Question

De un número de dos cifras $N$ restamos el número con las cifras invertidas y obtenemos un cubo perfecto positivo. Entonces:

From a two-digit number $N$ we subtract the number with the digits reversed and find that the result is a positive perfect cube. Then:

$N$ no puede terminar en $5$

$N$ cannot end in $5$

$N$ puede terminar en cualquier cifra excepto $5$

$N$ can end in any digit other than $5$

$N$ no existe

$N$ does not exist

hay exactamente $7$ valores de $N$

there are exactly $7$ values for $N$

hay exactamente $10$ valores de $N$

there are exactly $10$ values for $N$

Respuesta: D

Conceptos:dígitos potencia perfecta enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Si las cifras cumplen $a>b,$ la diferencia con el número invertido es $9(a-b)$

If the digits are $a>b,$ the difference from the reversal is $9(a-b)$

Pista grande:

La diferencia es como máximo $81,$ así que prueba los cubos positivos no mayores que $81$

The difference is at most $81,$ so test the positive cubes no larger than $81$

Solución:

Al escribir $N=10a+b,$ la diferencia positiva es $\begin{aligned} &(10a+b)-(10b+a)\\ &\quad=9(a-b). \end{aligned}$ Es como máximo $81.$ Entre $1,$ $8,$ $27,$ y $64,$ solo $27$ es divisible entre $9,$ por lo que $a-b=3.$ Los pares de cifras son $\begin{gathered} (3,0),(4,1),(5,2),(6,3),\\ (7,4),(8,5),(9,6), \end{gathered}$ y producen exactamente siete valores de $N.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Writing $N=10a+b,$ the positive difference is $\begin{aligned} &(10a+b)-(10b+a)\\ &\quad=9(a-b). \end{aligned}$ It is at most $81.$ Among $1,$ $8,$ $27,$ and $64,$ only $27$ is divisible by $9,$ so $a-b=3.$ The digit pairs are $\begin{gathered} (3,0),(4,1),(5,2),(6,3),\\ (7,4),(8,5),(9,6), \end{gathered}$ giving exactly seven values of $N.$

Thus, the correct answer is D.

1957 AMC 12 Problema 38

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 38 en otros años