Question

En un círculo de radio $8$ pulgadas se trazan dos cuerdas paralelas iguales separadas por $8$ pulgadas. El área de la parte del círculo situada entre las cuerdas es:

Two equal parallel chords are drawn $8$ inches apart in a circle of radius $8$ inches. The area of that part of the circle that lies between the chords is:

$21\dfrac13\pi-32\sqrt3$

$32\sqrt3+21\dfrac13\pi$

$32\sqrt3+42\dfrac23\pi$

$16\sqrt3+42\dfrac23\pi$

$42\dfrac23\pi$

Respuesta: B

Conceptos:círculo cuerda sector circular área

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Las cuerdas paralelas iguales están a la misma distancia del centro, por lo que cada una está a $4$ pulgadas de él

Equal parallel chords lie the same distance from the center, so each is $4$ inches from it

Pista grande:

Resta del círculo completo los dos segmentos circulares exteriores congruentes

Subtract the two congruent outer circular segments from the whole circle

Solución:

Las cuerdas iguales están simétricamente a $4$ pulgadas del centro. Para cualquiera de ellas, el semiángulo en el centro satisface $\cos\theta=\frac{4}{8}=\frac{1}{2},$ por lo que $\theta=60^\circ.$ Cada segmento exterior es un sector de $120^\circ$ menos el triángulo isósceles: $\begin{aligned} &\frac{120}{360}\pi(8)^2 -\frac12(8)^2\sin120^\circ\\ &\qquad=\frac{64\pi}{3}-16\sqrt3. \end{aligned}$ Por lo tanto, el área entre las cuerdas es $\begin{aligned} &64\pi-2\left(\frac{64\pi}{3}-16\sqrt3\right)\\ &\qquad=\frac{64\pi}{3}+32\sqrt3\\ &\qquad=21\frac13\pi+32\sqrt3. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The equal chords are symmetrically $4$ inches from the center. For either chord, the half-angle at the center satisfies $\cos\theta=\frac{4}{8}=\frac{1}{2},$ so $\theta=60^\circ.$ Each outer segment is a $120^\circ$ sector minus the isosceles triangle: $\begin{aligned} &\frac{120}{360}\pi(8)^2 -\frac12(8)^2\sin120^\circ\\ &\qquad=\frac{64\pi}{3}-16\sqrt3. \end{aligned}$ The area between the chords is therefore $\begin{aligned} &64\pi-2\left(\frac{64\pi}{3}-16\sqrt3\right)\\ &\qquad=\frac{64\pi}{3}+32\sqrt3\\ &\qquad=21\frac13\pi+32\sqrt3. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

1952 AMC 12 Problema 37

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 37 en otros años