Question

En un mapa cuya escala es de $400$ millas por pulgada y media, cierta propiedad está representada por un rombo con un ángulo de $60^\circ.$ La diagonal opuesta al ángulo de $60^\circ$ mide $\dfrac3{16}$ pulgadas. El área de la propiedad en millas cuadradas es:

On a map whose scale is $400$ miles to an inch and a half, a certain estate is represented by a rhombus having a $60^\circ$ angle. The diagonal opposite $60^\circ$ is $\dfrac3{16}$ in. The area of the estate in square miles is:

$\dfrac{2500}{\sqrt3}$

$\dfrac{1250}{\sqrt3}$

$1250$

$\dfrac{5625\sqrt3}{2}$

$1250\sqrt3$

Respuesta: E

Conceptos:map scale rombo equilateral triangles área

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

En un rombo con un ángulo de $60^\circ,$ la diagonal más corta es igual al lado

In a $60^\circ$ rhombus, the shorter diagonal equals the side length

Pista grande:

La escala es de $\frac{800}{3}$ millas por pulgada; convierte primero el lado de $\frac{3}{16}$ de pulgada antes de hallar el área

The scale is $\frac{800}{3}$ miles per inch, so convert the $\frac{3}{16}$ -inch side before finding area

Solución:

La diagonal opuesta al ángulo de $60^\circ$ divide el rombo en dos triángulos equiláteros, de modo que su longitud es igual al lado del rombo. La escala del mapa es de $\frac{800}{3}$ millas por pulgada, por lo que la longitud real del lado es $\frac3{16}\cdot\frac{800}{3}=50$ millas. Por lo tanto, el área del rombo es $\begin{aligned} 50^2\sin60^\circ &=2500\cdot\frac{\sqrt3}{2}\\ &=1250\sqrt3. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The diagonal opposite the $60^\circ$ angle divides the rhombus into two equilateral triangles, so its length equals the rhombus side. The map scale is $\frac{800}{3}$ miles per inch, hence the actual side length is $\frac3{16}\cdot\frac{800}{3}=50$ miles. Therefore the rhombus area is $\begin{aligned} 50^2\sin60^\circ &=2500\cdot\frac{\sqrt3}{2}\\ &=1250\sqrt3. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

1956 AMC 12 Problema 37

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 37 en otros años