Question

El punto $F$ se toma en la prolongación del lado $AD$ del paralelogramo $ABCD.$ La recta $BF$ corta a la diagonal $AC$ en $E$ y al lado $DC$ en $G.$ Si $EF=32$ y $GF=24,$ entonces $BE$ es igual a:

Point $F$ is taken on the extension of side $AD$ of parallelogram $ABCD.$ $BF$ intersects diagonal $AC$ at $E$ and side $DC$ at $G.$ If $EF=32$ and $GF=24,$ then $BE$ equals:

$4$

$8$

$10$

$12$

$16$

Respuesta: E

Conceptos:paralelogramo vector razón y proporción

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Parametriza los puntos de $FB$ por la fracción de la distancia de $F$ a $B$

Parameterize points on $FB$ by their fraction of the distance from $F$ to $B$

Pista grande:

Si $F=tD$ en coordenadas afines con origen en $A,$ los parámetros de $G$ y $E$ son $\frac{t-1}{t}$ y $\frac{t}{t+1}$

If $F=tD$ in affine coordinates based at $A,$ the parameters of $G$ and $E$ are $\frac{t-1}{t}$ and $\frac{t}{t+1}$

Solución:

Usa coordenadas afines $A=0,$ $B=u,$ $D=v,$ $C=u+v,$ y $F=tv.$ Un punto de $FB$ es $su+t(1-s)v.$ La intersección con $DC$ da $s_G=\frac{t-1}{t},$ mientras que la intersección con $AC$ da $s_E=\frac{t}{t+1}.$ Por tanto, $\begin{aligned} \frac{GF}{EF} &=\frac{s_G}{s_E} =\frac{t^2-1}{t^2}\\ &=\frac{24}{32}=\frac34, \end{aligned}$ de modo que $t=2$ y $s_E=\frac{2}{3}.$ Así, $EF=(\frac{2}{3})FB=32,$ por lo que $FB=48$ y $BE=16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Use affine coordinates $A=0,$ $B=u,$ $D=v,$ $C=u+v,$ and $F=tv.$ A point on $FB$ is $su+t(1-s)v.$ Intersecting $DC$ gives $s_G=\frac{t-1}{t},$ while intersecting $AC$ gives $s_E=\frac{t}{t+1}.$ Therefore $\begin{aligned} \frac{GF}{EF} &=\frac{s_G}{s_E} =\frac{t^2-1}{t^2}\\ &=\frac{24}{32}=\frac34, \end{aligned}$ so $t=2$ and $s_E=\frac{2}{3}.$ Thus $EF=(\frac{2}{3})FB=32,$ making $FB=48$ and $BE=16.$

Therefore, the correct answer is E.

1963 AMC 12 Problema 38

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 38 en otros años