二名领先 $2\dfrac12$ 英里。

因此，正确答案是 C。

Relative to First’s speed, Second’s speed is $\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$ and Third’s is $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$ Thus Third runs $\frac{3}{4}$ as fast as Second. When Second finishes $10$ miles, Third has run $10(\frac{3}{4})=7\dfrac12$ miles, so Second wins by $2\dfrac12$ miles.

Therefore, the correct answer is C.

27.

若 $x$ 为实数，且 $|x-4|+|x-3|\lt a$ ，其中 $a\gt0$ ，则：

If $x$ is a real number and $|x-4|+|x-3|\lt a,$ where $a\gt0,$ then:

$0\lt a\lt0.01$

$0.01\lt a\lt1$

$0\lt a\lt1$

$0\lt a\leq1$

$a\gt1$

知识点：绝对值三角不等式不等式

难度评级：1260

小提示：

将这个和理解为 $x$ 到 $3$ 与 $4$ 的距离之和

Interpret the sum as the distances from $x$ to $3$ and $4$

大提示：

求它在 $3\leq x\leq4$ 时的最小值，并注意不等式是严格的

Find its minimum for $3\leq x\leq4$ , remembering the inequality is strict

解答：

由三角不等式， $|x-4|+|x-3|\geq|4-3|=1\text{。}$ 对 $3$ 与 $4$ 之间的每个 $x$ ，等号都成立。因此严格不等式恰在 $a\gt1$ 时有实数解。

因此，正确答案是 E。

By the triangle inequality, $|x-4|+|x-3|\geq|4-3|=1.$ Equality holds for every $x$ between $3$ and $4.$ Therefore the strict inequality has a real solution exactly when $a\gt1.$

Thus, the correct answer is E.

28.

一个等差数列前 $n$ 项的和为 $153$ ，公差为 $2$ 。若首项为整数且 $n\gt1$ ，则 $n$ 可能取值的个数是：

The sum of $n$ terms of an arithmetic progression is $153,$ and the common difference is $2.$ If the first term is an integer, and $n\gt1,$ then the number of possible values for $n$ is:

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

知识点：等差数列整除性因数个数

难度评级：1650

小提示：

若首项为 $a$ ，则其和为 $n(a+n-1)$

If the first term is $a,$ the sum is $n(a+n-1)$

大提示：

列出 $153=3^2\cdot17$ 的所有大于 $1$ 的约数

List the divisors of $153=3^2\cdot17$ that exceed $1$

解答：

等差数列求和公式化为 $153=n(a+n-1)\text{。}$ 因此 $n$ 必须整除 $153$ ，而每个这样的 $n$ 都给出整数 $a$ 。大于 $1$ 的约数为 $3$ 、 $9$ 、 $17$ 、 $51$ 、 $153$ ，所以共有五种可能。

因此，正确答案是 D。

The arithmetic-series formula simplifies to $153=n(a+n-1).$ Thus $n$ must divide $153,$ and every such $n$ gives an integer $a.$ The divisors greater than $1$ are $3,$ $9,$ $17,$ $51,$ and $153,$ so there are five possibilities.

Therefore, the correct answer is D.

29.

在图中， $\angle RFS=\angle FDR$ ， $FD=4$ 英寸， $DR=6$ 英寸， $FR=5$ 英寸，且 $FS=7\dfrac12$ 英寸。 $RS$ 的长度（英寸）为：

In this figure $\angle RFS=\angle FDR,$ $FD=4$ inches, $DR=6$ inches, $FR=5$ inches, and $FS=7\dfrac12$ inches. The length of $RS,$ in inches, is:

无法确定

undetermined

$4$

$5\dfrac12$

$6$

$6\dfrac14$

知识点：相似导角比与比例

难度评级：1710

小提示：

比较以所标相等角为夹角的三角形 $RFS$ 和 $FDR$

Compare triangles $RFS$ and $FDR$ around the marked equal angles

大提示：

相邻边之比为 $\frac{5}{4}=\frac{15}{12}$

The adjacent side ratios are $\frac{5}{4}=\frac{15}{12}$

解答：

在相等的夹角两侧， $\begin{gathered} \frac{FR}{FD}=\frac54,\\ \frac{FS}{DR}=\frac{15}{12}=\frac54 \end{gathered}\text{。}$ 因此由边角边， $\triangle RFS\sim\triangle FDR$ 。边 $RS$ 对应 $FR=5$ ，所以 $RS=(\frac{5}{4})\cdot5=\frac{25}{4}=6\frac14$ 。

因此，正确答案是 E。

At the equal included angles, $\begin{gathered} \frac{FR}{FD}=\frac54,\\ \frac{FS}{DR}=\frac{15}{12}=\frac54. \end{gathered}$ Thus $\triangle RFS\sim\triangle FDR$ by SAS. Side $RS$ corresponds to $FR=5,$ so $RS=(\frac{5}{4})\cdot5=\frac{25}{4}=6\frac14.$

Therefore, the correct answer is E.

30.

若

$\begin{aligned} (7+4\sqrt3)x^2 &+(2+\sqrt3)x\\ &-2=0 \end{aligned}\text{，}$

则较大根减去较小根为：

If

$\begin{aligned} (7+4\sqrt3)x^2 &+(2+\sqrt3)x\\ &-2=0, \end{aligned}$

the larger root minus the smaller root is:

$-2+3\sqrt3$

$2-\sqrt3$

$6+3\sqrt3$

$6-3\sqrt3$

$3\sqrt3+2$

知识点：二次方程根式代数变形

难度评级：1670

小提示：

注意 $7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2$

Notice that $7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2$

大提示：

对 $Ax^2+Bx+C=0$ ，两根之差为 $\frac{\sqrt{B^2-4AC}}{A}$

For $Ax^2+Bx+C=0,$ the root difference is $\frac{\sqrt{B^2-4AC}}{A}$

解答：

令 $A=7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2$ ，且 $B=2+\sqrt3$ 。判别式为 $B^2-4A(-2)=A+8A=9A\text{。}$ 因而两根之差为 $\frac{\sqrt{9A}}A=\frac3{2+\sqrt3}=6-3\sqrt3\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Let $A=7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2$ and $B=2+\sqrt3.$ The discriminant is $B^2-4A(-2)=A+8A=9A.$ Hence the root difference is $\frac{\sqrt{9A}}A=\frac3{2+\sqrt3}=6-3\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is D.

31.

设

$\begin{aligned} f(n) &=\frac{5+3\sqrt5}{10} \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n\\ &\quad+\frac{5-3\sqrt5}{10} \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n \end{aligned}\text{。}$

则用 $f(n)$ 表示的 $f(n+1)-f(n-1)$ 等于：

Let

$\begin{aligned} f(n) &=\frac{5+3\sqrt5}{10} \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n\\ &\quad+\frac{5-3\sqrt5}{10} \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n. \end{aligned}$

Then $f(n+1)-f(n-1),$ expressed in terms of $f(n),$ equals:

$\dfrac12f(n)$

$f(n)$

$2f(n)+1$

$f^2(n)$

$\dfrac12\left(f^2(n)-1\right)$

知识点：递推斐波那契数列指数

难度评级：1900

小提示：

将两个指数式的底数记为 $\alpha$ 和 $\beta$

Call the two exponential bases $\alpha$ and $\beta$

大提示：

$r^2-r-1=0$ 的两个根都满足 $r^{n+1}-r^{n-1}=r^n$

Both roots of $r^2-r-1=0$ satisfy $r^{n+1}-r^{n-1}=r^n$

解答：

每个底数 $r=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$ 都满足 $r^2=r+1$ ，所以 $r^2-1=r$ 。因此 $r^{n+1}-r^{n-1}=r^{n-1}(r^2-1)=r^n\text{。}$ 将此恒等式逐项用于定义中的线性组合，得 $f(n+1)-f(n-1)=f(n)$ 。

因此，正确答案是 B。

Each base $r=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$ satisfies $r^2=r+1,$ so $r^2-1=r.$ Therefore $r^{n+1}-r^{n-1}=r^{n-1}(r^2-1)=r^n.$ Applying this identity term by term to the defining linear combination gives $f(n+1)-f(n-1)=f(n).$

Thus, the correct answer is B.

32.

若 $\dfrac{a+b}{b+c}=\dfrac{c+d}{d+a}$ ，则：

If $\dfrac{a+b}{b+c}=\dfrac{c+d}{d+a},$ then:

$a$ 必须等于 $c$

$a$ must equal $c$

$a+b+c+d$ 必须等于零

$a+b+c+d$ must equal zero

$a=c$ 或 $a+b+c+d=0$ ，也可能两者都成立

either $a=c$ or $a+b+c+d=0,$ or both

若 $a=c$ ，则 $a+b+c+d\ne0$

$a+b+c+d\ne0$ if $a=c$

$a(b+c+d)=c(a+b+d)$

知识点：分式方程因式分解零积性质

难度评级：1450

小提示：

将两个分式交叉相乘

Cross-multiply the two fractions

大提示：

将所有项移到一边并提取 $a-c$

Move all terms to one side and factor out $a-c$

解答：

交叉相乘得 $(a+b)(a+d)=(b+c)(c+d)$ 。移去右边并分解因式，得 $(a-c)(a+b+c+d)=0\text{。}$ 因此要么 $a=c$ ，要么总和为零，也可能两者都成立。

因此，正确答案是 C。

Cross-multiplication gives $(a+b)(a+d)=(b+c)(c+d).$ Subtracting the right side and factoring yields $(a-c)(a+b+c+d)=0.$ Hence either $a=c$ or the sum is zero, and both may occur.

Therefore, the correct answer is C.

33.

$P$ 是矩形 $ABCD$ 内一点，且 $PA=3$ 英寸， $PD=4$ 英寸， $PC=5$ 英寸。则 $PB$ 的长度（英寸）为：

$P$ is a point interior to rectangle $ABCD$ and such that $PA=3$ inches, $PD=4$ inches, and $PC=5$ inches. Then $PB,$ in inches, equals:

$2\sqrt3$

$3\sqrt2$

$3\sqrt3$

$4\sqrt2$

$2$

知识点：矩形英国国旗定理距离公式

难度评级：1180

小提示：

使用矩形恒等式 $PA^2+PC^2=PB^2+PD^2$

Use the rectangle identity $PA^2+PC^2=PB^2+PD^2$

大提示：

代入三个已知距离并求 $PB^2$

Substitute the three known distances and solve for $PB^2$

解答：

对矩形内任一点，英国国旗定理给出 $PA^2+PC^2=PB^2+PD^2\text{。}$ 因此 $9+25=PB^2+16$ ，所以 $PB^2=18$ 且 $PB=3\sqrt2$ 。

因此，正确答案是 B。

For any point in a rectangle, the British flag theorem gives $PA^2+PC^2=PB^2+PD^2.$ Thus $9+25=PB^2+16,$ so $PB^2=18$ and $PB=3\sqrt2.$

Therefore, the correct answer is B.

34.

若 $n$ 是 $4$ 的倍数，则和式

$\begin{aligned} s&=1+2i+3i^2+\cdots\\ &\quad+(n+1)i^n \end{aligned}\text{，}$

其中 $i=\sqrt{-1}$ ，其值为：

If $n$ is a multiple of $4,$ the sum

$\begin{aligned} s&=1+2i+3i^2+\cdots\\ &\quad+(n+1)i^n, \end{aligned}$

where $i=\sqrt{-1},$ equals:

$1+i$

$\dfrac12(n+2)$

$\dfrac12(n+2-ni)$

$\dfrac12\left[(n+1)(1-i)+2\right]$

$\dfrac18(n^2+8-4ni)$

知识点：复数单位根求和

难度评级：1870

小提示：

按 $i$ 的每四个连续幂将各项分组

Group the terms in blocks of four powers of $i$

大提示：

每个以系数 $4j+1$ 开始的完整组之和为 $-2-2i$

Each complete block beginning with coefficient $4j+1$ sums to $-2-2i$

解答：

写成 $n=4m$ 。对 $j=0,\ldots,m-1$ ，指数从 $4j$ 到 $4j+3$ 的四项之和为 $\begin{aligned} &(4j+1)+(4j+2)i\\ &\quad-(4j+3)-(4j+4)i\\ &=-2-2i \end{aligned}\text{。}$ 最后一项为 $4m+1$ 。因此 $\begin{aligned} s&=m(-2-2i)+(4m+1)\\ &=\frac{n+2-ni}{2} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Write $n=4m.$ For $j=0,\ldots,m-1,$ the four terms with exponents $4j$ through $4j+3$ sum to $\begin{aligned} &(4j+1)+(4j+2)i\\ &\quad-(4j+3)-(4j+4)i\\ &=-2-2i. \end{aligned}$ The final term is $4m+1.$ Therefore $\begin{aligned} s&=m(-2-2i)+(4m+1)\\ &=\frac{n+2-ni}{2}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

35.

三角形的三边长为 $13$ 、 $14$ 和 $15$ 。三条高交于点 $H$ 。若 $AD$ 是边长为 $14$ 的边上的高，则 $HD:HA$ 为多少？

The sides of a triangle are of lengths $13,$ $14,$ and $15.$ The altitudes of the triangle meet at point $H.$ If $AD$ is the altitude to the side of length $14,$ what is the ratio $HD:HA?$

$3:11$

$5:11$

$1:2$

$2:3$

$25:33$

知识点：高线坐标几何海伦公式

难度评级：1850

小提示：

边长为 $13$ 、 $14$ 、 $15$ 的三角形面积为 $84$ ，所以边长为 $14$ 的边上的高为 $12$

The $13$ - $14$ - $15$ triangle has area $84$ , so the altitude to side $14$ is $12$

大提示：

高的垂足把边长为 $14$ 的边分成长度为 $5$ 和 $9$ 的两段；用坐标求出 $H$ 的位置

The altitude foot divides the side of length $14$ into segments $5$ and $9$ ; use coordinates to locate $H$

解答：

由海伦公式可得面积为 $84$ ，所以 $AD=\frac{2(84)}{14}=12$ 。邻接的边长为 $13$ 的边在底边上的投影长为 $\sqrt{13^2-12^2}=5$ ，底边剩余部分长为 $9$ 。设 $D=(0,0),\ A=(0,12)$ 、 $B=(-5,0),\ C=(9,0)$ 。直线 $AC$ 的斜率为 $-\frac{4}{3}$ ，所以经过 $B$ 的高的斜率为 $\frac{3}{4}$ ，并在高度 $\frac{15}{4}$ 处与 $AD$ 相交。因此 $\begin{gathered} HD=\frac{15}{4},\\ HA=12-\frac{15}{4}=\frac{33}{4} \end{gathered}\text{，}$ 从而 $HD:HA=5:11$ 。

因此，正确答案是 B。

Heron’s formula gives area $84,$ so $AD=\frac{2(84)}{14}=12.$ The adjacent $13$ -side has projection $\sqrt{13^2-12^2}=5,$ leaving $9$ on the base. Put $D=(0,0),\ A=(0,12),$ $B=(-5,0),\ C=(9,0).$ Line $AC$ has slope $-\frac{4}{3},$ so the altitude through $B$ has slope $\frac{3}{4}$ and meets $AD$ at height $\frac{15}{4}.$ Thus $\begin{gathered} HD=\frac{15}{4},\\ HA=12-\frac{15}{4}=\frac{33}{4}, \end{gathered}$ giving $HD:HA=5:11.$

Therefore, the correct answer is B.

36.

在图中，圆的半径等于等边三角形 $ABC$ 的高。让圆沿边 $AB$ 滚动，并始终在动点 $T$ 处与该边相切，同时分别在动点 $M$ 和 $N$ 处与直线 $AC$ 和 $BC$ 相交。设弧 $MTN$ 的度数为 $n$ 。那么对于圆的所有允许位置， $n$ ：

In this figure the radius of the circle is equal to the altitude of the equilateral triangle $ABC.$ The circle is made to roll along the side $AB,$ remaining tangent to it at a variable point $T$ and intersecting lines $AC$ and $BC$ in variable points $M$ and $N,$ respectively. Let $n$ be the number of degrees in arc $MTN.$ Then $n,$ for all permissible positions of the circle:

在 $30^\circ$ 到 $90^\circ$ 之间变化

varies from $30^\circ$ to $90^\circ$

在 $30^\circ$ 到 $60^\circ$ 之间变化

varies from $30^\circ$ to $60^\circ$

在 $60^\circ$ 到 $90^\circ$ 之间变化

varies from $60^\circ$ to $90^\circ$

恒为 $30^\circ$

remains constant at $30^\circ$

恒为 $60^\circ$

remains constant at $60^\circ$

知识点：圆坐标几何等边三角形圆周角弧

难度评级：2130

小提示：

圆心 $O$ 和顶点 $C$ 到 $AB$ 的距离都等于三角形的高，所以 $CO\parallel AB$

The circle’s center $O$ and vertex $C$ are the same distance above $AB$ , so $CO\parallel AB$

大提示：

延长 $NC$ 过 $C$ ，使其再次与圆交于 $D$ ，再利用关于直线 $CO$ 的反射

Extend $NC$ through $C$ to meet the circle again at $D$ , then use reflection across line $CO$

解答：

设 $O$ 为圆心。 $O$ 和 $C$ 到 $AB$ 的距离都等于三角形的高，所以 $CO\parallel AB$ 。延长 $NC$ 过 $C$ ，使其再次与圆交于 $D$ 。由于 $CD$ 与 $CN$ 方向相反， $\begin{aligned} \angle MCD &=180^\circ-\angle MCN\\ &=120^\circ \end{aligned}\text{。}$ 平行于 $AB$ 的直线 $CO$ 平分这个角。关于 $CO$ 的反射使圆保持不变，并交换射线 $CM$ 与 $CD$ ，所以也交换点 $M$ 与 $D$ 。因此 $CM=CD$ ，等腰三角形 $MCD$ 的两个底角均为 $30^\circ$ 。

由于 $D,C,N$ 共线， $\angle MDN=30^\circ$ 。这个圆周角所对的是弧 $MTN$ ，因此在圆的每个允许位置，弧的度数都为 $60^\circ$ 。

所以，正确答案是 E。

Let $O$ be the circle’s center. Both $O$ and $C$ are one triangle altitude above $AB,$ so $CO\parallel AB.$ Extend $NC$ through $C$ to meet the circle again at $D.$ Since $CD$ is opposite to $CN,$ $\begin{aligned} \angle MCD &=180^\circ-\angle MCN\\ &=120^\circ. \end{aligned}$ The line $CO,$ parallel to $AB,$ bisects this angle. Reflection across $CO$ fixes the circle and interchanges rays $CM$ and $CD,$ so it interchanges $M$ and $D.$ Hence $CM=CD,$ and isosceles triangle $MCD$ has base angles $30^\circ.$

Because $D,C,N$ are collinear, $\angle MDN=30^\circ.$ This inscribed angle subtends arc $MTN,$ whose measure is therefore $60^\circ$ for every permissible circle position.

Thus, the correct answer is E.

37.

给定两个正数 $a$ 、 $b$ ，且 $a\lt b$ 。设它们的算术平均数为 A.M.，正的几何平均数为 G.M.。那么 A.M. 与 G.M. 之差总小于：

Given two positive numbers $a,$ $b$ such that $a\lt b.$ Let A.M. be their arithmetic mean and let G.M. be their positive geometric mean. Then A.M. minus G.M. is always less than:

$\dfrac{(b+a)^2}{ab}$

$\dfrac{(b+a)^2}{8b}$

$\dfrac{(b-a)^2}{ab}$

$\dfrac{(b-a)^2}{8a}$

$\dfrac{(b-a)^2}{8b}$

知识点：算术-几何平均不等式不等式根式

难度评级：1670

小提示：

用 $\sqrt b-\sqrt a$ 改写 $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}$

Rewrite $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}$ using $\sqrt b-\sqrt a$

大提示：

将 $b-a=(\sqrt b-\sqrt a)(\sqrt b+\sqrt a)$ 因式分解，再与选项 D 比较

Factor $b-a=(\sqrt b-\sqrt a)(\sqrt b+\sqrt a)$ to compare with choice D

解答：

我们有 $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} =\frac{(\sqrt b-\sqrt a)^2}{2}\text{。}$ 约去正因子 $(\sqrt b-\sqrt a)^2$ 后，与选项 D 的比较化为 $\frac12 <\frac{(\sqrt b+\sqrt a)^2}{8a}\text{。}$ 由于 $\sqrt b+\sqrt a\gt2\sqrt a$ ，这个不等式成立。因此，A.M. 与 G.M. 之差总小于选项 D 中的式子。

所以，正确答案是 D。

We have $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} =\frac{(\sqrt b-\sqrt a)^2}{2}.$ After canceling the positive factor $(\sqrt b-\sqrt a)^2,$ comparison with choice D reduces to $\frac12 <\frac{(\sqrt b+\sqrt a)^2}{8a}.$ This is true because $\sqrt b+\sqrt a\gt2\sqrt a.$ Thus A.M. minus G.M. is always less than the expression in choice D.

Therefore, the correct answer is D.

38.

三角形 $PQR$ 的边 $PQ$ 和 $PR$ 的长度分别为 $4$ 英寸和 $7$ 英寸。中线 $PM$ 长 $3\dfrac12$ 英寸。那么 $QR$ 的长度（英寸）为：

The sides $PQ$ and $PR$ of triangle $PQR$ are respectively of lengths $4$ inches and $7$ inches. The median $PM$ is $3\dfrac12$ inches. Then $QR,$ in inches, is:

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

知识点：中线（几何）斯特瓦尔特定理余弦定理

难度评级：1210

小提示：

对 $QR$ 边上的中线应用阿波罗尼斯定理

Use Apollonius’s theorem for the median to $QR$

大提示：

代入 $PQ=4,\ PR=7,\ PM=\frac{7}{2}$

Substitute $PQ=4,\ PR=7,\ PM=\frac{7}{2}$

解答：

由阿波罗尼斯定理， $\begin{aligned} QR^2 &=2(4^2+7^2)-4\left(\frac72\right)^2\\ &=81 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $QR=9$ 。

所以，正确答案是 D。

Apollonius’s theorem gives $\begin{aligned} QR^2 &=2(4^2+7^2)-4\left(\frac72\right)^2\\ &=81. \end{aligned}$ Therefore $QR=9.$

Thus, the correct answer is D.

39.

如图，三角形 $ABC$ 的三边长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $c\leq b\leq a$ 。分别作过内点 $P$ 和顶点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的直线，与对边交于 $A'$ 、 $B'$ 、 $C'$ 。设 $s=AA'+BB'+CC'$ 。那么对于点 $P$ 的所有位置， $s$ 小于：

The magnitudes of the sides of triangle $ABC$ are $a,$ $b,$ $c,$ as shown, with $c\leq b\leq a.$ Through interior point $P$ and the vertices $A,$ $B,$ $C,$ lines are drawn meeting the opposite sides in $A',$ $B',$ $C',$ respectively. Let $s=AA'+BB'+CC'.$ Then, for all positions of point $P,$ $s$ is less than:

$2a+b$

$2a+c$

$2b+c$

$a+2b$

$a+b+c$

知识点：极端原理极限情形界定不等式

难度评级：1850

小提示：

线段上一点到某个固定顶点的距离小于该线段较远端点到此顶点的距离

A point on a segment is closer to a fixed vertex than the farther endpoint of that segment

大提示：

分别用相邻边长估计 $AA'$ 、 $BB'$ 和 $CC'$ 的上界

Bound $AA'$ , $BB'$ , and $CC'$ separately using their adjacent side lengths

解答：

对于一个固定顶点，到该顶点的距离平方沿对边是凸函数，所以最大值在端点处取得。由于每条顶点连线与对边的交点都在该边内部， $\begin{gathered} AA'\lt\max(AB,AC)=b,\\ BB'\lt\max(BA,BC)=a,\\ CC'\lt\max(CA,CB)=a \end{gathered}\text{。}$ 三式相加得 $s\lt2a+b$ 。

因此，正确答案是 A。

For a fixed vertex, squared distance is a convex function along the opposite side, so its maximum occurs at an endpoint. Since each cevian endpoint is interior to its side, $\begin{gathered} AA'\lt\max(AB,AC)=b,\\ BB'\lt\max(BA,BC)=a,\\ CC'\lt\max(CA,CB)=a. \end{gathered}$ Adding gives $s\lt2a+b.$

Therefore, the correct answer is A.

40.

一块手表每天慢 $2\dfrac12$ 分钟。三月 $15$ 日下午 $1$ 时将它校准。设某时刻应加在手表显示时间上的正校正量为 $n$ 分钟。当手表显示三月 $21$ 日上午 $9$ 时， $n$ 等于：

A watch loses $2\dfrac12$ minutes per day. It is set right at $1$ P.M. on March $15.$ Let $n$ be the positive correction, in minutes, to be added to the time shown by the watch at a given time. When the watch shows $9$ A.M. on March $21,$ $n$ equals:

$14\dfrac{14}{23}$

$14\dfrac1{14}$

$13\dfrac{101}{115}$

$13\dfrac{83}{115}$

$13\dfrac{13}{23}$

知识点：时钟日期与时间速率分数

难度评级：1670

小提示：

手表的走时速率是实际时间的 $\frac{575}{576}$

The watch advances $\frac{575}{576}$ as fast as real time

大提示：

从手表显示的三月 $15$ 日下午 $1$ 时到三月 $21$ 日上午 $9$ 时，共经过 $8400$ 个显示分钟

From the displayed $1$ P.M. on March $15$ to $9$ A.M. on March $21$ is $8400$ displayed minutes

解答：

手表走时速率是正确速率的 $\frac{575}{576}$ 。手表显示的经过时间为 $5$ 天 $20$ 小时，即 $8400$ 分钟。因此，实际经过时间为 $8400(\frac{576}{575})$ ，校正量为 $\begin{aligned} n&=8400\left(\frac{576}{575}-1\right)\\ &=\frac{8400}{575} =\frac{336}{23}\\ &=14\frac{14}{23} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

The watch runs at $\frac{575}{576}$ of the correct rate. The displayed elapsed time is $5$ days $20$ hours, or $8400$ minutes. Thus the real elapsed time is $8400(\frac{576}{575}),$ and the correction is $\begin{aligned} n&=8400\left(\frac{576}{575}-1\right)\\ &=\frac{8400}{575} =\frac{336}{23}\\ &=14\frac{14}{23}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.