Question

在一个半径为 $8$ 英寸的圆中，画两条相距 $8$ 英寸且长度相等的平行弦。圆内位于两弦之间的部分面积为：

Two equal parallel chords are drawn $8$ inches apart in a circle of radius $8$ inches. The area of that part of the circle that lies between the chords is:

$21\dfrac13\pi-32\sqrt3$

$32\sqrt3+21\dfrac13\pi$

$32\sqrt3+42\dfrac23\pi$

$16\sqrt3+42\dfrac23\pi$

$42\dfrac23\pi$

答案：B

知识点：圆弦扇形面积

难度评级：2270

小提示：

长度相等的平行弦到圆心距离相同，所以每条弦到圆心的距离都是 $4$ 英寸

Equal parallel chords lie the same distance from the center, so each is $4$ inches from it

大提示：

从整圆面积中减去两个全等的外侧弓形面积

Subtract the two congruent outer circular segments from the whole circle

解答：

两条等弦关于圆心对称，各距圆心 $4$ 英寸。对任一弦，圆心处的半角满足 $\cos\theta=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ ，所以 $\theta=60^\circ$ 。每个外侧弓形的面积等于一个 $120^\circ$ 扇形面积减去等腰三角形面积： $\begin{aligned} &\frac{120}{360}\pi(8)^2 -\frac12(8)^2\sin120^\circ\\ &\qquad=\frac{64\pi}{3}-16\sqrt3 \end{aligned}\text{。}$ 因此，两弦之间的面积为 $\begin{aligned} &64\pi-2\left(\frac{64\pi}{3}-16\sqrt3\right)\\ &\qquad=\frac{64\pi}{3}+32\sqrt3\\ &\qquad=21\frac13\pi+32\sqrt3 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

The equal chords are symmetrically $4$ inches from the center. For either chord, the half-angle at the center satisfies $\cos\theta=\frac{4}{8}=\frac{1}{2},$ so $\theta=60^\circ.$ Each outer segment is a $120^\circ$ sector minus the isosceles triangle: $\begin{aligned} &\frac{120}{360}\pi(8)^2 -\frac12(8)^2\sin120^\circ\\ &\qquad=\frac{64\pi}{3}-16\sqrt3. \end{aligned}$ The area between the chords is therefore $\begin{aligned} &64\pi-2\left(\frac{64\pi}{3}-16\sqrt3\right)\\ &\qquad=\frac{64\pi}{3}+32\sqrt3\\ &\qquad=21\frac13\pi+32\sqrt3. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

1952 AMC 12 第 37 题

答案：B

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 37 题