Question

Se da el triángulo $ABC$ con medianas $\overline{AE},$ $\overline{BF},$ $\overline{CD};$ $\overline{FH}$ es paralelo a $\overline{AE}$ y tiene la misma longitud; se trazan $\overline{BH}$ y $\overline{HE}$ ; la prolongación de $\overline{FE}$ corta a $\overline{BH}$ en $G.$ ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es necesariamente correcta?

Given triangle $ABC$ with medians $\overline{AE},$ $\overline{BF},$ $\overline{CD};$ $\overline{FH}$ parallel and equal in length to $\overline{AE};$ $\overline{BH}$ and $\overline{HE}$ are drawn; $\overline{FE}$ extended meets $\overline{BH}$ in $G.$ Which one of the following statements is not necessarily correct?

$AEHF$ es un paralelogramo

$AEHF$ is a parallelogram

$\overline{HE}=\overline{HG}$

$\overline{BH}=\overline{DC}$

$\overline{FG}=\dfrac34\overline{AB}$

$\overline{FG}$ es una mediana del triángulo $BFH$

$\overline{FG}$ is a median of triangle $BFH$

Respuesta: B

Conceptos:medians vectors paralelogramo affine geometry

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Sitúa $A=(0,0),$ $B=(2,0),$ $C=(u,v)$ y calcula los puntos medios $D,E,F$

Place $A=(0,0),$ $B=(2,0),$ $C=(u,v)$ and compute the midpoints $D,E,F$

Pista grande:

Usa $\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{AE}$ y después localiza $G$ donde $BH$ alcanza la altura $\frac{v}{2}$

Use $\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{AE}$ , then locate $G$ where $BH$ reaches height $\frac{v}{2}$

Solución:

Sea $A=(0,0),$ $B=(2,0),$ $C=(u,v).$ Entonces $\begin{aligned} D&=(1,0),\\ E&=\left(\frac{u+2}{2},\frac v2\right),\\ F&=\left(\frac u2,\frac v2\right). \end{aligned}$ Como $\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{AE},$ obtenemos $H=(u+1,v).$ La recta horizontal $FE$ corta a $BH$ a mitad de camino de $B$ a $H,$ en $G=(\frac{u+3}{2},\frac{v}{2}).$ Estas coordenadas verifican que $AEHF$ es un paralelogramo, $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{DC},$ $FG=\frac{3AB}{4},$ y $G$ es el punto medio de $BH,$ por lo que $FG$ es una mediana. Pero $\begin{aligned} HE&=\frac12\sqrt{u^2+v^2},\\ HG&=\frac12\sqrt{(u-1)^2+v^2}, \end{aligned}$ que no son iguales en general.

Por lo tanto, la afirmación B no es necesariamente correcta.

Set $A=(0,0),$ $B=(2,0),$ $C=(u,v).$ Then $\begin{aligned} D&=(1,0),\\ E&=\left(\frac{u+2}{2},\frac v2\right),\\ F&=\left(\frac u2,\frac v2\right). \end{aligned}$ Since $\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{AE},$ we get $H=(u+1,v).$ The horizontal line $FE$ meets $BH$ halfway from $B$ to $H,$ at $G=(\frac{u+3}{2},\frac{v}{2}).$ These coordinates verify that $AEHF$ is a parallelogram, $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{DC},$ $FG=\frac{3AB}{4},$ and $G$ is the midpoint of $BH,$ making $FG$ a median. But $\begin{aligned} HE&=\frac12\sqrt{u^2+v^2},\\ HG&=\frac12\sqrt{(u-1)^2+v^2}, \end{aligned}$ which are not generally equal.

Thus, statement B is not necessarily correct.

1955 AMC 12 Problema 48

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 48 en otros años