Question

En un triángulo rectángulo con catetos $a$ y $b,$ e hipotenusa $c,$ la altura trazada sobre la hipotenusa es $x.$ Entonces:

In a right triangle with sides $a$ and $b,$ and hypotenuse $c,$ the altitude drawn on the hypotenuse is $x.$ Then:

$ab=x^2$

$\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac1x$

$a^2+b^2=2x^2$

$\dfrac1{x^2}=\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}$

$\dfrac1x=\dfrac ba$

Respuesta: D

Conceptos:triángulo rectángulo altitude to hypotenuse área reciprocal identity

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Calcula el área del triángulo usando los catetos o usando la hipotenusa y su altura

Compute the triangle’s area using either the legs or the hypotenuse and its altitude

Pista grande:

A partir de $ab=cx,$ sustituye $c^2=a^2+b^2$ y divide entre $a^2b^2x^2$

From $ab=cx,$ substitute $c^2=a^2+b^2$ and divide by $a^2b^2x^2$

Solución:

Al igualar las dos fórmulas del área se obtiene $\frac12ab=\frac12cx,$ así que $ab=cx.$ Al elevar al cuadrado y usar $c^2=a^2+b^2,$ resulta $a^2b^2=x^2(a^2+b^2).$ Al dividir entre $a^2b^2x^2,$ se obtiene $\frac1{x^2}=\frac1{a^2}+\frac1{b^2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Equating two area formulas gives $\frac12ab=\frac12cx,$ so $ab=cx.$ Squaring and using $c^2=a^2+b^2$ yields $a^2b^2=x^2(a^2+b^2).$ Dividing by $a^2b^2x^2$ gives $\frac1{x^2}=\frac1{a^2}+\frac1{b^2}.$

Thus, the correct answer is D.

1956 AMC 12 Problema 38

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 38 en otros años