Question

Dado el polinomio $\begin{aligned} &a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots\\ &\qquad{}+a_{n-1}x+a_n, \end{aligned}$ donde $n$ es un entero positivo o cero y $a_0$ es un entero positivo. Los coeficientes $a$ restantes son enteros o cero. Sea $\begin{aligned} h={}&n+a_0+|a_1|+|a_2|\\ &{}+\cdots+|a_n|. \end{aligned}$ [Véase el ejemplo $25$ para el significado de $|x|.$ ] El número de polinomios con $h=3$ es:

Given the polynomial $\begin{aligned} &a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots\\ &\qquad{}+a_{n-1}x+a_n, \end{aligned}$ where $n$ is a positive integer or zero, and $a_0$ is a positive integer. The remaining $a$ ’s are integers or zero. Set $\begin{aligned} h={}&n+a_0+|a_1|+|a_2|\\ &{}+\cdots+|a_n|. \end{aligned}$ [See example $25$ for the meaning of $|x|.$ ] The number of polynomials with $h=3$ is:

$3$

$5$

$6$

$7$

$9$

Respuesta: B

Conceptos:polinomio análisis por casos

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Como $n+a_0\le3$ y $a_0\ge1,$ considera solo $n=0,1,2$

Since $n+a_0\le3$ and $a_0\ge1,$ consider only $n=0,1,2$

Pista grande:

Para cada grado, cuenta las tuplas de coeficientes enteros con la suma requerida de valores absolutos

For each degree, count the integer coefficient tuples with the required sum of absolute values

Solución:

Contamos por grado. Si $n=0,$ entonces $a_0=3,$ lo que da un polinomio. Si $n=1,$ entonces $a_0+|a_1|=2.$ Esto da $a_0=2,a_1=0$ o $a_0=1,a_1=\pm1,$ para un total de tres polinomios. Si $n=2,$ entonces $a_0=1$ y $a_1=a_2=0,$ lo que da uno más. No es posible un grado mayor. El total es $1+3+1=5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

We count by degree. If $n=0,$ then $a_0=3,$ giving one polynomial. If $n=1,$ then $a_0+|a_1|=2.$ This gives $a_0=2,a_1=0$ or $a_0=1,a_1=\pm1,$ for three polynomials. If $n=2,$ then $a_0=1$ and $a_1=a_2=0,$ giving one more. No higher degree is possible. The total is $1+3+1=5.$

Thus, the correct answer is B.

1959 AMC 12 Problema 48

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 48 en otros años