La expresión √25-t^2+5 es igual a cero para:

(A) ningún valor real ni imaginario de t

(B) ningún valor real de t solamente

(C) ningún valor imaginario de t solamente

Cada una de las ecuaciones 3x^2-2=25, (2x-1)^2=(x-1)^2, √x^2-7=√x-1 tiene:

(E) una raíz negativa y una positiva

Si a, b, y c son enteros positivos, los radicales √a+\dfrac bc y a√\dfrac bc son iguales si y solo si:

(D) a=b y c tiene cualquier valor

Se dan una sucesión geométrica cuyo primer término es \ne0 y con r\ne0 , y una sucesión aritmética cuyo primer término es =0. Se forma una tercera sucesión 1, 1, 2, … sumando los términos correspondientes de las dos sucesiones dadas. La suma de los primeros diez términos de la tercera sucesión es:

(E) no puede determinarse con la información dada

1955 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

¿Cuál de las siguientes expresiones no equivale a $0.000000375$ ?

Which one of the following is not equivalent to $0.000000375?$

$3.75\times10^{-7}$

$3\dfrac34\times10^{-7}$

$375\times10^{-9}$

$\dfrac38\times10^{-7}$

$\dfrac{3}{8000000}$

Respuesta: D

Conceptos:scientific notation decimal conversion equivalent forms

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Reescribe todas las opciones usando la misma potencia de $10$

Rewrite every choice with the same power of $10$

Pista grande:

El decimal es $3.75\times10^{-7}$

The decimal is $3.75\times10^{-7}$

Solución:

El decimal dado es $3.75\times10^{-7}.$ Las opciones A y B expresan esto directamente, mientras que $375\times10^{-9}=3.75\times10^{-7}$ y $\frac38\times10^{-6}$ $=0.375\times10^{-6}$ $=3.75\times10^{-7}.$ Pero $\frac38\times10^{-7}=3.75\times10^{-8},$ que es diez veces menor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The given decimal is $3.75\times10^{-7}.$ Choices A and B state this directly, while $375\times10^{-9}=3.75\times10^{-7}$ and $\frac38\times10^{-6}$ $=0.375\times10^{-6}$ $=3.75\times10^{-7}.$ But $\frac38\times10^{-7}=3.75\times10^{-8},$ which is ten times smaller.

Thus, the correct answer is D.

2.

El ángulo menor entre las manecillas de un reloj a las $12{:}25$ p. m. es:

The smaller angle between the hands of a clock at $12{:}25$ p.m. is:

$132^\circ30'$

$137^\circ30'$

$150^\circ$

$137^\circ32'$

$137^\circ$

Respuesta: B

Conceptos:clock angle angular speed degrees and minutes

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

En $25$ minutos, el minutero gira $150^\circ$

In $25$ minutes, the minute hand moves $150^\circ$

Pista grande:

La manecilla de la hora gira $0.5^\circ$ por minuto

The hour hand moves $0.5^\circ$ per minute

Solución:

A las $12{:}25,$ el minutero está a $25\cdot6^\circ=150^\circ$ después de las $12,$ mientras que la manecilla de la hora está a $25\cdot0.5^\circ=12.5^\circ.$ Su separación menor es $150^\circ-12.5^\circ=137.5^\circ=137^\circ30'.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

At $12{:}25,$ the minute hand is $25\cdot6^\circ=150^\circ$ past $12,$ while the hour hand is $25\cdot0.5^\circ=12.5^\circ.$ Their smaller separation is $150^\circ-12.5^\circ=137.5^\circ=137^\circ30'.$

Thus, the correct answer is B.

3.

Si cada número de un conjunto de diez números aumenta en $20,$ la media aritmética (promedio) de los diez números originales:

If each number in a set of ten numbers is increased by $20,$ the arithmetic mean (average) of the original ten numbers:

permanece igual

remains the same

aumenta en $20$

is increased by $20$

aumenta en $200$

is increased by $200$

aumenta en $10$

is increased by $10$

aumenta en $2$

is increased by $2$

Respuesta: B

Conceptos:arithmetic mean translation of data

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Aumentar las diez cantidades suma $10\cdot20$ a su total

Increasing all ten entries adds $10\cdot20$ to their sum

Pista grande:

El nuevo total todavía se divide entre $10$

The new total is still divided by $10$

Solución:

Si la suma original es $S,$ la nueva suma es $S+10\cdot20.$ Por consiguiente, la nueva media es $\frac{S+200}{10}=\frac S{10}+20.$ La media aumenta en $20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the original sum is $S,$ the new sum is $S+10\cdot20.$ Hence the new mean is $\frac{S+200}{10}=\frac S{10}+20.$ The mean is increased by $20.$

Thus, the correct answer is B.

4.

La igualdad $\dfrac1{x-1}=\dfrac2{x-2}$ se satisface para:

The equality $\dfrac1{x-1}=\dfrac2{x-2}$ is satisfied by:

ningún valor real de $x$

no real values of $x$

$x=1$ o $x=2$

either $x=1$ or $x=2$

solamente $x=1$

only $x=1$

solamente $x=2$

only $x=2$

solamente $x=0$

only $x=0$

Respuesta: E

Conceptos:ecuación racional domain restrictions

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Multiplica en cruz, recordando que $x\ne1,2$

Cross-multiply, while remembering that $x\ne1,2$

Pista grande:

Resuelve $x-2=2x-2$

Solve $x-2=2x-2$

Solución:

Para $x\ne1,2,$ la multiplicación en cruz da $x-2=2(x-1)=2x-2,$ de modo que $x=0.$ Este valor hace que ambos denominadores originales sean distintos de cero y satisface la igualdad.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For $x\ne1,2,$ cross-multiplication gives $x-2=2(x-1)=2x-2,$ so $x=0.$ This value makes both original denominators nonzero and satisfies the equality.

Thus, the correct answer is E.

5.

$y$ varía inversamente con el cuadrado de $x.$ Cuando $y=16,$ $x=1.$ Cuando $x=8,$ $y$ es igual a:

$y$ varies inversely as the square of $x.$ When $y=16,$ $x=1.$ When $x=8,$ $y$ equals:

$2$

$128$

$64$

$\dfrac14$

$1024$

Respuesta: D

Conceptos:inverse variation squares

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Escribe la variación como $y=\frac{k}{x^2}$

Write the variation as $y=\frac{k}{x^2}$

Pista grande:

Usa el primer par de valores para determinar $k$

Use the first pair of values to determine $k$

Solución:

La variación inversa con el cuadrado da $y=\frac{k}{x^2}.$ Como $16=\frac{k}{1^2},$ tenemos $k=16.$ Para $x=8,$ $y=\frac{16}{8^2}=\frac14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Inverse-square variation gives $y=\frac{k}{x^2}.$ Since $16=\frac{k}{1^2},$ we have $k=16.$ At $x=8,$ $y=\frac{16}{8^2}=\frac14.$

Thus, the correct answer is D.

6.

Un comerciante compra cierta cantidad de naranjas a razón de $3$ por $10$ ¢ y la misma cantidad a razón de $5$ por $20$ ¢. Para “no ganar ni perder”, debe venderlas todas a razón de:

A merchant buys a number of oranges at $3$ for $10$ ¢ and an equal number at $5$ for $20$ ¢. To “break even” he must sell all at:

$8$ por $30$ ¢

$8$ for $30$ ¢

$3$ por $11$ ¢

$3$ for $11$ ¢

$5$ por $18$ ¢

$5$ for $18$ ¢

$11$ por $40$ ¢

$11$ for $40$ ¢

$13$ por $50$ ¢

$13$ for $50$ ¢

Respuesta: B

Conceptos:unit price weighted average break-even

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Usa $15$ naranjas en cada compra de igual tamaño para que ambas tarifas se dividan exactamente

Use $15$ oranges in each equal-sized purchase so that both quoted rates divide evenly

Pista grande:

Compara el costo total de $30$ naranjas con cada precio de venta propuesto

Compare the total cost of $30$ oranges with each proposed selling rate

Solución:

Supongamos que compra $15$ naranjas a cada precio. Las primeras $15$ cuestan $50$ ¢ y las otras $15$ cuestan $60$ ¢, para un total de $110$ ¢. Por tanto, debe vender las $30$ naranjas por $110$ ¢, lo cual equivale a $3$ por $11$ ¢.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Suppose he buys $15$ oranges at each rate. The first $15$ cost $50$ ¢ and the second $15$ cost $60$ ¢, for $110$ ¢ total. Thus $30$ oranges must sell for $110$ ¢, which is equivalent to $3$ for $11$ ¢.

Therefore, the correct answer is B.

7.

Si un trabajador sufre una reducción salarial del $20$ por ciento, puede recuperar exactamente su salario original obteniendo un aumento del:

If a worker receives a $20$ percent cut in wages, he may regain his original pay exactly by obtaining a raise of:

$20$ por ciento

$20$ percent

$25$ por ciento

$25$ percent

$22\dfrac12$ por ciento

$22\dfrac12$ percent

$\$20$

$\$25$

Respuesta: B

Conceptos:percentage change reverse percentage

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Después de la reducción, el salario es el $80\%$ del original

After the cut, the wage is $80\%$ of the original

Pista grande:

Halla qué porcentaje del salario reducido representa el $20\%$ faltante del original

Find the percent of the reduced wage represented by the missing $20\%$ of the original

Solución:

Si el salario original es $W,$ el salario reducido es $0.8W.$ El aumento necesario es $0.2W,$ que como fracción del salario reducido es $\frac{0.2W}{0.8W}=\frac14=25\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the original wage is $W,$ the reduced wage is $0.8W.$ The needed increase is $0.2W,$ which as a fraction of the reduced wage is $\frac{0.2W}{0.8W}=\frac14=25\%.$

Thus, the correct answer is B.

8.

La gráfica de $x^2-4y^2=0$ :

The graph of $x^2-4y^2=0:$

es una hipérbola que corta solamente al eje $x$

is a hyperbola intersecting only the $x$ -axis

es una hipérbola que corta solamente al eje $y$

is a hyperbola intersecting only the $y$ -axis

es una hipérbola que no corta a ninguno de los ejes

is a hyperbola intersecting neither axis

es un par de rectas

is a pair of straight lines

no existe

does not exist

Respuesta: D

Conceptos:factorización degenerate conic lines

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Factoriza la diferencia de cuadrados

Factor the difference of squares

Pista grande:

Un producto es cero cuando al menos uno de sus dos factores lineales es cero

A product is zero when at least one of its two linear factors is zero

Solución:

Al factorizar, $x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y).$ Por tanto, la gráfica es la unión de las dos rectas $x=2y$ y $x=-2y.$

La respuesta correcta es D.

Factoring, $x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y).$ Thus the graph is the union of the two straight lines $x=2y$ and $x=-2y.$

The correct answer is D.

9.

Un círculo está inscrito en un triángulo cuyos lados miden $8,$ $15,$ y $17.$ El radio del círculo es:

A circle is inscribed in a triangle with sides $8,$ $15,$ and $17.$ The radius of the circle is:

$6$

$2$

$5$

$3$

$7$

Respuesta: D

Conceptos:triángulo rectángulo inradius area and semiperimeter

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Las longitudes de los lados forman una terna pitagórica

The side lengths form a Pythagorean triple

Pista grande:

Para un triángulo rectángulo, $r=\frac{a+b-c}{2}$

For a right triangle, $r=\frac{a+b-c}{2}$

Solución:

Como $8^2+15^2=17^2,$ el triángulo es rectángulo. Su inradio es $r=\frac{8+15-17}{2}=3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $8^2+15^2=17^2,$ the triangle is right. Its inradius is $r=\frac{8+15-17}{2}=3.$

Thus, the correct answer is D.

10.

¿Cuántas horas tarda un tren que viaja a una velocidad media de $40$ millas por hora entre paradas en recorrer $a$ millas si hace $n$ paradas de $m$ minutos cada una?

How many hours does it take a train traveling at an average rate of $40$ mph between stops to travel $a$ miles if it makes $n$ stops of $m$ minutes each?

$\dfrac{3a+2mn}{120}$

$3a+2mn$

$\dfrac{3a+2mn}{12}$

$\dfrac{a+mn}{40}$

$\dfrac{a+40mn}{40}$

Respuesta: A

Conceptos:rate-time-distance conversión de unidades algebraic expression

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

El tiempo en movimiento es $\frac{a}{40}$ horas

The moving time is $\frac{a}{40}$ hours

Pista grande:

Convierte el tiempo total de parada $mn$ de minutos a horas antes de sumar

Convert the total stopping time $mn$ from minutes to hours before adding

Solución:

El tren está en movimiento durante $\frac{a}{40}$ horas y detenido durante $\frac{mn}{60}$ horas. Por tanto, el tiempo total es $\frac a{40}+\frac{mn}{60} =\frac{3a+2mn}{120}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The train moves for $\frac{a}{40}$ hours and is stopped for $\frac{mn}{60}$ hours. Hence the total time is $\frac a{40}+\frac{mn}{60} =\frac{3a+2mn}{120}.$

Thus, the correct answer is A.

11.

La negación del enunciado «Ningún alumno de aprendizaje lento asiste a esta escuela» es:

The negation of the statement “No slow learners attend this school,” is:

Todos los alumnos de aprendizaje lento asisten a esta escuela.

All slow learners attend this school.

Todos los alumnos de aprendizaje lento no asisten a esta escuela.

All slow learners do not attend this school.

Algunos alumnos de aprendizaje lento asisten a esta escuela.

Some slow learners attend this school.

Algunos alumnos de aprendizaje lento no asisten a esta escuela.

Some slow learners do not attend this school.

Ningún alumno de aprendizaje lento no asiste a esta escuela.

No slow learners do not attend this school.

Respuesta: C

Conceptos:logic negation quantifiers

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

«Ningún» significa que no existe ni un solo ejemplo

“No” means that there does not exist even one example

Pista grande:

Negar una exclusión universal afirma que existe un contraejemplo

Negating a universal exclusion asserts the existence of a counterexample

Solución:

El enunciado original dice que todos los alumnos de aprendizaje lento están ausentes de la escuela. Su negación es que al menos uno de ellos asiste a la escuela.

Por lo tanto, «Algunos alumnos de aprendizaje lento asisten a esta escuela» es correcto, así que la respuesta es C.

The original statement says that every slow learner is absent from the school. Its negation is that at least one slow learner attends the school.

Thus, “Some slow learners attend this school” is correct, so the answer is C.

12.

La solución de $\sqrt{5x-1}+\sqrt{x-1}=2$ es:

The solution of $\sqrt{5x-1}+\sqrt{x-1}=2$ is:

$x=2,$ $x=1$

$x=\dfrac23$

$x=2$

$x=1$

$x=0$

Respuesta: D

Conceptos:radical equation domain extraneous roots

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

La restricción del dominio real de $\sqrt{x-1}$ da $x\ge1$

The real-domain restriction $\sqrt{x-1}$ gives $x\ge1$

Pista grande:

Prueba el extremo más sencillo antes de elevar al cuadrado la ecuación

Test the simplest endpoint before squaring the equation

Solución:

El dominio exige $x\ge1.$ Para $x=1,$ el lado izquierdo es $2+0=2,$ así que $x=1$ funciona. Para ver que no hay otra solución, observa que ambos radicales son no decrecientes cuando $x\ge1,$ y $\sqrt{5x-1}$ es estrictamente creciente. Por lo tanto, la suma es mayor que $2$ para todo $x>1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The domain requires $x\ge1.$ At $x=1,$ the left side is $2+0=2,$ so $x=1$ works. To see that there is no other solution, note that both radicals are nondecreasing for $x\ge1,$ and $\sqrt{5x-1}$ is strictly increasing. Therefore the sum exceeds $2$ for every $x>1.$

Thus, the correct answer is D.

13.

La fracción $\dfrac{a^{-4}-b^{-4}}{a^{-2}-b^{-2}}$ es igual a:

The fraction $\dfrac{a^{-4}-b^{-4}}{a^{-2}-b^{-2}}$ is equal to:

$a^{-6}-b^{-6}$

$a^{-2}-b^{-2}$

$a^{-2}+b^{-2}$

$a^2+b^2$

$a^2-b^2$

Respuesta: C

Conceptos:diferencia de cuadrados negative exponents rational expression

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Considera $a^{-4}-b^{-4}$ como una diferencia de cuadrados

Regard $a^{-4}-b^{-4}$ as a difference of squares

Pista grande:

Factorízala usando $a^{-2}$ y $b^{-2}$

Factor it using $a^{-2}$ and $b^{-2}$

Solución:

Al factorizar el numerador, $\begin{aligned} a^{-4}-b^{-4} &=(a^{-2}-b^{-2})\\ &\quad\cdot(a^{-2}+b^{-2}). \end{aligned}$ Donde la fracción original está definida, al cancelar el factor común queda $a^{-2}+b^{-2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Factoring the numerator, $\begin{aligned} a^{-4}-b^{-4} &=(a^{-2}-b^{-2})\\ &\quad\cdot(a^{-2}+b^{-2}). \end{aligned}$ Where the original fraction is defined, canceling the common factor leaves $a^{-2}+b^{-2}.$

Thus, the correct answer is C.

14.

El largo del rectángulo $R$ es un $10$ por ciento mayor que el lado del cuadrado $S.$ El ancho del rectángulo es un $10$ por ciento menor que el lado del cuadrado. La razón de las áreas, $R:S,$ es:

The length of rectangle $R$ is $10$ percent more than the side of square $S.$ The width of the rectangle is $10$ percent less than the side of the square. The ratio of the areas, $R:S,$ is:

$99:100$

$101:100$

$1:1$

$199:200$

$201:200$

Respuesta: A

Conceptos:razón de áreas percentage change rectángulo

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Sea $s$ la longitud del lado del cuadrado

Let the square’s side length be $s$

Pista grande:

El área del rectángulo es $(1.1s)(0.9s)$

The rectangle’s area is $(1.1s)(0.9s)$

Solución:

Si el lado del cuadrado es $s,$ entonces las dimensiones del rectángulo son $1.1s$ y $0.9s.$ Por tanto, $\begin{aligned} \frac{[R]}{[S]} &=\frac{(1.1s)(0.9s)}{s^2}\\ &=0.99=\frac{99}{100}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the square side is $s,$ then the rectangle has dimensions $1.1s$ and $0.9s.$ Therefore $\begin{aligned} \frac{[R]}{[S]} &=\frac{(1.1s)(0.9s)}{s^2}\\ &=0.99=\frac{99}{100}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is A.

15.

La razón de las áreas de dos círculos concéntricos es $1:3.$ Si el radio del menor es $r,$ entonces la diferencia entre los radios se aproxima mejor por:

The ratio of the areas of two concentric circles is $1:3.$ If the radius of the smaller is $r,$ then the difference between the radii is best approximated by:

$0.41r$

$0.73$

$0.75$

$0.73r$

$0.75r$

Respuesta: D

Conceptos:área del círculo ratio approximation

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Las razones de áreas son los cuadrados de las razones de radios

Area ratios are the squares of radius ratios

Pista grande:

El radio mayor es $r\sqrt3$ , así que estima $\sqrt3-1$

The larger radius is $r\sqrt3$ , so estimate $\sqrt3-1$

Solución:

Si el radio mayor es $R,$ entonces $\frac{\pi r^2}{\pi R^2}=\frac13,$ de modo que $R=r\sqrt3.$ La diferencia es $R-r=(\sqrt3-1)r\approx0.732r.$

Por lo tanto, la mejor aproximación es $0.73r,$ y la respuesta correcta es D.

If the larger radius is $R,$ then $\frac{\pi r^2}{\pi R^2}=\frac13,$ so $R=r\sqrt3.$ The difference is $R-r=(\sqrt3-1)r\approx0.732r.$

Thus, the best approximation is $0.73r,$ and the correct answer is D.

16.

El valor de $\dfrac3{a+b}$ cuando $a=4$ y $b=-4$ es:

The value of $\dfrac3{a+b}$ when $a=4$ and $b=-4$ is:

$3$

$\dfrac38$

$0$

cualquier número finito

any finite number

sin sentido

meaningless

Respuesta: E

Conceptos:division by zero rational expression sustitución

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Sustituye primero los dos valores dados en el denominador

Substitute the two given values into the denominator first

Pista grande:

Una fracción con denominador $0$ no está definida

A fraction with denominator $0$ is undefined

Solución:

La sustitución da $a+b=4+(-4)=0.$ Por tanto, la expresión se convierte en $\frac{3}{0},$ que no está definida.

Por lo tanto, la expresión no tiene sentido y la respuesta correcta es E.

Substitution gives $a+b=4+(-4)=0.$ Hence the expression becomes $\frac{3}{0},$ which is undefined.

Thus, the expression is meaningless and the correct answer is E.

17.

Si $\log x-5\log3=-2,$ entonces $x$ es igual a:

If $\log x-5\log3=-2,$ then $x$ equals:

$1.25$

$0.81$

$2.43$

$0.8$

$0.8$ o $1.25$

either $0.8$ or $1.25$

Respuesta: C

Conceptos:common logarithm logarithm laws exponents

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Pasa $5\log3$ al otro lado

Move $5\log3$ to the other side

Pista grande:

Usa $-2=\log10^{-2}$ y combina los logaritmos

Use $-2=\log10^{-2}$ and combine logarithms

Solución:

Usando logaritmos comunes, $\begin{aligned} \log x&=5\log3-2\\ &=\log(3^5)-\log100\\ &=\log\left(\frac{243}{100}\right). \end{aligned}$ Por lo tanto, $x=2.43.$

La respuesta correcta es C.

Using common logarithms, $\begin{aligned} \log x&=5\log3-2\\ &=\log(3^5)-\log100\\ &=\log\left(\frac{243}{100}\right). \end{aligned}$ Therefore $x=2.43.$

The correct answer is C.

18.

El discriminante de la ecuación $x^2+2x\sqrt3+3=0$ es cero. Por consiguiente, sus raíces son:

The discriminant of the equation $x^2+2x\sqrt3+3=0$ is zero. Hence, its roots are:

reales e iguales

real and equal

racionales e iguales

rational and equal

racionales y desiguales

rational and unequal

irracionales y desiguales

irrational and unequal

imaginarias

imaginary

Respuesta: A

Conceptos:quadratic discriminant repeated root real numbers

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Usa la fórmula cuadrática con el término del discriminante igual a cero

Use the quadratic formula with the discriminant term equal to zero

Pista grande:

Después clasifica el valor resultante $-\frac{b}{2a}$ según las opciones dadas

Then inspect the resulting value $-\frac{b}{2a}$ for the requested classifications

Solución:

La fórmula cuadrática da $x=\frac{-2\sqrt3}{2}=-\sqrt3$ dos veces porque el discriminante es cero. La raíz es irracional, pero la descripción aplicable entre las ofrecidas es «reales e iguales».

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The quadratic formula gives $x=\frac{-2\sqrt3}{2}=-\sqrt3$ twice because the discriminant is zero. The root is irrational, but the requested description that applies is “real and equal.”

Thus, the correct answer is A.

19.

Dos números cuya suma es $6$ y el valor absoluto de cuya diferencia es $8$ son raíces de la ecuación:

Two numbers whose sum is $6$ and the absolute value of whose difference is $8$ are roots of the equation:

$x^2-6x+7=0$

$x^2-6x-7=0$

$x^2+6x-8=0$

$x^2-6x+8=0$

$x^2+6x-7=0$

Respuesta: B

Conceptos:sum and difference roots of a quadratic Vieta formulas

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Después de elegir un orden, resuelve $u+v=6$ y $u-v=8$

Solve $u+v=6$ and $u-v=8$ after choosing an order

Pista grande:

Un polinomio cuadrático mónico con raíces $u,v$ es $x^2-(u+v)x+uv$

A monic quadratic with roots $u,v$ is $x^2-(u+v)x+uv$

Solución:

Tomando primero el número mayor, $u+v=6,\qquad u-v=8$ da $u=7$ y $v=-1.$ Su producto es $-7,$ así que la ecuación mónica con estas raíces es $x^2-6x-7=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Taking the larger number first, $u+v=6,\qquad u-v=8$ gives $u=7$ and $v=-1.$ Their product is $-7,$ so the monic equation with these roots is $x^2-6x-7=0.$

Thus, the correct answer is B.

20.

La expresión $\sqrt{25-t^2}+5$ es igual a cero para:

The expression $\sqrt{25-t^2}+5$ equals zero for:

ningún valor real ni imaginario de $t$

no real or imaginary values of $t$

ningún valor real de $t$ solamente

no real values of $t$ only

ningún valor imaginario de $t$ solamente

no imaginary values of $t$ only

$t=0$

$t=\pm5$

Respuesta: A

Conceptos:principal square root radical equation complex numbers

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Aísla el radical antes de hacer cualquier operación algebraica

Isolate the radical before doing any algebra

Pista grande:

Si elevas al cuadrado, comprueba cada candidato en la ecuación original porque el radical tiene un signo establecido

If you square, check every candidate in the original equation because the radical has a prescribed sign

Solución:

Para que la expresión se anule, se necesitaría $\sqrt{25-t^2}=-5.$ El signo radical denota la raíz cuadrada principal. Esta es no negativa para un radicando real no negativo y, sobre los números complejos, se elige con parte real no negativa; por ello no puede ser igual a $-5.$ Elevar al cuadrado introduciría el candidato extraño $t=0,$ para el cual la expresión original vale $10.$

Por lo tanto, ningún valor real ni imaginario funciona, y la respuesta correcta es A.

For the expression to vanish, one would need $\sqrt{25-t^2}=-5.$ The radical sign denotes the principal square root. It is nonnegative for a nonnegative real radicand and, over the complex numbers, is chosen with nonnegative real part; it therefore cannot equal $-5.$ Squaring would introduce the extraneous candidate $t=0,$ for which the original expression is $10.$

Thus, no real or imaginary value works, and the correct answer is A.

21.

Representa la hipotenusa de un triángulo rectángulo por $c$ y el área por $A.$ La altura trazada sobre la hipotenusa es:

Represent the hypotenuse of a right triangle by $c$ and the area by $A.$ The altitude on the hypotenuse is:

$\dfrac Ac$

$\dfrac{2A}{c}$

$\dfrac A{2c}$

$\dfrac{A^2}{c}$

$\dfrac A{c^2}$

Respuesta: B

Conceptos:área del triángulo altura algebra

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Usa la hipotenusa como base del triángulo

Use the hypotenuse as the base of the triangle

Pista grande:

Si la altura correspondiente es $h,$ entonces $A=\frac{ch}{2}$

If the corresponding altitude is $h,$ then $A=\frac{ch}{2}$

Solución:

Tomando la hipotenusa como base y denotando su altura por $h,$ $A=\frac12ch.$ Al despejar se obtiene $h=\frac{2A}{c}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Taking the hypotenuse as the base and writing its altitude as $h,$ $A=\frac12ch.$ Solving gives $h=\frac{2A}{c}.$

Thus, the correct answer is B.

22.

En un pedido de $\$10{,}000$ , un comerciante puede elegir entre tres descuentos sucesivos de $20\%,$ $20\%,$ y $10\%$ , y tres descuentos sucesivos de $40\%,$ $5\%,$ y $5\%.$ Al elegir la mejor oferta, puede ahorrar:

On a $\$10{,}000$ order a merchant has a choice between three successive discounts of $20\%,$ $20\%,$ and $10\%$ and three successive discounts of $40\%,$ $5\%,$ and $5\%.$ By choosing the better offer, he can save:

absolutamente nada

nothing at all

$\$440$

$\$330$

$\$345$

$\$360$

Respuesta: D

Conceptos:successive discounts percentage multiplication comparison

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Los descuentos sucesivos multiplican los factores del precio restante

Successive discounts multiply the remaining-price factors

Pista grande:

Compara $0.8\cdot0.8\cdot0.9$ con $0.6\cdot0.95\cdot0.95$

Compare $0.8\cdot0.8\cdot0.9$ with $0.6\cdot0.95\cdot0.95$

Solución:

La primera oferta deja una fracción $0.8\cdot0.8\cdot0.9=0.576$ del precio. La segunda deja $0.6\cdot0.95^2=0.5415.$ La segunda cuesta menos por $0.576-0.5415=0.0345$ del pedido, es decir, $0.0345(10000)=345$ dólares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The first offer leaves a fraction $0.8\cdot0.8\cdot0.9=0.576$ of the price. The second leaves $0.6\cdot0.95^2=0.5415.$ The second is cheaper by $0.576-0.5415=0.0345$ of the order, or $0.0345(10000)=345$ dollars.

Thus, the correct answer is D.

23.

Al revisar la caja chica, un empleado cuenta $q$ monedas de veinticinco centavos, $d$ de diez centavos, $n$ de cinco centavos y $c$ de un centavo. Más tarde descubre que $x$ de las monedas de cinco centavos se contaron como monedas de veinticinco, y $x$ de las monedas de diez centavos se contaron como monedas de un centavo. Para corregir el total obtenido, el empleado debe:

In checking the petty cash a clerk counts $q$ quarters, $d$ dimes, $n$ nickels, and $c$ cents. Later he discovers that $x$ of the nickels were counted as quarters and $x$ of the dimes were counted as cents. To correct the total obtained the clerk must:

no hacer ninguna corrección

make no correction

restar $11$ ¢

subtract $11$ ¢

restar $11x$ ¢

subtract $11x$ ¢

sumar $11x$ ¢

add $11x$ ¢

sumar $x$ ¢

add $x$ ¢

Respuesta: C

Conceptos:coin values accounting error linear expression

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Cada moneda de cinco centavos contada como una de veinticinco hace que el total sea $20$ ¢ demasiado grande

Each nickel counted as a quarter makes the total too large by $20$ ¢

Pista grande:

Cada moneda de diez centavos contada como una de un centavo hace que el total sea $9$ ¢ demasiado pequeño

Each dime counted as a cent makes the total too small by $9$ ¢

Solución:

Las $x$ monedas de cinco centavos contadas como monedas de veinticinco exageran el total en $20x$ ¢. Las $x$ monedas de diez centavos contadas como monedas de un centavo lo reducen en $9x$ ¢. El exceso neto es de $20x-9x=11x$ centavos, por lo que se debe restar esa cantidad.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The $x$ nickels counted as quarters overstate the total by $20x$ ¢. The $x$ dimes counted as cents understate it by $9x$ ¢. The net overstatement is $20x-9x=11x$ cents, so that amount must be subtracted.

Thus, the correct answer is C.

24.

La función $4x^2-12x-1$ :

The function $4x^2-12x-1:$

siempre aumenta cuando $x$ aumenta

always increases as $x$ increases

siempre disminuye cuando $x$ disminuye hasta $1$

always decreases as $x$ decreases to $1$

no puede ser igual a $0$

cannot equal $0$

tiene un valor máximo cuando $x$ es negativo

has a maximum value when $x$ is negative

tiene un valor mínimo de $-10$

has a minimum value of $-10$

Respuesta: E

Conceptos:quadratic function completar el cuadrado minimum

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Completa el cuadrado en $4x^2-12x-1$

Complete the square in $4x^2-12x-1$

Pista grande:

Extrae $4$ de los términos cuadrático y lineal antes de formar $(x-\frac{3}{2})^2$

Factor $4$ from the quadratic terms before forming $(x-\frac{3}{2})^2$

Solución:

Al completar el cuadrado, $\begin{aligned} 4x^2-12x-1 &=4\left(x-\frac32\right)^2\\ &\quad{}-10. \end{aligned}$ El término al cuadrado es no negativo, así que el valor mínimo es $-10,$ alcanzado cuando $x=\frac{3}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Completing the square, $\begin{aligned} 4x^2-12x-1 &=4\left(x-\frac32\right)^2\\ &\quad{}-10. \end{aligned}$ The squared term is nonnegative, so the minimum value is $-10,$ attained at $x=\frac{3}{2}.$

Thus, the correct answer is E.

25.

Uno de los factores de $x^4+2x^2+9$ es:

One of the factors of $x^4+2x^2+9$ is:

$x^2+3$

$x+1$

$x^2-3$

$x^2-2x-3$

ninguno de estos

none of these

Respuesta: E

Conceptos:polynomial factorization diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Reescribe el polinomio como $(x^2+3)^2-(2x)^2$

Rewrite the polynomial as $(x^2+3)^2-(2x)^2$

Pista grande:

Factoriza la diferencia de cuadrados resultante y compara ambos factores con las opciones

Factor the resulting difference of squares and compare both factors with the choices

Solución:

Tenemos $\begin{aligned} x^4+2x^2+9 &=(x^2+3)^2\\ &\quad{}-(2x)^2\\ &=(x^2-2x+3)\\ &\quad\cdot(x^2+2x+3). \end{aligned}$ Ninguno de los dos factores aparece entre las opciones A a D.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

We have $\begin{aligned} x^4+2x^2+9 &=(x^2+3)^2\\ &\quad{}-(2x)^2\\ &=(x^2-2x+3)\\ &\quad\cdot(x^2+2x+3). \end{aligned}$ Neither factor appears among choices A through D.

Thus, the correct answer is E.

26.

El Sr. $A$ posee una casa que vale $\$10{,}000.$ Se la vende al Sr. $B$ con una ganancia del $10\%.$ El Sr. $B$ vuelve a venderle la casa al Sr. $A$ con una pérdida del $10\%.$ Entonces:

Mr. $A$ owns a house worth $\$10{,}000.$ He sells it to Mr. $B$ at $10\%$ profit. Mr. $B$ sells the house back to Mr. $A$ at a $10\%$ loss. Then:

el Sr. $A$ queda a mano

Mr. $A$ comes out even

el Sr. $A$ gana $\$100$

Mr. $A$ makes $\$100$

el Sr. $A$ gana $\$1{,}000$

Mr. $A$ makes $\$1{,}000$

el Sr. $B$ pierde $\$100$

Mr. $B$ loses $\$100$

ninguna de las anteriores es correcta

none of the above is correct

Respuesta: E

Conceptos:percentage profit and loss successive transactions net change

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

El precio de la primera venta es $1.10(10000)$

The first sale price is $1.10(10000)$

Pista grande:

La pérdida del Sr. $B$ es el $10\%$ de lo que pagó, no el $10\%$ del valor original de la casa

Mr. $B$ ’s loss is $10\%$ of what he paid, not $10\%$ of the original house value

Solución:

El Sr. $A$ recibe primero $1.10(10000)=11000$ dólares. El Sr. $B$ vende después con una pérdida del $10\%$ de su costo de $11000$ dólares, así que el Sr. $A$ recompra la casa por $0.90(11000)=9900$ dólares. El Sr. $A$ vuelve a poseer la casa y ha ganado $11000-9900=1100$ dólares; el Sr. $B$ ha perdido $1100$ dólares. Ninguna de las cantidades indicadas es correcta.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Mr. $A$ first receives $1.10(10000)=11000$ dollars. Mr. $B$ then sells at a loss of $10\%$ of his $11000$ -dollar cost, so Mr. $A$ buys the house back for $0.90(11000)=9900$ dollars. Mr. $A$ again owns the house and has gained $11000-9900=1100$ dollars; Mr. $B$ has lost $1100$ dollars. None of the stated amounts is correct.

Thus, the correct answer is E.

27.

Si $r$ y $s$ son las raíces de $x^2-px+q=0,$ entonces $r^2+s^2$ es igual a:

If $r$ and $s$ are the roots of $x^2-px+q=0,$ then $r^2+s^2$ equals:

$p^2+2q$

$p^2-2q$

$p^2+q^2$

$p^2-q^2$

$p^2$

Respuesta: B

Conceptos:Vieta formulas symmetric expressions quadratic roots

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Usa $r+s=p$ y $rs=q$

Use $r+s=p$ and $rs=q$

Pista grande:

Desarrolla $(r+s)^2$ y despeja $r^2+s^2$

Expand $(r+s)^2$ and isolate $r^2+s^2$

Solución:

Por las fórmulas de Vieta, $r+s=p$ y $rs=q.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=p^2-2q. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By Vieta’s formulas, $r+s=p$ and $rs=q.$ Therefore $\begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=p^2-2q. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

28.

En el mismo sistema de ejes se dibujan la gráfica de $y=ax^2+bx+c$ y la de la ecuación obtenida al sustituir $x$ por $-x$ en la ecuación dada. Si $b\ne0$ y $c\ne0$ , estas dos gráficas se cortan:

On the same set of axes are drawn the graph of $y=ax^2+bx+c$ and the graph of the equation obtained by replacing $x$ by $-x$ in the given equation. If $b\ne0$ and $c\ne0$ these two graphs intersect:

en dos puntos, uno sobre el eje $x$ y otro sobre el eje $y$

in two points, one on the $x$ -axis and one on the $y$ -axis

en un punto que no está sobre ninguno de los ejes

in one point located on neither axis

solamente en el origen

only at the origin

en un punto sobre el eje $x$

in one point on the $x$ -axis

en un punto sobre el eje $y$

in one point on the $y$ -axis

Respuesta: E

Conceptos:parabola reflection simultaneous equations simetría

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

La gráfica reflejada es $y=ax^2-bx+c$

The reflected graph is $y=ax^2-bx+c$

Pista grande:

Iguala las dos expresiones de $y$ y usa $b\ne0$

Set the two expressions for $y$ equal and use $b\ne0$

Solución:

Al sustituir $x$ por $-x$ se obtiene $y=ax^2-bx+c.$ En un punto de intersección, $ax^2+bx+c=ax^2-bx+c,$ de modo que $2bx=0.$ Como $b\ne0,$ debe cumplirse $x=0,$ y entonces $y=c\ne0.$ Hay exactamente una intersección, $(0,c),$ sobre el eje $y$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Replacing $x$ by $-x$ gives $y=ax^2-bx+c.$ At an intersection, $ax^2+bx+c=ax^2-bx+c,$ so $2bx=0.$ Since $b\ne0,$ we must have $x=0,$ and then $y=c\ne0.$ There is exactly one intersection, $(0,c),$ on the $y$ -axis.

Thus, the correct answer is E.

29.

En la figura, $\overline{PA}$ es tangente al semicírculo $SAR;$ $\overline{PB}$ es tangente al semicírculo $RBT;$ $SRT$ es una línea recta y los arcos se indican en la figura. La medida del ángulo $APB$ es:

In the figure $\overline{PA}$ is tangent to semicircle $SAR;$ $\overline{PB}$ is tangent to semicircle $RBT;$ $SRT$ is a straight line; the arcs are indicated in the figure. Angle $APB$ is measured by:

$\dfrac12(a-b)$

$\dfrac12(a+b)$

$(c-a)-(d-b)$

$a-b$

$a+b$

Respuesta: E

Conceptos:tangent-tangent angle circle arcs angle measure

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Traza $\overline{PR}$ , que es tangente a ambos semicírculos en $R$

Draw $\overline{PR}$ , which is tangent to both semicircles at $R$

Pista grande:

Usa el teorema del ángulo entre dos tangentes en cada círculo, y después $a+c=b+d=180^\circ$

Use the tangent-tangent angle theorem on each circle, then use $a+c=b+d=180^\circ$

Solución:

La recta $PR$ es tangente a ambos semicírculos en su extremo común $R.$ Para el círculo mayor, el teorema del ángulo entre dos tangentes da $\angle APR=180^\circ-a=c.$ Para el círculo menor, el mismo teorema da $\angle RPB=180^\circ-b=d.$ Por tanto, el ángulo reflejo de $\overline{PA}$ a $\overline{PB}$ que pasa por $\overline{PR}$ mide $c+d.$ Así, el otro ángulo entre las tangentes es $\begin{aligned} 360^\circ-(c+d) &=(180^\circ-c)\\ &\quad{}+(180^\circ-d)\\ &=a+b, \end{aligned}$ porque cada semicírculo superior mide $180^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The line $PR$ is tangent to both semicircles at their common endpoint $R.$ For the larger circle, the tangent-tangent angle theorem gives $\angle APR=180^\circ-a=c.$ For the smaller circle, the same theorem gives $\angle RPB=180^\circ-b=d.$ Thus the reflex angle from $\overline{PA}$ to $\overline{PB}$ through $\overline{PR}$ has measure $c+d.$ Hence the other angle between the tangents is $\begin{aligned} 360^\circ-(c+d) &=(180^\circ-c)\\ &\quad{}+(180^\circ-d)\\ &=a+b, \end{aligned}$ because each upper semicircle has measure $180^\circ.$

Thus, the correct answer is E.

30.

Cada una de las ecuaciones $3x^2-2=25,$ $(2x-1)^2=(x-1)^2,$ $\sqrt{x^2-7}=\sqrt{x-1}$ tiene:

Each of the equations $3x^2-2=25,$ $(2x-1)^2=(x-1)^2,$ $\sqrt{x^2-7}=\sqrt{x-1}$ has:

dos raíces enteras

two integral roots

ninguna raíz mayor que $3$

no root greater than $3$

ninguna raíz igual a cero

no root zero

solamente una raíz

only one root

una raíz negativa y una positiva

one negative root and one positive root

Respuesta: B

Conceptos:equation solving radical domain common property

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Resuelve cada ecuación por separado y compara las propiedades de sus raíces

Solve each equation separately and compare the properties of their roots

Pista grande:

Para la ecuación con radicales, descarta los candidatos que hagan negativo cualquiera de los radicandos

For the radical equation, reject candidates that make either radicand negative

Solución:

La primera ecuación da $x=\pm3.$ Al factorizar la diferencia de cuadrados en la segunda se obtiene $\begin{aligned} &[(2x-1)-(x-1)]\\ &\quad\cdot[(2x-1)+(x-1)]\\ &\qquad=x(3x-2)=0, \end{aligned}$ de modo que $x=0$ o $\frac{2}{3}.$ Al elevar al cuadrado la tercera se obtiene $x^2-x-6=0,$ con candidatos $3$ y $-2;$ solamente $3$ satisface las restricciones del dominio real. Todas las raíces obtenidas son a lo sumo $3.$

Por lo tanto, ninguna ecuación tiene una raíz mayor que $3,$ y la respuesta correcta es B.

The first equation gives $x=\pm3.$ Factoring the difference of squares in the second gives $\begin{aligned} &[(2x-1)-(x-1)]\\ &\quad\cdot[(2x-1)+(x-1)]\\ &\qquad=x(3x-2)=0, \end{aligned}$ so $x=0$ or $\frac{2}{3}.$ Squaring the third gives $x^2-x-6=0,$ with candidates $3$ and $-2;$ only $3$ satisfies the real-domain restrictions. Every root obtained is at most $3.$

Thus, each equation has no root greater than $3,$ and the correct answer is B.

31.

Un triángulo equilátero de lado $2$ se divide en un triángulo y un trapecio mediante una recta paralela a uno de sus lados. Si el área del trapecio es igual a la mitad del área del triángulo original, la longitud de la mediana del trapecio es:

An equilateral triangle whose side is $2$ is divided into a triangle and a trapezoid by a line drawn parallel to one of its sides. If the area of the trapezoid equals one-half of the area of the original triangle, the length of the median of the trapezoid is:

$\dfrac{\sqrt6}{2}$

$\sqrt2$

$2+\sqrt2$

$\dfrac{2+\sqrt2}{2}$

$\dfrac{2\sqrt3-\sqrt6}{2}$

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

El triángulo pequeño tiene la mitad del área original; determina su lado usando semejanza

The small triangle has half the original area, so determine its side using similarity

Pista grande:

La mediana del trapecio es el promedio de las longitudes de sus dos lados paralelos

The trapezoid median is the average of its two parallel side lengths

Solución:

El triángulo pequeño también tiene la mitad del área original. Si su lado paralelo a la base original tiene longitud $b,$ la semejanza da $\left(\frac b2\right)^2=\frac12,$ de modo que $b=\sqrt2.$ Los lados paralelos del trapecio miden $2$ y $\sqrt2,$ así que su mediana mide $\frac{2+\sqrt2}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The small triangle also has half the original area. If its side parallel to the original base has length $b,$ similarity gives $\left(\frac b2\right)^2=\frac12,$ so $b=\sqrt2.$ The parallel sides of the trapezoid have lengths $2$ and $\sqrt2,$ so its median has length $\frac{2+\sqrt2}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

32.

Si el discriminante de $ax^2+2bx+c=0$ es cero, entonces otra afirmación verdadera sobre $a,$ $b,$ y $c$ es que:

If the discriminant of $ax^2+2bx+c=0$ is zero, then another true statement about $a,$ $b,$ and $c$ is that:

forman una progresión aritmética

they form an arithmetic progression

forman una progresión geométrica

they form a geometric progression

son desiguales

they are unequal

son todos números negativos

they are all negative numbers

solamente $b$ es negativo y $a$ y $c$ son positivos

only $b$ is negative and $a$ and $c$ are positive

Respuesta: B

Conceptos:quadratic discriminant geometric progression

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Iguala $(2b)^2-4ac$ a cero

Set $(2b)^2-4ac$ equal to zero

Pista grande:

Compara la relación resultante con los criterios que definen las progresiones aritméticas y geométricas

Compare the resulting relation with the defining tests for arithmetic and geometric progressions

Solución:

Un discriminante cero da $(2b)^2-4ac=0,$ y por tanto $b^2=ac.$ Equivalentemente, $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$ donde las razones están definidas, que es la relación que caracteriza a $a,b,c$ como una progresión geométrica.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

A zero discriminant gives $(2b)^2-4ac=0,$ hence $b^2=ac.$ Equivalently, $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$ where the ratios are defined, which is the defining relation for $a,b,c$ to form a geometric progression.

Thus, the correct answer is B.

33.

Henry inicia un viaje cuando las manecillas del reloj coinciden entre las $8$ a. m. y las $9$ a. m. Llega a su destino entre las $2$ p. m. y las $3$ p. m., cuando las manecillas están separadas exactamente $180^\circ.$ El viaje dura:

Henry starts a trip when the hands of the clock are together between $8$ a.m. and $9$ a.m. He arrives at his destination between $2$ p.m. and $3$ p.m. when the hands of the clock are exactly $180^\circ$ apart. The trip takes:

$6$ h

$6$ hr.

$6$ h $43\dfrac7{11}$ min

$6$ hr. $43\dfrac7{11}$ min.

$5$ h $16\dfrac4{11}$ min

$5$ hr. $16\dfrac4{11}$ min.

$6$ h $30$ min

$6$ hr. $30$ min.

ninguna de estas

none of these

Respuesta: A

Conceptos:clock hands angular speed elapsed time

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Al inicio, el minutero debe cerrar una brecha de $240^\circ$ a razón de $5.5^\circ$ por minuto

At the start, the minute hand must close a $240^\circ$ gap at $5.5^\circ$ per minute

Pista grande:

Calcula el instante correspondiente después de las $2{:}00$ cuando las manecillas están opuestas y compara los dos desfases

Compute the corresponding time after $2{:}00$ when the hands are opposite and compare the two offsets

Solución:

A las $8{:}00,$ la manecilla de la hora lleva $240^\circ$ de ventaja. El minutero gana $5.5^\circ$ por minuto, de modo que las manecillas coinciden $\frac{240}{5.5}=\frac{480}{11}$ minutos después de las $8.$ A las $2{:}00,$ la manecilla de la hora lleva $60^\circ$ de ventaja. Para que las manecillas estén separadas $180^\circ$ en el sentido pertinente, el minutero debe ganar $240^\circ,$ lo que vuelve a tomar $\frac{480}{11}$ minutos. Por tanto, el inicio y el final tienen el mismo desfase de minutos dentro de sus respectivas horas y están separados exactamente seis horas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

At $8{:}00,$ the hour hand is $240^\circ$ ahead. The minute hand gains at $5.5^\circ$ per minute, so the hands coincide $\frac{240}{5.5}=\frac{480}{11}$ minutes after $8.$ At $2{:}00,$ the hour hand is $60^\circ$ ahead. For the hands to be $180^\circ$ apart in the relevant direction, the minute hand must gain $240^\circ,$ again taking $\frac{480}{11}$ minutes. The start and finish therefore have the same minute offset within their hours, exactly six hours apart.

Thus, the correct answer is A.

34.

Un poste de $6$ pulgadas de diámetro y otro de $18$ pulgadas de diámetro se colocan juntos y se atan con alambre. La longitud del alambre más corto que puede rodearlos es:

A $6$ -inch-diameter pole and an $18$ -inch-diameter pole are placed together and bound together with wire. The length of the shortest wire that will go around them is:

$12\sqrt3+16\pi$

$12\sqrt3+7\pi$

$12\sqrt3+14\pi$

$12+15\pi$

$24\pi$

Respuesta: C

Conceptos:common external tangents circle arcs perímetro

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

El alambre consta de dos segmentos tangentes exteriores comunes y un arco expuesto de cada círculo

The wire consists of two common external tangent segments and one exposed arc on each circle

Pista grande:

Usa radios $3$ y $9$ ; cada segmento tangente mide $\sqrt{12^2-6^2}$

Use radii $3$ and $9$ ; each tangent segment has length $\sqrt{12^2-6^2}$

Solución:

Los centros están separados $12$ pulgadas y sus radios difieren en $6.$ Por tanto, cada segmento tangente exterior común mide $\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3,$ para un total de $12\sqrt3$ . La geometría de las rectas tangentes deja un arco expuesto de $120^\circ$ en el círculo de radio $3$ y uno de $240^\circ$ en el círculo de radio $9$ . Sus longitudes suman $\begin{aligned} &\frac{120}{360}(2\pi\cdot3)\\ &\quad{}+\frac{240}{360}(2\pi\cdot9)\\ &\qquad=2\pi+12\pi\\ &\qquad=14\pi. \end{aligned}$ Por lo tanto, la longitud del alambre es $12\sqrt3+14\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The centers are $12$ inches apart and their radii differ by $6.$ Thus each common external tangent segment has length $\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3,$ contributing $12\sqrt3$ in all. The geometry of the tangent lines leaves a $120^\circ$ exposed arc on the radius- $3$ circle and a $240^\circ$ exposed arc on the radius- $9$ circle. Their lengths total $\begin{aligned} &\frac{120}{360}(2\pi\cdot3)\\ &\quad{}+\frac{240}{360}(2\pi\cdot9)\\ &\qquad=2\pi+12\pi\\ &\qquad=14\pi. \end{aligned}$ Hence the wire length is $12\sqrt3+14\pi.$

Thus, the correct answer is C.

35.

Tres muchachos acuerdan repartirse una bolsa de canicas de la siguiente manera. El primero toma una canica más que la mitad. El segundo toma un tercio de las que quedan. El tercero descubre que le quedan el doble de canicas que al segundo. El número original de canicas:

Three boys agree to divide a bag of marbles in the following manner. The first boy takes one more than half the marbles. The second takes a third of the number remaining. The third boy finds that he is left with twice as many marbles as the second boy. The original number of marbles:

no es ninguno de los siguientes

is none of the following

no puede determinarse con los datos dados

cannot be determined from the given data

es $20$ o $26$

is $20$ or $26$

es $14$ o $32$

is $14$ or $32$

es $8$ o $38$

is $8$ or $38$

Respuesta: B

Conceptos:fractions of a remainder integer constraints underdetermined problem

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Sea $n$ el número original y expresa lo que queda después del primer muchacho

Let the original number be $n$ and express the remainder after the first boy

Pista grande:

Traduce la condición sobre las porciones de los dos últimos muchachos a una ecuación y comprueba si determina $n$ de manera única

Translate the last two boys’ share condition into an equation and see whether it determines $n$ uniquely

Solución:

El primero toma $\frac{n}{2}+1,$ y deja $\frac{n}{2}-1.$ El segundo toma un tercio de ese resto y el tercero recibe los otros dos tercios, automáticamente el doble de la porción del segundo. Por tanto, la condición del reparto no impone un valor único de $n.$ Solamente exige que $\frac{n}{2}-1$ sea un múltiplo no negativo de $3,$ por lo que sirven muchos valores, como $8,14,20,26,\ldots$ .

Por lo tanto, el número original no puede determinarse y la respuesta correcta es B.

The first boy takes $\frac{n}{2}+1,$ leaving $\frac{n}{2}-1.$ The second takes one third of that remainder, and the third receives the other two thirds, automatically twice the second boy’s share. Thus the share condition imposes no unique value of $n.$ It only requires $\frac{n}{2}-1$ to be a nonnegative multiple of $3,$ so many values such as $8,14,20,26,\ldots$ work.

Therefore the original number cannot be determined, and the correct answer is B.

36.

Un tanque cilíndrico de petróleo, colocado horizontalmente, tiene una longitud interior de $10$ pies y un diámetro interior de $6$ pies. Si la superficie rectangular del petróleo tiene un área de $40$ pies cuadrados, la profundidad del petróleo es:

A cylindrical oil tank, lying horizontally, has an interior length of $10$ feet and an interior diameter of $6$ feet. If the rectangular surface of the oil has an area of $40$ square feet, the depth of the oil is:

$\sqrt5$

$2\sqrt5$

$3-\sqrt5$

$3+\sqrt5$

$3-\sqrt5$ o $3+\sqrt5$

either $3-\sqrt5$ or $3+\sqrt5$

Respuesta: E

Conceptos:circle chord horizontal cylinder Pythagorean theorem

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

La superficie del petróleo es un rectángulo de longitud $10$ , así que su ancho es $4$

The oil surface is a rectangle of length $10$ , so its width is $4$

Pista grande:

En el extremo circular, una cuerda de longitud $4$ está a $\sqrt{3^2-2^2}$ del centro

In the circular end, a chord of length $4$ lies $\sqrt{3^2-2^2}$ from the center

Solución:

La superficie rectangular tiene longitud $10,$ así que su ancho, que es una cuerda de la sección circular, es $\frac{40}{10}=4.$ La semicuerda mide $2,$ y el radio es $3,$ de modo que la distancia del centro a la cuerda es $\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt5.$ Una cuerda de esta longitud puede estar por debajo o por encima del centro. Medidas desde el fondo del tanque, las profundidades correspondientes son $3-\sqrt5$ y $3+\sqrt5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The rectangular surface has length $10,$ so its chord width in the circular cross-section is $\frac{40}{10}=4.$ Half the chord is $2,$ and the radius is $3,$ so the distance from the center to the chord is $\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt5.$ A chord of this length can lie either below or above the center. Measured from the bottom of the tank, the corresponding depths are $3-\sqrt5$ and $3+\sqrt5.$

Thus, the correct answer is E.

37.

Un número de tres cifras tiene, de izquierda a derecha, las cifras $h,$ $t,$ y $u$ , con $h>u.$ Cuando el número con las cifras invertidas se resta del número original, la cifra de las unidades de la diferencia es $4.$ Las dos cifras siguientes, de derecha a izquierda, son:

A three-digit number has, from left to right, the digits $h,$ $t,$ and $u$ with $h>u.$ When the number with the digits reversed is subtracted from the original number, the units’ digit in the difference is $4.$ The next two digits, from right to left, are:

$5$ y $9$

$5$ and $9$

$9$ y $5$

$9$ and $5$

imposible de determinar

impossible to tell

$5$ y $4$

$5$ and $4$

$4$ y $5$

$4$ and $5$

Respuesta: B

Conceptos:digit reversal aritmética modular subtraction

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Resta algebraicamente: $(100h+10t+u)$ ${}-(100u+10t+h)=99(h-u)$

Subtract algebraically: $(100h+10t+u)$ ${}-(100u+10t+h)=99(h-u)$

Pista grande:

Halla la diferencia de cifras $h-u$ para la cual $99(h-u)$ termina en $4$

Find the digit $h-u$ for which $99(h-u)$ ends in $4$

Solución:

La diferencia es $99(h-u).$ Como $h-u$ es un entero del $1$ al $9,$ y la cifra de las unidades es $4,$ necesitamos $9(h-u)\equiv4\pmod{10}.$ Esto da $h-u=6,$ de modo que la diferencia es $99\cdot6=594.$ Avanzando de derecha a izquierda después de la cifra de las unidades $4,$ las cifras siguientes son $9$ y $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The difference is $99(h-u).$ Since $h-u$ is an integer from $1$ through $9,$ and the units digit is $4,$ we need $9(h-u)\equiv4\pmod{10}.$ This gives $h-u=6,$ so the difference is $99\cdot6=594.$ Moving from right to left after the units digit $4,$ the next digits are $9$ and $5.$

Thus, the correct answer is B.

38.

Se dan cuatro enteros positivos. Elige tres cualesquiera, calcula su promedio aritmético y suma este resultado al cuarto entero. Así se obtienen los números $29,$ $23,$ $21$ y $17$ . Uno de los enteros originales es:

Four positive integers are given. Select any three of these integers, find their arithmetic average, and add this result to the fourth integer. Thus the numbers $29,$ $23,$ $21$ and $17$ are obtained. One of the original integers is:

$19$

$21$

$23$

$29$

$17$

Respuesta: B

Conceptos:linear system averages sum invariant

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Si la suma original es $S$ y el entero separado es $x,$ el resultado es $\frac{S+2x}{3}$

If the original sum is $S$ and the singled-out integer is $x,$ the result is $\frac{S+2x}{3}$

Pista grande:

Suma los cuatro resultados dados para determinar $S$

Sum all four reported results to determine $S$

Solución:

Si los enteros originales suman $S,$ el resultado asociado al entero separado $x$ es $x+\frac{S-x}{3}=\frac{S+2x}{3}.$ Al sumar los cuatro resultados dados se cuenta el total como $2S,$ así que $S=\frac{29+23+21+17}{2}=45.$ Por tanto, el resultado $29$ proviene de $x=\dfrac{3(29)-45}{2}=21.$

Por lo tanto, uno de los enteros originales es $21,$ y la respuesta correcta es B.

If the original integers sum to $S,$ the result associated with singled-out integer $x$ is $x+\frac{S-x}{3}=\frac{S+2x}{3}.$ Summing all four reported results counts the total as $2S,$ so $S=\frac{29+23+21+17}{2}=45.$ The result $29$ therefore comes from $x=\dfrac{3(29)-45}{2}=21.$

Thus, one original integer is $21,$ and the correct answer is B.

39.

Si $y=x^2+px+q,$ y el menor valor posible de $y$ es cero, entonces $q$ es igual a:

If $y=x^2+px+q,$ then if the least possible value of $y$ is zero, $q$ is equal to:

$0$

$\dfrac{p^2}{4}$

$\dfrac p2$

$-\dfrac p2$

$\dfrac{p^2}{4}-q$

Respuesta: B

Conceptos:quadratic minimum completar el cuadrado vertex

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Completa el cuadrado en $x^2+px+q$

Complete the square in $x^2+px+q$

Pista grande:

El mínimo ocurre cuando $x=-\frac{p}{2}$

The minimum occurs when $x=-\frac{p}{2}$

Solución:

Al completar el cuadrado, $y=\left(x+\frac p2\right)^2+q-\frac{p^2}{4}.$ Su menor valor es $q-\frac{p^2}{4}.$ Al igualarlo a cero se obtiene $q=\frac{p^2}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Completing the square, $y=\left(x+\frac p2\right)^2+q-\frac{p^2}{4}.$ Its least value is $q-\frac{p^2}{4}.$ Setting this equal to zero gives $q=\frac{p^2}{4}.$

Thus, the correct answer is B.

40.

Si $b\ne d,$ las fracciones $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ y $\dfrac bd$ son desiguales si:

If $b\ne d,$ the fractions $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ and $\dfrac bd$ are unequal if:

$a=c=1$ y $x\ne0$

$a=c=1$ and $x\ne0$

$a=b=0$

$a=c=0$

$x=0$

$ad=bc$

Respuesta: A

Conceptos:rational expressions cross multiplication inequalities

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Multiplica en cruz la igualdad $\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{b}{d}$

Cross-multiply the equality $\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{b}{d}$

Pista grande:

Después de simplificar, la igualdad queda determinada por $x(ad-bc)=0$

After cancellation, equality is governed by $x(ad-bc)=0$

Solución:

Donde las fracciones están definidas, la igualdad exigiría $d(ax+b)=b(cx+d),$ que se simplifica a $x(ad-bc)=0.$ En la opción A, $a=c=1$ da $ad-bc=d-b\ne0,$ y $x\ne0,$ por lo que la igualdad es imposible. Cada una de las opciones B a E, en cambio, fuerza directamente la igualdad.

Por lo tanto, las fracciones son desiguales bajo la condición de la opción A.

Where the fractions are defined, equality would require $d(ax+b)=b(cx+d),$ which simplifies to $x(ad-bc)=0.$ Under choice A, $a=c=1$ gives $ad-bc=d-b\ne0,$ and $x\ne0,$ so equality is impossible. Each of B through E instead forces equality directly.

Thus, the fractions are unequal under choice A.

41.

Un tren que viaja de Aytown a Beetown sufre un accidente después de $1$ h. Permanece detenido durante $\dfrac12$ h, tras lo cual continúa a cuatro quintos de su velocidad habitual y llega a Beetown con $2$ h de retraso. Si el tren hubiera recorrido $80$ millas más antes del accidente, habría llegado solamente $1$ h tarde. La velocidad habitual del tren es:

A train traveling from Aytown to Beetown meets with an accident after $1$ hr. It is stopped for $\dfrac12$ hr., after which it proceeds at four-fifths of its usual rate, arriving at Beetown $2$ hr. late. If the train had covered $80$ miles more before the accident, it would have been just $1$ hr. late. The usual rate of the train is:

$20$ millas por hora

$20$ mph

$30$ millas por hora

$30$ mph

$40$ millas por hora

$40$ mph

$50$ millas por hora

$50$ mph

$60$ millas por hora

$60$ mph

Respuesta: A

Conceptos:rate-time-distance delay simultaneous conditions

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Viajar a $\frac{4}{5}$ de la velocidad añade una cuarta parte del tiempo normal para la distancia afectada

Traveling at $\frac{4}{5}$ speed adds one-fourth of the normal time for the affected distance

Pista grande:

Compara los dos retrasos; desplazar el punto del accidente $80$ millas cambia el retraso en $1$ hora

Compare the two delays; moving the accident point $80$ miles changes the delay by $1$ hour

Solución:

Sea $R$ la velocidad habitual en millas por hora y $D$ la distancia total. Después de la primera hora, el tiempo normal para la distancia restante es $\frac{D}{R}-1.$ Recorrerla a $\frac{4R}{5}$ añade una cuarta parte de ese tiempo, así que $\frac12+\frac14\left(\frac DR-1\right)=2.$ Si el accidente ocurre $80$ millas más tarde, $\frac12+\frac14\left(\frac DR-1-\frac{80}{R}\right)=1.$ Al restar la segunda ecuación de la primera se obtiene $\frac{20}{R}=1,$ y por tanto $R=20$ millas por hora.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the usual rate be $R$ mph and the total distance be $D.$ After the first hour, the normal time for the remaining distance is $\frac{D}{R}-1.$ Traveling it at $\frac{4R}{5}$ adds one-fourth of that time, so $\frac12+\frac14\left(\frac DR-1\right)=2.$ If the accident occurs $80$ miles later, $\frac12+\frac14\left(\frac DR-1-\frac{80}{R}\right)=1.$ Subtracting the second equation from the first gives $\frac{20}{R}=1,$ hence $R=20$ mph.

Thus, the correct answer is A.

42.

Si $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos, los radicales $\sqrt{a+\dfrac bc}$ y $a\sqrt{\dfrac bc}$ son iguales si y solo si:

If $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, the radicals $\sqrt{a+\dfrac bc}$ and $a\sqrt{\dfrac bc}$ are equal when and only when:

$a=b=c=1$

$a=b$ y $c=a=1$

$a=b$ and $c=a=1$

$c=\dfrac{b(a^2-1)}a$

$a=b$ y $c$ tiene cualquier valor

$a=b$ and $c$ is any value

$a=b$ y $c=a-1$

$a=b$ and $c=a-1$

Respuesta: C

Conceptos:radical equation algebraic equivalence positive quantities

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Ambos lados son positivos, así que eleva al cuadrado la igualdad

Both sides are positive, so square the equality

Pista grande:

Multiplica la ecuación resultante por $c$ y despeja $c$

Multiply the resulting equation by $c$ and isolate $c$

Solución:

Como todas las cantidades son positivas, elevar al cuadrado es reversible: $a+\frac bc=a^2\frac bc.$ Al multiplicar por $c$ se obtiene $ac+b=a^2b,$ de modo que $c=\frac{b(a^2-1)}a.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because all quantities are positive, squaring is reversible: $a+\frac bc=a^2\frac bc.$ Multiplying by $c$ gives $ac+b=a^2b,$ so $c=\frac{b(a^2-1)}a.$

Thus, the correct answer is C.

43.

Los pares de valores de $x$ y $y$ que son soluciones comunes de las ecuaciones $y=(x+1)^2$ y $xy+y=1$ son:

The pairs of values of $x$ and $y$ that are the common solutions of the equations $y=(x+1)^2$ and $xy+y=1$ are:

$3$ pares reales

$3$ real pairs

$4$ pares reales

$4$ real pairs

$4$ pares imaginarios

$4$ imaginary pairs

$2$ pares reales y $2$ pares imaginarios

$2$ real and $2$ imaginary pairs

$1$ par real y $2$ pares imaginarios

$1$ real and $2$ imaginary pairs

Respuesta: E

Conceptos:simultaneous equations cube roots of unity complex solutions

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Reescribe la segunda ecuación como $y(x+1)=1$

Rewrite the second equation as $y(x+1)=1$

Pista grande:

Sustituye $y=(x+1)^2$ para obtener una cúbica en $x+1$

Substitute $y=(x+1)^2$ to obtain a cubic in $x+1$

Solución:

La sustitución en $y(x+1)=1$ da $(x+1)^3=1.$ Las tres raíces cúbicas de $1$ constan de una raíz real y dos no reales. Cada una determina exactamente un valor correspondiente $y=(x+1)^2.$ Por lo tanto, hay un par real y dos pares imaginarios.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Substitution into $y(x+1)=1$ gives $(x+1)^3=1.$ The three cube roots of $1$ consist of one real root and two nonreal roots. Each determines exactly one corresponding value $y=(x+1)^2.$ Therefore there is one real pair and two imaginary pairs.

Thus, the correct answer is E.

44.

En el círculo $O$ , la cuerda $\overline{AB}$ se prolonga de modo que $\overline{BC}$ sea igual a un radio del círculo. Se traza $\overline{CO}$ y se prolonga hasta $D.$ Se traza $\overline{AO}$ . ¿Cuál de las siguientes opciones expresa la relación entre los ángulos $x$ y $y$ ?

In circle $O$ chord $\overline{AB}$ is produced so that $\overline{BC}$ equals a radius of the circle. $\overline{CO}$ is drawn and extended to $D.$ $\overline{AO}$ is drawn. Which of the following expresses the relationship between angles $x$ and $y?$

$x=3y$

$x=2y$

$x=60^\circ$

no hay ninguna relación especial entre $x$ y $y$

there is no special relationship between $x$ and $y$

$x=2y$ o $x=3y,$ según la longitud de $\overline{AB}$

$x=2y$ or $x=3y,$ depending upon the length of $\overline{AB}$

Respuesta: A

Conceptos:isosceles triangles exterior angle circle geometry

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Como $OB=BC,$ el triángulo $OBC$ es isósceles

Since $OB=BC,$ triangle $OBC$ is isosceles

Pista grande:

Usa el ángulo exterior en $B$ y después $OA=OB$

Use the exterior angle at $B$ , then use $OA=OB$

Solución:

Como $OB=BC,$ el triángulo $OBC$ es isósceles, de modo que $\angle BOC=\angle BCO=y.$ Por tanto, su ángulo exterior en $B$ es $\angle ABO=2y.$ Como $OA=OB,$ el triángulo $AOB$ también es isósceles y $\angle OAB=2y.$ En el triángulo $AOC,$ los ángulos en $A$ y $C$ son $2y$ y $y,$ así que $\angle AOC=180^\circ-3y.$ El ángulo $x=\angle AOD$ es suplementario de $\angle AOC,$ y por ello $x=3y.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Because $OB=BC,$ triangle $OBC$ is isosceles, so $\angle BOC=\angle BCO=y.$ Its exterior angle at $B$ is therefore $\angle ABO=2y.$ Since $OA=OB,$ triangle $AOB$ is also isosceles and $\angle OAB=2y.$ In triangle $AOC,$ the angles at $A$ and $C$ are $2y$ and $y,$ so $\angle AOC=180^\circ-3y.$ Angle $x=\angle AOD$ is supplementary to $\angle AOC,$ hence $x=3y.$

Thus, the correct answer is A.

45.

Se dan una sucesión geométrica cuyo primer término es $\ne0$ y con $r\ne0$ , y una sucesión aritmética cuyo primer término es $=0.$ Se forma una tercera sucesión $1,$ $1,$ $2,$ $\ldots$ sumando los términos correspondientes de las dos sucesiones dadas. La suma de los primeros diez términos de la tercera sucesión es:

Given a geometric sequence with the first term $\ne0$ and $r\ne0$ and an arithmetic sequence with the first term $=0.$ A third sequence $1,$ $1,$ $2,$ $\ldots$ is formed by adding corresponding terms of the two given sequences. The sum of the first ten terms of the third sequence is:

$978$

$557$

$467$

$1068$

no puede determinarse con la información dada

not possible to determine from the information given

Respuesta: A

Conceptos:sucesión geométrica sucesión aritmética systems of equations

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Escribe las dos sucesiones como $a,ar,ar^2,\ldots$ y $0,d,2d,\ldots$

Write the two sequences as $a,ar,ar^2,\ldots$ and $0,d,2d,\ldots$

Pista grande:

Usa las tres primeras sumas y la condición $r\ne0$ para determinar $a,r,d$

Use the first three sums and the condition $r\ne0$ to determine $a,r,d$

Solución:

Las tres primeras sumas término a término dan $\begin{aligned} a&=1,\\ r+d&=1,\\ r^2+2d&=2. \end{aligned}$ Al sustituir $d=1-r$ se obtiene $r(r-2)=0.$ Como $r\ne0,$ tenemos $r=2$ y $d=-1.$ Los primeros diez términos geométricos suman $2^{10}-1=1023,$ mientras que los primeros diez términos aritméticos suman $0-1-\cdots-9=-45.$ Su suma combinada es $1023-45=978.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The first three termwise sums give $\begin{aligned} a&=1,\\ r+d&=1,\\ r^2+2d&=2. \end{aligned}$ Substituting $d=1-r$ yields $r(r-2)=0.$ Since $r\ne0,$ we have $r=2$ and $d=-1.$ The first ten geometric terms sum to $2^{10}-1=1023,$ while the first ten arithmetic terms sum to $0-1-\cdots-9=-45.$ Their combined sum is $1023-45=978.$

Thus, the correct answer is A.

46.

Las gráficas de $2x+3y-6=0,$ $4x-3y-6=0,$ $x=2,$ y $y=\dfrac23$ se cortan en:

The graphs of $2x+3y-6=0,$ $4x-3y-6=0,$ $x=2,$ and $y=\dfrac23$ intersect in:

$6$ puntos

$6$ points

$1$ punto

$1$ point

$2$ puntos

$2$ points

ningún punto

no points

un número ilimitado de puntos

an unlimited number of points

Respuesta: B

Conceptos:linear equations common intersection geometría analítica

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Resuelve simultáneamente las dos primeras ecuaciones lineales

Solve the first two linear equations simultaneously

Pista grande:

Comprueba si esa solución también satisface cada una de las dos últimas ecuaciones

Check whether that solution also satisfies each of the last two displayed equations

Solución:

Al sumar las dos primeras ecuaciones se obtiene $6x-12=0,$ de modo que $x=2.$ La sustitución da $3y=2,$ y por tanto $y=\frac{2}{3}.$ Este punto también está sobre las dos últimas rectas dadas. Por lo tanto, las cuatro gráficas tienen el único punto común $(2,\frac{2}{3}).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Adding the first two equations gives $6x-12=0,$ so $x=2.$ Substitution gives $3y=2,$ hence $y=\frac{2}{3}.$ This point also lies on the last two given lines. Therefore all four graphs have the single common point $(2,\frac{2}{3}).$

Thus, the correct answer is B.

47.

Las expresiones $a+bc$ y $(a+b)(a+c)$ son:

The expressions $a+bc$ and $(a+b)(a+c)$ are:

siempre iguales

always equal

nunca iguales

never equal

iguales cuando $a+b+c=1$

equal when $a+b+c=1$

iguales cuando $a+b+c=0$

equal when $a+b+c=0$

iguales solamente cuando $a=b=c=0$

equal only when $a=b=c=0$

Respuesta: C

Conceptos:algebraic expansion sufficient condition equality

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Desarrolla $(a+b)(a+c)$

Expand $(a+b)(a+c)$

Pista grande:

Resta $a+bc$ y factoriza la diferencia

Subtract $a+bc$ and factor the difference

Solución:

La diferencia es $\begin{aligned} &(a+b)(a+c)-(a+bc)\\ &\qquad=a^2+ab+ac-a\\ &\qquad=a(a+b+c-1). \end{aligned}$ En particular, siempre que $a+b+c=1,$ esta diferencia es cero y las expresiones son iguales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The difference is $\begin{aligned} &(a+b)(a+c)-(a+bc)\\ &\qquad=a^2+ab+ac-a\\ &\qquad=a(a+b+c-1). \end{aligned}$ In particular, whenever $a+b+c=1,$ this difference is zero and the expressions are equal.

Thus, the correct answer is C.

48.

Se da el triángulo $ABC$ con medianas $\overline{AE},$ $\overline{BF},$ $\overline{CD};$ $\overline{FH}$ es paralelo a $\overline{AE}$ y tiene la misma longitud; se trazan $\overline{BH}$ y $\overline{HE}$ ; la prolongación de $\overline{FE}$ corta a $\overline{BH}$ en $G.$ ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es necesariamente correcta?

Given triangle $ABC$ with medians $\overline{AE},$ $\overline{BF},$ $\overline{CD};$ $\overline{FH}$ parallel and equal in length to $\overline{AE};$ $\overline{BH}$ and $\overline{HE}$ are drawn; $\overline{FE}$ extended meets $\overline{BH}$ in $G.$ Which one of the following statements is not necessarily correct?

$AEHF$ es un paralelogramo

$AEHF$ is a parallelogram

$\overline{HE}=\overline{HG}$

$\overline{BH}=\overline{DC}$

$\overline{FG}=\dfrac34\overline{AB}$

$\overline{FG}$ es una mediana del triángulo $BFH$

$\overline{FG}$ is a median of triangle $BFH$

Respuesta: B

Conceptos:medians vectors paralelogramo affine geometry

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Sitúa $A=(0,0),$ $B=(2,0),$ $C=(u,v)$ y calcula los puntos medios $D,E,F$

Place $A=(0,0),$ $B=(2,0),$ $C=(u,v)$ and compute the midpoints $D,E,F$

Pista grande:

Usa $\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{AE}$ y después localiza $G$ donde $BH$ alcanza la altura $\frac{v}{2}$

Use $\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{AE}$ , then locate $G$ where $BH$ reaches height $\frac{v}{2}$

Solución:

Sea $A=(0,0),$ $B=(2,0),$ $C=(u,v).$ Entonces $\begin{aligned} D&=(1,0),\\ E&=\left(\frac{u+2}{2},\frac v2\right),\\ F&=\left(\frac u2,\frac v2\right). \end{aligned}$ Como $\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{AE},$ obtenemos $H=(u+1,v).$ La recta horizontal $FE$ corta a $BH$ a mitad de camino de $B$ a $H,$ en $G=(\frac{u+3}{2},\frac{v}{2}).$ Estas coordenadas verifican que $AEHF$ es un paralelogramo, $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{DC},$ $FG=\frac{3AB}{4},$ y $G$ es el punto medio de $BH,$ por lo que $FG$ es una mediana. Pero $\begin{aligned} HE&=\frac12\sqrt{u^2+v^2},\\ HG&=\frac12\sqrt{(u-1)^2+v^2}, \end{aligned}$ que no son iguales en general.

Por lo tanto, la afirmación B no es necesariamente correcta.

Set $A=(0,0),$ $B=(2,0),$ $C=(u,v).$ Then $\begin{aligned} D&=(1,0),\\ E&=\left(\frac{u+2}{2},\frac v2\right),\\ F&=\left(\frac u2,\frac v2\right). \end{aligned}$ Since $\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{AE},$ we get $H=(u+1,v).$ The horizontal line $FE$ meets $BH$ halfway from $B$ to $H,$ at $G=(\frac{u+3}{2},\frac{v}{2}).$ These coordinates verify that $AEHF$ is a parallelogram, $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{DC},$ $FG=\frac{3AB}{4},$ and $G$ is the midpoint of $BH,$ making $FG$ a median. But $\begin{aligned} HE&=\frac12\sqrt{u^2+v^2},\\ HG&=\frac12\sqrt{(u-1)^2+v^2}, \end{aligned}$ which are not generally equal.

Thus, statement B is not necessarily correct.

49.

Las gráficas de $y=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ y $y=2x$ se cortan en:

The graphs of $y=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ and $y=2x$ intersect in:

un punto cuya abscisa es $2$

one point whose abscissa is $2$

un punto cuya abscisa es $0$

one point whose abscissa is $0$

ningún punto

no points

dos puntos distintos

two distinct points

dos puntos idénticos

two identical points

Respuesta: C

Conceptos:rational function removable discontinuity graph intersection

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Factoriza $x^2-4$ , pero conserva la restricción original $x\ne2$

Factor $x^2-4$ , but keep the original restriction $x\ne2$

Pista grande:

Compara la intersección algebraica de las rectas simplificadas con esa restricción del dominio

Compare the algebraic intersection of the simplified lines with that domain restriction

Solución:

Para $x\ne2,$ $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2.$ Las rectas $y=x+2$ y $y=2x$ se cortarían en $x=2,\ y=4.$ Pero $x=2$ está excluido de la función racional original, de modo que ese punto es un hueco y no hay intersección.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For $x\ne2,$ $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2.$ The lines $y=x+2$ and $y=2x$ would meet at $x=2,\ y=4.$ But $x=2$ is excluded from the original rational function, so that point is a hole and there is no intersection.

Thus, the correct answer is C.

50.

Para adelantar a $B$ , que va a $40$ millas por hora en una carretera de dos carriles, $A,$ que va a $50$ millas por hora, debe ganar $30$ pies. Mientras tanto, $C,$ a $210$ pies de $A,$ se dirige hacia él a $50$ millas por hora. Si $B$ y $C$ mantienen sus velocidades, para adelantar con seguridad $A$ debe aumentar su velocidad en:

In order to pass $B$ going $40$ mph on a two-lane highway $A,$ going $50$ mph, must gain $30$ feet. Meantime, $C,$ $210$ feet from $A,$ is headed toward him at $50$ mph. If $B$ and $C$ maintain their speeds, then, in order to pass safely, $A$ must increase his speed by:

$30$ millas por hora

$30$ mph

$10$ millas por hora

$10$ mph

$5$ millas por hora

$5$ mph

$15$ millas por hora

$15$ mph

$3$ millas por hora

$3$ mph

Respuesta: C

Conceptos:velocidad relativa rate-time-distance passing

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Sea $v$ la nueva velocidad de $A$ e iguala el tiempo de adelantamiento al tiempo antes de que $A$ y $C$ se encuentren

Let $v$ be $A$ ’s new speed and equate the passing time to the time before $A$ and $C$ meet

Pista grande:

Usa distancias y velocidades relativas: $\frac{30}{v-40}=\frac{210}{v+50}$

Use relative distances and speeds: $\frac{30}{v-40}=\frac{210}{v+50}$

Solución:

Sea $v$ la nueva velocidad de $A$ . Con respecto a $B,$ $A$ gana a $v-40$ millas por hora, por lo que el tiempo de adelantamiento es proporcional a $\frac{30}{v-40}.$ $A$ y $C$ cierran su separación de $210$ pies a $v+50$ millas por hora, de modo que su tiempo hasta encontrarse es proporcional a $\frac{210}{v+50}.$ En el instante límite para adelantar con seguridad, $\frac{30}{v-40}=\frac{210}{v+50}.$ Así, $30v+1500=210v-8400,$ lo que da $v=55$ millas por hora. $A$ debe aumentar su velocidad original en $5$ millas por hora.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $v$ be $A$ ’s new speed. Relative to $B,$ $A$ gains at $v-40$ mph, so the passing time is proportional to $\frac{30}{v-40}.$ $A$ and $C$ close their $210$ -foot separation at $v+50$ mph, so their meeting time is proportional to $\frac{210}{v+50}.$ At the limiting safe time, $\frac{30}{v-40}=\frac{210}{v+50}.$ Thus $30v+1500=210v-8400,$ giving $v=55$ mph. $A$ must increase his original speed by $5$ mph.

Therefore, the correct answer is C.

Problemas del 1955 AMC 12

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Pista grande: