Question

Se dan cuatro enteros positivos. Elige tres cualesquiera, calcula su promedio aritmético y suma este resultado al cuarto entero. Así se obtienen los números $29,$ $23,$ $21$ y $17$ . Uno de los enteros originales es:

Four positive integers are given. Select any three of these integers, find their arithmetic average, and add this result to the fourth integer. Thus the numbers $29,$ $23,$ $21$ and $17$ are obtained. One of the original integers is:

$19$

$21$

$23$

$29$

$17$

Respuesta: B

Conceptos:linear system averages sum invariant

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Si la suma original es $S$ y el entero separado es $x,$ el resultado es $\frac{S+2x}{3}$

If the original sum is $S$ and the singled-out integer is $x,$ the result is $\frac{S+2x}{3}$

Pista grande:

Suma los cuatro resultados dados para determinar $S$

Sum all four reported results to determine $S$

Solución:

Si los enteros originales suman $S,$ el resultado asociado al entero separado $x$ es $x+\frac{S-x}{3}=\frac{S+2x}{3}.$ Al sumar los cuatro resultados dados se cuenta el total como $2S,$ así que $S=\frac{29+23+21+17}{2}=45.$ Por tanto, el resultado $29$ proviene de $x=\dfrac{3(29)-45}{2}=21.$

Por lo tanto, uno de los enteros originales es $21,$ y la respuesta correcta es B.

If the original integers sum to $S,$ the result associated with singled-out integer $x$ is $x+\frac{S-x}{3}=\frac{S+2x}{3}.$ Summing all four reported results counts the total as $2S,$ so $S=\frac{29+23+21+17}{2}=45.$ The result $29$ therefore comes from $x=\dfrac{3(29)-45}{2}=21.$

Thus, one original integer is $21,$ and the correct answer is B.

1955 AMC 12 Problema 38

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 38 en otros años