Soluciones del 1959 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Cada arista de un cubo se aumenta en un $50\%.$ El porcentaje de aumento del área superficial del cubo es:

Each edge of a cube is increased by $50\%.$ The percent of increase of the surface area of the cube is:

$50$

$125$

$150$

$300$

$750$

Conceptos:porcentaje área de superficie escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Compara la nueva longitud de la arista con la original

Compare the new edge length with the old edge length

Pista grande:

El área superficial cambia según el cuadrado del factor de escala lineal

Surface area changes by the square of the linear scale factor

Solución:

Si la longitud original de la arista es $s,$ la nueva longitud es $1.5s.$ Por lo tanto, el área superficial se multiplica por $(1.5)^2=2.25.$ El aumento es $1.25$ veces el área original, es decir, $125\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the original edge length is $s,$ the new edge length is $1.5s.$ Thus the surface area is multiplied by $(1.5)^2=2.25.$ The increase is $1.25$ times the original area, or $125\%.$

Thus, the correct answer is B.

2.

Por un punto $P$ interior al triángulo $ABC$ se traza una recta paralela a la base $\overline{AB},$ que divide el triángulo en dos áreas iguales. Si la altura correspondiente a $\overline{AB}$ mide $1,$ entonces la distancia de $P$ a $\overline{AB}$ es:

Through a point $P$ inside triangle $ABC$ a line is drawn parallel to the base $\overline{AB},$ dividing the triangle into two equal areas. If the altitude to $\overline{AB}$ has length $1,$ then the distance from $P$ to $\overline{AB}$ is:

$\dfrac12$

$\dfrac14$

$2-\sqrt2$

$\dfrac{2-\sqrt2}{2}$

$\dfrac{2+\sqrt2}{8}$

Conceptos:semejanza razón de áreas altura

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Sea $x$ la distancia de $P$ a la base

Let $x$ be the distance from $P$ to the base

Pista grande:

El triángulo pequeño sobre la recta paralela tiene altura $1-x$ y la mitad del área original

The small triangle above the parallel line has altitude $1-x$ and half the original area

Solución:

Sea $x$ la distancia solicitada. El triángulo sobre la recta paralela es semejante al triángulo original, con razón lineal $1-x.$ Su área es la mitad del área original, así que $(1-x)^2=\frac12.$ Como $0\lt x\lt1,$ tenemos $1-x=\frac{1}{\sqrt2},$ y por lo tanto $x=1-\frac1{\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $x$ be the requested distance. The triangle above the parallel line is similar to the original triangle, with linear ratio $1-x.$ Its area is half the original area, so $(1-x)^2=\frac12.$ Since $0\lt x\lt1,$ we have $1-x=\frac{1}{\sqrt2},$ and therefore $x=1-\frac1{\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.$

Therefore, the correct answer is D.

3.

Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares entre sí, la figura siempre quedaría incluida en la clasificación general:

If the diagonals of a quadrilateral are perpendicular to each other, the figure would always be included under the general classification:

rombo

rhombus

rectángulo

rectangle

cuadrado

square

trapecio isósceles

isosceles trapezoid

ninguna de estas

none of these

Conceptos:cometa diagonal contraejemplo

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Busca un cuadrilátero con diagonales perpendiculares que no sea ninguno de los cuatro tipos especiales mencionados

Look for a quadrilateral with perpendicular diagonals that is not one of the four named special types

Pista grande:

Un cometa general proporciona un contraejemplo útil

A general kite supplies a useful counterexample

Solución:

Un cometa puede tener diagonales perpendiculares sin ser un rombo, rectángulo, cuadrado ni trapecio isósceles. Por lo tanto, la perpendicularidad de las diagonales por sí sola no obliga a que la figura pertenezca a ninguna de las primeras cuatro clasificaciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

A kite can have perpendicular diagonals without being a rhombus, rectangle, square, or isosceles trapezoid. Therefore perpendicular diagonals alone do not force any of the first four classifications.

Thus, the correct answer is E.

4.

Si $78$ se divide en tres partes proporcionales a $1,$ $\dfrac13,$ $\dfrac16,$ la parte intermedia es:

If $78$ is divided into three parts which are proportional to $1,$ $\dfrac13,$ $\dfrac16,$ the middle part is:

$9\dfrac13$

$13$

$17\dfrac13$

$18\dfrac13$

$26$

Conceptos:razón y proporción fracción

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Escribe las tres partes como $x,\frac{x}{3},\frac{x}{6}$

Write the three parts as $x,\frac{x}{3},\frac{x}{6}$

Pista grande:

Su suma es $78$

Their sum is $78$

Solución:

Sean las partes $x,\frac{x}{3},$ y $\frac{x}{6}.$ Entonces $x+\frac x3+\frac x6=\frac32x=78,$ de modo que $x=52.$ La parte intermedia es $\frac{x}{3}=\frac{52}{3}=17\frac13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the parts be $x,\frac{x}{3},$ and $\frac{x}{6}.$ Then $x+\frac x3+\frac x6=\frac32x=78,$ so $x=52.$ The middle part is $\frac{x}{3}=\frac{52}{3}=17\frac13.$

Thus, the correct answer is C.

5.

El valor de $(256)^{0.16}\cdot(256)^{0.09}$ es:

The value of $(256)^{0.16}\cdot(256)^{0.09}$ is:

$4$

$16$

$64$

$256.25$

$-16$

Conceptos:exponente radical

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Suma los exponentes porque las bases son iguales

Add the exponents because the bases are equal

Pista grande:

La suma de los exponentes decimales es $\frac{1}{4}$

The sum of the decimal exponents is $\frac{1}{4}$

Solución:

Usando la regla del producto de potencias, $\begin{aligned} 256^{0.16}\cdot256^{0.09} &=256^{0.25}\\ &=256^{\frac{1}{4}}=4. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Using the product rule for powers, $\begin{aligned} 256^{0.16}\cdot256^{0.09} &=256^{0.25}\\ &=256^{\frac{1}{4}}=4. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

6.

Dada la afirmación verdadera «Si un cuadrilátero es un cuadrado, entonces es un rectángulo», se deduce que, entre la conversa y la inversa de esta afirmación verdadera:

Given the true statement: If a quadrilateral is a square, then it is a rectangle. It follows that, of the converse and the inverse of this true statement:

solo la conversa es verdadera

only the converse is true

solo la inversa es verdadera

only the inverse is true

ambas son verdaderas

both are true

ninguna es verdadera

neither is true

la inversa es verdadera, pero la conversa a veces es verdadera

the inverse is true, but the converse is sometimes true

Conceptos:deducción lógica contraejemplo

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Escribe explícitamente la conversa y la inversa

Write the converse and inverse explicitly

Pista grande:

Usa un rectángulo que no sea cuadrado para probar la conversa y un cuadrilátero que no sea ni rectángulo ni cuadrado para probar la inversa

Use a nonsquare rectangle to test the converse and a nonrectangular nonsquare to test the inverse

Solución:

La conversa afirma que todo rectángulo es un cuadrado, lo cual es falso. La inversa afirma que todo cuadrilátero que no es cuadrado tampoco es rectángulo, lo cual también es falso porque un rectángulo que no sea cuadrado es un contraejemplo.

Por lo tanto, ninguna de las dos afirmaciones es verdadera y la respuesta correcta es D.

The converse says that every rectangle is a square, which is false. The inverse says that every quadrilateral that is not a square is not a rectangle, which is also false because a nonsquare rectangle is a counterexample.

Thus neither statement is true, and the correct answer is D.

7.

Los lados de un triángulo rectángulo son $a,$ $a+d,$ y $a+2d,$ donde $a$ y $d$ son positivos. La razón de $a$ a $d$ es:

The sides of a right triangle are $a,$ $a+d,$ and $a+2d,$ with $a$ and $d$ both positive. The ratio of $a$ to $d$ is:

$1{:}3$

$1{:}4$

$2{:}1$

$3{:}1$

$3{:}4$

Conceptos:Teorema de Pitágoras factorización razón y proporción

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

El lado más largo $a+2d$ debe ser la hipotenusa

The longest side $a+2d$ must be the hypotenuse

Pista grande:

Aplica el teorema de Pitágoras y factoriza la cuadrática resultante en $\frac{a}{d}$

Apply the Pythagorean theorem and factor the resulting quadratic in $\frac{a}{d}$

Solución:

El teorema de Pitágoras da $a^2+(a+d)^2=(a+2d)^2.$ Al simplificar, $\begin{aligned} a^2-2ad-3d^2 &=0,\\ (a-3d)(a+d) &=0. \end{aligned}$ La positividad excluye $a=-d,$ así que $a=3d.$

Por lo tanto, la razón es $3:1,$ y la respuesta correcta es D.

The Pythagorean theorem gives $a^2+(a+d)^2=(a+2d)^2.$ Simplifying, $\begin{aligned} a^2-2ad-3d^2 &=0,\\ (a-3d)(a+d) &=0. \end{aligned}$ Positivity excludes $a=-d,$ so $a=3d.$

Thus the ratio is $3:1,$ and the correct answer is D.

8.

El valor de $x^2-6x+13$ nunca puede ser menor que:

The value of $x^2-6x+13$ can never be less than:

$4$

$4.5$

$5$

$7$

$13$

Conceptos:completar el cuadrado cuadrática optimización

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Completa el cuadrado en $x^2-6x+13$

Complete the square in $x^2-6x+13$

Pista grande:

Un cuadrado siempre es no negativo

A square is always nonnegative

Solución:

Al completar el cuadrado, $x^2-6x+13=(x-3)^2+4.$ Esta expresión es por lo menos $4,$ con igualdad cuando $x=3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Completing the square, $x^2-6x+13=(x-3)^2+4.$ This expression is at least $4,$ with equality at $x=3.$

Thus, the correct answer is A.

9.

Un granjero divide su rebaño de $n$ vacas entre sus cuatro hijos de modo que uno recibe la mitad del rebaño, el segundo una cuarta parte, el tercero una quinta parte y el cuarto $7$ vacas. Entonces $n$ es:

A farmer divides his herd of $n$ cows among his four sons so that one son gets one-half the herd, a second son one-fourth, a third son one-fifth, and the fourth son $7$ cows. Then $n$ is:

$80$

$100$

$140$

$180$

$240$

Conceptos:fracción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Suma las tres porciones fraccionarias del rebaño

Add the three fractional shares of the herd

Pista grande:

La fracción restante corresponde a $7$ vacas

The fraction left over corresponds to $7$ cows

Solución:

Los primeros tres hijos reciben $\frac12+\frac14+\frac15=\frac{19}{20}$ del rebaño. Por lo tanto, el $\frac{1}{20}$ restante del rebaño contiene $7,$ así que $n=140.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The first three sons receive $\frac12+\frac14+\frac15=\frac{19}{20}$ of the herd. Thus the remaining $\frac{1}{20}$ of the herd is $7,$ so $n=140.$

Therefore, the correct answer is C.

10.

En el triángulo $ABC,$ con $\overline{AB}=\overline{AC}=3.6,$ se toma un punto $D$ sobre $\overline{AB}$ a una distancia $1.2$ de $A.$ Se une $D$ con un punto $E$ en la prolongación de $\overline{AC}$ de modo que el triángulo $AED$ tenga la misma área que el triángulo $ABC.$ Entonces $\overline{AE}$ es igual a:

In triangle $ABC,$ with $\overline{AB}=\overline{AC}=3.6,$ a point $D$ is taken on $\overline{AB}$ at a distance $1.2$ from $A.$ Point $D$ is joined to point $E$ in the prolongation of $\overline{AC}$ so that triangle $AED$ is equal in area to triangle $ABC.$ Then $\overline{AE}$ equals:

$4.8$

$5.4$

$7.2$

$10.8$

$12.6$

Conceptos:área del triángulo razón de áreas

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Compara las alturas desde $B$ y $D$ hasta la recta $AC$

Compare the altitudes from $B$ and $D$ to the line $AC$

Pista grande:

Como $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3},$ la altura desde $D$ es un tercio de la altura desde $B$

Because $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3},$ the altitude from $D$ is one-third the altitude from $B$

Solución:

Los triángulos $AED$ y $ABC$ usan bases sobre la misma recta $AC.$ Como $\frac{AD}{AB}=\frac{1.2}{3.6}=\frac13,$ la distancia perpendicular de $D$ a la recta $AC$ es un tercio de la distancia correspondiente desde $B.$ Por lo tanto, la igualdad de áreas exige $AE\left(\frac h3\right)=AC(h),$ de modo que $AE=3AC=10.8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Triangles $AED$ and $ABC$ use bases on the same line $AC.$ Since $\frac{AD}{AB}=\frac{1.2}{3.6}=\frac13,$ the perpendicular distance from $D$ to line $AC$ is one-third the corresponding distance from $B.$ Equality of areas therefore requires $AE\left(\frac h3\right)=AC(h),$ so $AE=3AC=10.8.$

Thus, the correct answer is D.

11.

El logaritmo de $0.0625$ en base $2$ es:

The logarithm of $0.0625$ to the base $2$ is:

$0.025$

$0.25$

$5$

$-4$

$-2$

Conceptos:logaritmo potencia de 2 decimal

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Escribe $0.0625$ como una fracción

Rewrite $0.0625$ as a fraction

Pista grande:

Expresa $\frac{1}{16}$ como una potencia de $2$

Express $\frac{1}{16}$ as a power of $2$

Solución:

Como $0.0625=\frac1{16}=2^{-4},$ tenemos $\log_2(0.0625)=-4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $0.0625=\frac1{16}=2^{-4},$ we have $\log_2(0.0625)=-4.$

Therefore, the correct answer is D.

12.

Al sumar la misma constante a cada uno de $20,$ $50,$ $100$ , se obtiene una progresión geométrica. La razón común es:

By adding the same constant to each of $20,$ $50,$ $100$ a geometric progression results. The common ratio is:

$\dfrac53$

$\dfrac43$

$\dfrac32$

$\dfrac12$

$\dfrac13$

Conceptos:sucesión geométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Sea $c$ la constante añadida

Let $c$ be the added constant

Pista grande:

Para tres términos geométricos consecutivos, el cuadrado del término central es igual al producto de los extremos

For three consecutive geometric terms, the square of the middle term equals the product of the outer terms

Solución:

La condición de progresión geométrica es $(50+c)^2=(20+c)(100+c).$ Al desarrollar y cancelar $c^2$ , se obtiene $500=20c,$ así que $c=25.$ La razón común es $\frac{50+25}{20+25}=\frac{75}{45}=\frac53.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The geometric-progression condition is $(50+c)^2=(20+c)(100+c).$ Expanding and cancelling $c^2$ gives $500=20c,$ so $c=25.$ The common ratio is $\frac{50+25}{20+25}=\frac{75}{45}=\frac53.$

Thus, the correct answer is A.

13.

La media aritmética de un conjunto de $50$ números es $38.$ Si se descartan dos números, a saber, $45$ y $55,$ la media del conjunto restante es:

The arithmetic mean (average) of a set of $50$ numbers is $38.$ If two numbers, namely, $45$ and $55,$ are discarded, the mean of the remaining set of numbers is:

$36.5$

$37$

$37.2$

$37.5$

$37.52$

Conceptos:media

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Recupera la suma original a partir de la media y del número de términos

Recover the original sum from the mean and number of entries

Pista grande:

Resta $45+55$ y divide entre los $48$ términos restantes

Subtract $45+55$ and divide by the $48$ remaining entries

Solución:

La suma original es $50\cdot38=1900.$ Después de quitar $45$ y $55,$ la suma restante es $1800,$ así que la nueva media es $\frac{1800}{48}=37.5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The original sum is $50\cdot38=1900.$ After removing $45$ and $55,$ the remaining sum is $1800,$ so the new mean is $\frac{1800}{48}=37.5.$

Therefore, the correct answer is D.

14.

Dado el conjunto $S$ , cuyos elementos son cero y los enteros pares, positivos y negativos. De las cinco operaciones aplicadas a cualquier par de elementos: $(1)$ suma, $(2)$ resta, $(3)$ multiplicación, $(4)$ división, $(5)$ cálculo de la media aritmética, las que producen únicamente elementos de $S$ son:

Given the set $S$ whose elements are zero and the even integers, positive and negative. Of the five operations applied to any pair of elements: $(1)$ addition, $(2)$ subtraction, $(3)$ multiplication, $(4)$ division, $(5)$ finding the arithmetic mean (average), those operations that yield only elements of $S$ are:

todas

all

$1,$ $2,$ $3,$ $4$

$1,$ $2,$ $3,$ $5$

$1,$ $2,$ $3$

$1,$ $3,$ $5$

Conceptos:paridad contraejemplo operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Comprueba si cada operación siempre transforma dos enteros pares en un entero par

Test whether each operation always takes two even integers to an even integer

Pista grande:

Usa contraejemplos pequeños para la división y el promedio

Use small counterexamples for division and averaging

Solución:

Los enteros pares son cerrados bajo la suma, la resta y la multiplicación. La división falla, pues $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\notin S.$ El promedio falla, pues la media de $0$ y $2$ es $1\notin S.$

Por lo tanto, solo las operaciones $1,$ $2,$ y $3$ siempre funcionan, y la respuesta correcta es D.

Even integers are closed under addition, subtraction, and multiplication. Division fails, since $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\notin S.$ Averaging fails, since the mean of $0$ and $2$ is $1\notin S.$

Thus only operations $1,$ $2,$ and $3$ always work, and the correct answer is D.

15.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual al doble del producto de los catetos. Uno de los ángulos agudos del triángulo es:

In a right triangle the square of the hypotenuse is equal to twice the product of the legs. One of the acute angles of the triangle is:

$15^\circ$

$30^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

$75^\circ$

Conceptos:triángulo rectángulo Teorema de Pitágoras triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Combina la relación dada con el teorema de Pitágoras

Combine the given relation with the Pythagorean theorem

Pista grande:

Compara $a^2+b^2$ con $2ab$

Compare $a^2+b^2$ with $2ab$

Solución:

Si los catetos son $a,b$ y la hipotenusa es $c,$ entonces $a^2+b^2=c^2=2ab.$ Por lo tanto, $(a-b)^2=0,$ de modo que los catetos son iguales. El triángulo rectángulo es isósceles y sus ángulos agudos miden $45^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If the legs are $a,b$ and the hypotenuse is $c,$ then $a^2+b^2=c^2=2ab.$ Hence $(a-b)^2=0,$ so the legs are equal. The right triangle is isosceles and its acute angles are $45^\circ.$

Thus, the correct answer is C.

16.

La expresión $\frac{x^2-3x+2}{x^2-5x+6}\div \frac{x^2-5x+4}{x^2-7x+12},$ al simplificarse, es:

The expression $\frac{x^2-3x+2}{x^2-5x+6}\div \frac{x^2-5x+4}{x^2-7x+12},$ when simplified, is:

$\dfrac{(x-1)(x-6)}{(x-3)(x-4)}$

$\dfrac{x+3}{x-3}$

$\dfrac{x+1}{x-1}$

$1$

$2$

Conceptos:ecuación racional factorización manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Factoriza por completo las cuatro cuadráticas

Factor all four quadratics completely

Pista grande:

Sustituye la división por la multiplicación por el recíproco

Replace division by multiplication by the reciprocal

Solución:

Al factorizar y multiplicar por el recíproco se obtiene $\begin{aligned} &\frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x-3)}\\ &\quad{}\cdot \frac{(x-3)(x-4)}{(x-1)(x-4)}=1 \end{aligned}$ para todo valor del dominio de la expresión original.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Factoring and multiplying by the reciprocal gives $\begin{aligned} &\frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x-3)}\\ &\quad{}\cdot \frac{(x-3)(x-4)}{(x-1)(x-4)}=1 \end{aligned}$ for every value in the domain of the original expression.

Therefore, the correct answer is D.

17.

Si $y=a+\dfrac bx,$ donde $a$ y $b$ son constantes, y si $y=1$ cuando $x=-1,$ y $y=5$ cuando $x=-5,$ entonces $a+b$ es igual a:

If $y=a+\dfrac bx,$ where $a$ and $b$ are constants, and if $y=1$ when $x=-1,$ and $y=5$ when $x=-5,$ then $a+b$ equals:

$-1$

$0$

$1$

$10$

$11$

Conceptos:sistema de ecuaciones función sustitución

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Sustituye los dos pares de entrada y salida dados

Substitute the two given input-output pairs

Pista grande:

Resuelve $a-b=1$ y $a-\frac{b}{5}=5$

Solve $a-b=1$ and $a-\frac{b}{5}=5$

Solución:

Las dos condiciones dan $a-b=1,\qquad a-\frac b5=5.$ Al restar se obtiene $\frac{4b}{5}=4,$ así que $b=5$ y $a=6.$ Por lo tanto, $a+b=11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The two conditions give $a-b=1,\qquad a-\frac b5=5.$ Subtracting yields $\frac{4b}{5}=4,$ so $b=5$ and $a=6.$ Therefore $a+b=11.$

Thus, the correct answer is E.

18.

La media aritmética de los primeros $n$ enteros positivos es:

The arithmetic mean (average) of the first $n$ positive integers is:

$\dfrac n2$

$\dfrac{n^2}{2}$

$n$

$\dfrac{n-1}{2}$

$\dfrac{n+1}{2}$

Conceptos:sucesión aritmética media

Nivel de dificultad: 840

Pista pequeña:

Usa la suma $1+2+\cdots+n$

Use the sum $1+2+\cdots+n$

Pista grande:

Divide la suma entre el número $n$ de términos

Divide the sum by the number $n$ of terms

Solución:

La suma de los primeros $n$ enteros positivos es $\frac{n(n+1)}{2}.$ Al dividir entre $n$ se obtiene la media $\frac{n+1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The sum of the first $n$ positive integers is $\frac{n(n+1)}{2}.$ Dividing by $n$ gives the mean $\frac{n+1}{2}.$

Therefore, the correct answer is E.

19.

Usando tres pesas diferentes, de $1$ lb., $3$ lb. y $9$ lb., ¿cuántos pesos distintos de objetos pueden medirse si tanto el objeto como las pesas dadas pueden colocarse en cualquiera de los platillos de la balanza?

With the use of three different weights, namely, $1$ lb., $3$ lb., and $9$ lb., how many objects of different weights can be weighed, if the objects to be weighed and the given weights may be placed in either pan of the scale?

$15$

$13$

$11$

$9$

$7$

Conceptos:base numérica enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Cada pesa puede colocarse con el objeto, frente al objeto o no usarse

Each weight may go with the object, against the object, or remain unused

Pista grande:

Las pesas $1,3,9$ pueden representar todos los enteros desde $1$ hasta su suma

The weights $1,3,9$ can represent every integer from $1$ through their sum

Solución:

Usando los coeficientes $-1,0,1$ para las pesas $1,3,9,$ el sistema ternario equilibrado representa cada peso entero desde $1$ hasta $1+3+9=13.$ Por lo tanto, pueden medirse $13$ pesos positivos distintos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Using coefficients $-1,0,1$ for the weights $1,3,9,$ balanced ternary represents every integer weight from $1$ through $1+3+9=13.$ Thus there are $13$ different positive object weights that can be measured.

Therefore, the correct answer is B.

20.

Se sabe que $x$ varía directamente con $y$ e inversamente con el cuadrado de $z,$ y que $x=10$ cuando $y=4$ y $z=14.$ Entonces, cuando $y=16$ y $z=7,$ $x$ es igual a:

It is given that $x$ varies directly as $y$ and inversely as the square of $z,$ and that $x=10$ when $y=4$ and $z=14.$ Then, when $y=16$ and $z=7,$ $x$ equals:

$180$

$160$

$154$

$140$

$120$

Conceptos:razón y proporción exponente

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Escribe $x=\frac{ky}{z^2}$

Write $x=\frac{ky}{z^2}$

Pista grande:

Compara los valores nuevo y anterior mediante razones para que la constante se cancele

Compare the new and old values by ratios so the constant cancels

Solución:

Como $x=\frac{ky}{z^2},$ $\frac{x_{\rm new}}{10} =\frac{16}{4}\left(\frac{14}{7}\right)^2 =4\cdot4=16.$ Por consiguiente, $x_{\rm new}=160.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because $x=\frac{ky}{z^2},$ $\frac{x_{\rm new}}{10} =\frac{16}{4}\left(\frac{14}{7}\right)^2 =4\cdot4=16.$ Hence $x_{\rm new}=160.$

Thus, the correct answer is B.

21.

Si $p$ es el perímetro de un triángulo equilátero inscrito en un círculo, el área del círculo es:

If $p$ is the perimeter of an equilateral triangle inscribed in a circle, the area of the circle is:

$\dfrac{\pi p^2}{3}$

$\dfrac{\pi p^2}{9}$

$\dfrac{\pi p^2}{27}$

$\dfrac{\pi p^2}{81}$

$\dfrac{\pi p^2\sqrt3}{27}$

Conceptos:triángulo equilátero circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio área del círculo

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

La longitud del lado del triángulo es $\frac{p}{3}$

The triangle side length is $\frac{p}{3}$

Pista grande:

Un triángulo equilátero de lado $s$ tiene circunradio $\frac{s}{\sqrt3}$

An equilateral triangle with side $s$ has circumradius $\frac{s}{\sqrt3}$

Solución:

La longitud del lado es $\frac{p}{3},$ así que el circunradio es $R=\frac{\frac{p}{3}}{\sqrt3}=\frac{p}{3\sqrt3}.$ Por lo tanto, el área del círculo es $\pi R^2=\frac{\pi p^2}{27}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The side length is $\frac{p}{3},$ so the circumradius is $R=\frac{\frac{p}{3}}{\sqrt3}=\frac{p}{3\sqrt3}.$ Therefore the circle’s area is $\pi R^2=\frac{\pi p^2}{27}.$

Thus, the correct answer is C.

22.

El segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio mide $3.$ Si la base mayor mide $97,$ entonces la base menor mide:

The line joining the midpoints of the diagonals of a trapezoid has length $3.$ If the longer base is $97,$ then the shorter base is:

$94$

$92$

$91$

$90$

$89$

Conceptos:trapecio punto medio

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Recuerda la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio

Recall the length of the segment joining the diagonal midpoints of a trapezoid

Pista grande:

Es igual a la mitad de la diferencia de las longitudes de las bases

It equals half the difference of the base lengths

Solución:

Si la base menor es $b,$ el segmento entre los puntos medios de las diagonales mide la mitad de la diferencia de las bases: $\frac{97-b}{2}=3.$ Por lo tanto, $97-b=6$ y $b=91.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If the shorter base is $b,$ the diagonal-midpoint segment has length half the difference of the bases: $\frac{97-b}{2}=3.$ Thus $97-b=6$ and $b=91.$

Therefore, the correct answer is C.

23.

El conjunto de soluciones de la ecuación $\log_{10}(a^2-15a)=2$ consta de:

The set of solutions for the equation $\log_{10}(a^2-15a)=2$ consists of:

dos enteros

two integers

un entero y una fracción

one integer and one fraction

dos números irracionales

two irrational numbers

dos números no reales

two non-real numbers

ningún número, es decir, el conjunto es vacío

no numbers, that is, the set is empty

Conceptos:logaritmo cuadrática

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Convierte la ecuación logarítmica a forma exponencial

Convert the logarithmic equation to exponential form

Pista grande:

Resuelve $a^2-15a=100$ y comprueba que el argumento del logaritmo sea positivo

Solve $a^2-15a=100$ and check that the logarithm’s argument is positive

Solución:

La ecuación equivale a $a^2-15a=100,$ o $(a-20)(a+5)=0.$ Por lo tanto, $a=20$ o $a=-5.$ En ambos casos el argumento del logaritmo es $100,$ así que las dos soluciones son enteros válidos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The equation is equivalent to $a^2-15a=100,$ or $(a-20)(a+5)=0.$ Thus $a=20$ or $a=-5.$ In both cases the logarithm’s argument is $100,$ so both solutions are valid integers.

Therefore, the correct answer is A.

24.

Un químico tiene $m$ onzas de agua salada que contiene $m\%$ de sal. ¿Cuántas onzas de sal debe añadir para obtener una solución con $2m\%$ de sal?

A chemist has $m$ ounces of salt water that is $m\%$ salt. How many ounces of salt must he add to make a solution that is $2m\%$ salt?

$\dfrac{m}{100+m}$

$\dfrac{2m}{100-2m}$

$\dfrac{m^2}{100-2m}$

$\dfrac{m^2}{100+2m}$

$\dfrac{2m}{100+m}$

Conceptos:mezcla porcentaje ecuación racional

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

La cantidad original de sal es $\frac{m^2}{100}$ onzas

The original amount of salt is $\frac{m^2}{100}$ ounces

Pista grande:

Si se añaden $x$ onzas de sal pura, iguala $\frac{\frac{m^2}{100}+x}{m+x}$ a $\frac{2m}{100}$

If $x$ ounces of pure salt are added, equate $\frac{\frac{m^2}{100}+x}{m+x}$ to $\frac{2m}{100}$

Solución:

Sea $x$ la cantidad de sal añadida, en onzas. La ecuación de concentración es $\frac{\frac{m^2}{100}+x}{m+x}=\frac{2m}{100}.$ Al multiplicar y reunir los términos con $x$ , se obtiene $x(100-2m)=m^2,$ así que $x=\frac{m^2}{100-2m}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $x$ ounces of salt be added. The concentration equation is $\frac{\frac{m^2}{100}+x}{m+x}=\frac{2m}{100}.$ Multiplying through and collecting the $x$ -terms gives $x(100-2m)=m^2,$ so $x=\frac{m^2}{100-2m}.$

Therefore, the correct answer is C.

25.

El símbolo $|a|$ significa $+a$ si $a$ es mayor o igual que cero, y $-a$ si $a$ es menor o igual que cero; el símbolo $\lt$ significa «menor que»; el símbolo $\gt$ significa «mayor que». El conjunto de valores $x$ que satisfacen la desigualdad $|3-x|\lt4$ consta de todos los $x$ tales que:

The symbol $|a|$ means $+a$ if $a$ is greater than or equal to zero, and $-a$ if $a$ is less than or equal to zero; the symbol $\lt$ means “less than”; the symbol $\gt$ means “greater than.” The set of values $x$ satisfying the inequality $|3-x|\lt4$ consists of all $x$ such that:

$x^2\lt49$

$x^2\gt1$

$1\lt x^2\lt49$

$-1\lt x\lt7$

$-7\lt x\lt1$

Conceptos:valor absoluto desigualdad

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Reescribe $|3-x|\lt4$ como una desigualdad compuesta

Rewrite $|3-x|\lt4$ as a compound inequality

Pista grande:

Resuelve $-4\lt3-x\lt4$ para $x$

Solve $-4\lt3-x\lt4$ for $x$

Solución:

La desigualdad de valor absoluto equivale a $-4\lt3-x\lt4.$ Al restar $3$ y multiplicar por $-1$ , se invierten las desigualdades y se obtiene $-1\lt x\lt7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The absolute-value inequality is equivalent to $-4\lt3-x\lt4.$ Subtracting $3$ and multiplying by $-1$ reverses the inequalities, giving $-1\lt x\lt7.$

Thus, the correct answer is D.

26.

La base de un triángulo isósceles mide $\sqrt2.$ Las medianas correspondientes a los lados iguales se cortan en ángulo recto. El área del triángulo es:

The base of an isosceles triangle is $\sqrt2.$ The medians to the legs intersect each other at right angles. The area of the triangle is:

$1.5$

$2$

$2.5$

$3.5$

$4$

Conceptos:triángulo isósceles mediana (geometría)geometría analítica área

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Coloca los extremos de la base simétricamente respecto del origen y el tercer vértice sobre la mediatriz

Place the base endpoints symmetrically about the origin and the third vertex on the perpendicular bisector

Pista grande:

Escribe vectores directores para las dos medianas e iguala su producto punto a cero

Write direction vectors for the two medians and set their dot product equal to zero

Solución:

Coloca los extremos de la base en $A=(-\frac{\sqrt2}{2},0)$ y $B=(\frac{\sqrt2}{2},0),$ y sea el tercer vértice $C=(0,h).$ La mediana desde $A$ tiene dirección $\left(\frac{3\sqrt2}{4},\frac h2\right),$ mientras que la mediana desde $B$ tiene dirección $\left(-\frac{3\sqrt2}{4},\frac h2\right).$ Su producto punto es cero, así que $-\frac98+\frac{h^2}{4}=0,$ y $h=\frac{3\sqrt2}{2}.$ Por lo tanto, el área es $\frac12\cdot\sqrt2\cdot\frac{3\sqrt2}{2}=\frac32.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Put the base endpoints at $A=(-\frac{\sqrt2}{2},0)$ and $B=(\frac{\sqrt2}{2},0),$ and let the third vertex be $C=(0,h).$ The median from $A$ has direction $\left(\frac{3\sqrt2}{4},\frac h2\right),$ while the median from $B$ has direction $\left(-\frac{3\sqrt2}{4},\frac h2\right).$ Their dot product is zero, so $-\frac98+\frac{h^2}{4}=0,$ and $h=\frac{3\sqrt2}{2}.$ Thus the area is $\frac12\cdot\sqrt2\cdot\frac{3\sqrt2}{2}=\frac32.$

Therefore, the correct answer is A.

27.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera para la ecuación

$ix^2-x+2i=0,$

donde $i=\sqrt{-1}$ ?

Which one of the following statements is not true for the equation

$ix^2-x+2i=0,$

where $i=\sqrt{-1}?$

La suma de las raíces es $2$

The sum of the roots is $2$

El discriminante es $9$

The discriminant is $9$

Las raíces son imaginarias

The roots are imaginary

Las raíces pueden hallarse mediante la fórmula cuadrática

The roots can be found by using the quadratic formula

Las raíces pueden hallarse por factorización usando números imaginarios

The roots can be found by factoring, using imaginary numbers

Conceptos:número complejo cuadrática Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Usa la fórmula de Vieta para la suma de las raíces antes de resolver la ecuación

Use Vieta’s formula for the sum of the roots before solving the equation

Pista grande:

La suma es el opuesto del coeficiente de $x$ dividido entre el coeficiente de $x^2$

The sum is the negative of the $x$ -coefficient divided by the $x^2$ -coefficient

Solución:

Por la fórmula de Vieta, la suma de las raíces es $-\frac{-1}{i}=\frac1i=-i,$ no $2.$ Además, el discriminante es $(-1)^2-4(i)(2i)=1-8i^2=9.$ La fórmula cuadrática da las raíces imaginarias $i$ y $-2i,$ así que las demás afirmaciones son verdaderas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

By Vieta’s formula, the sum of the roots is $-\frac{-1}{i}=\frac1i=-i,$ not $2.$ Also the discriminant is $(-1)^2-4(i)(2i)=1-8i^2=9.$ The quadratic formula gives the imaginary roots $i$ and $-2i,$ so the remaining statements are true.

Thus, the correct answer is A.

28.

En el triángulo $ABC,$ $\overline{AL}$ biseca el ángulo $A$ y $\overline{CM}$ biseca el ángulo $C.$ Los puntos $L$ y $M$ están sobre $\overline{BC}$ y $\overline{AB},$ respectivamente. Los lados del triángulo $ABC$ son $a,$ $b,$ y $c.$ Entonces $\dfrac{AM}{MB}=k\dfrac{CL}{LB},$ donde $k$ es:

In triangle $ABC,$ $\overline{AL}$ bisects angle $A$ and $\overline{CM}$ bisects angle $C.$ Points $L$ and $M$ are on $\overline{BC}$ and $\overline{AB},$ respectively. The sides of triangle $ABC$ are $a,$ $b,$ and $c.$ Then $\dfrac{AM}{MB}=k\dfrac{CL}{LB},$ where $k$ is:

$1$

$\dfrac{bc}{a^2}$

$\dfrac{a^2}{bc}$

$\dfrac cb$

$\dfrac ca$

Conceptos:teorema de la bisectriz razón y proporción

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

Aplica el teorema de la bisectriz por separado a $CM$ y $AL$

Apply the angle bisector theorem separately to $CM$ and $AL$

Pista grande:

Usa la notación estándar $a=BC,\ b=CA,\ c=AB$

Use the standard notation $a=BC,\ b=CA,\ c=AB$

Solución:

Por el teorema de la bisectriz, $\begin{aligned} \frac{AM}{MB}&=\frac{AC}{CB}=\frac ba,\\ \frac{CL}{LB}&=\frac{AC}{AB}=\frac bc. \end{aligned}$ Por lo tanto, $k=\frac{\frac{b}{a}}{\frac{b}{c}}=\frac ca.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

By the angle bisector theorem, $\begin{aligned} \frac{AM}{MB}&=\frac{AC}{CB}=\frac ba,\\ \frac{CL}{LB}&=\frac{AC}{AB}=\frac bc. \end{aligned}$ Therefore $k=\frac{\frac{b}{a}}{\frac{b}{c}}=\frac ca.$

Thus, the correct answer is E.

29.

En un examen de $n$ preguntas, un estudiante responde correctamente $15$ de las primeras $20.$ De las preguntas restantes responde correctamente un tercio. Todas las preguntas tienen el mismo valor. Si la calificación del estudiante es $50\%,$ ¿cuántos valores distintos puede tener $n$ ?

On an examination of $n$ questions a student answers correctly $15$ of the first $20.$ Of the remaining questions he answers one third correctly. All the questions have the same credit. If the student’s mark is $50\%,$ how many different values of $n$ can there be?

$4$

$3$

$2$

$1$

el problema no puede resolverse

the problem cannot be solved

Conceptos:porcentaje ecuación lineal divisibilidad

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Expresa el número total de respuestas correctas en función de $n$

Express the total number correct in terms of $n$

Pista grande:

Iguala $15+\frac{n-20}{3}$ a $\frac{n}{2}$

Set $15+\frac{n-20}{3}$ equal to $\frac{n}{2}$

Solución:

La condición de la calificación da $15+\frac{n-20}{3}=\frac n2.$ Al multiplicar por $6$ se obtiene $90+2n-40=3n,$ así que $n=50.$ Este valor también hace que el número de respuestas correctas restantes sea entero. Por tanto, hay exactamente un valor posible de $n.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The score condition gives $15+\frac{n-20}{3}=\frac n2.$ Multiplying by $6$ yields $90+2n-40=3n,$ so $n=50.$ This value also makes the number of remaining correct answers an integer. Hence there is exactly one possible value of $n.$

Therefore, the correct answer is D.

30.

$A$ puede dar una vuelta a una pista circular en $40$ segundos. $B,$ que corre en sentido contrario, se encuentra con $A$ cada $15$ segundos. ¿Cuánto tarda $B$ en dar una vuelta a la pista, expresado en segundos?

$A$ can run around a circular track in $40$ seconds. $B,$ running in the opposite direction, meets $A$ every $15$ seconds. What is $B$ ’s time to run around the track, expressed in seconds?

$12\dfrac12$

$24$

$25$

$27\dfrac12$

$55$

Conceptos:velocidad relativa tasa

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Mide la velocidad de cada corredor en vueltas por segundo

Measure each runner’s speed in laps per second

Pista grande:

Como corren en sentidos opuestos, sus velocidades suman $\frac{1}{15}$ de vuelta por segundo

Because they run in opposite directions, their speeds add to $\frac{1}{15}$ lap per second

Solución:

Si el tiempo de vuelta de $B$ es $t,$ su velocidad relativa es $\frac1{40}+\frac1t=\frac1{15}.$ Por lo tanto, $\frac{1}{t}=\frac{1}{24},$ así que $t=24$ segundos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If $B$ ’s lap time is $t,$ their relative speed is $\frac1{40}+\frac1t=\frac1{15}.$ Thus $\frac{1}{t}=\frac{1}{24},$ so $t=24$ seconds.

Therefore, the correct answer is B.

31.

Considérese un cuadrado de área $40,$ inscrito en un semicírculo. El área de un cuadrado que podría inscribirse en el círculo completo con el mismo radio es:

A square, with an area of $40,$ is inscribed in a semicircle. The area of a square that could be inscribed in the entire circle with the same radius is:

$80$

$100$

$120$

$160$

$200$

Conceptos:círculo cuadrado (geometría)Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Sea $s$ el lado del primer cuadrado y coloca su lado inferior sobre el diámetro del semicírculo

Let the first square have side $s$ and place its lower side on the semicircle’s diameter

Pista grande:

Respecto del centro, un vértice superior tiene coordenada horizontal $\frac{s}{2}$ y coordenada vertical $s$

A top vertex has horizontal coordinate $\frac{s}{2}$ and vertical coordinate $s$ relative to the center

Solución:

Sean $r$ el radio del semicírculo y $s$ el lado del cuadrado, donde $s^2=40.$ Un vértice superior del cuadrado está a $\frac{s}{2}$ horizontalmente y $s$ verticalmente del centro, así que $r^2=s^2+\left(\frac s2\right)^2=\frac54s^2=50.$ Un cuadrado inscrito en el círculo completo tiene diagonal $2r,$ y por tanto área $2r^2=100.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the semicircle have radius $r$ and the square have side $s,$ where $s^2=40.$ A top vertex of the square is $\frac{s}{2}$ horizontally and $s$ vertically from the center, so $r^2=s^2+\left(\frac s2\right)^2=\frac54s^2=50.$ A square inscribed in the full circle has diagonal $2r,$ hence area $2r^2=100.$

Thus, the correct answer is B.

32.

La longitud $l$ de una tangente trazada desde un punto $A$ a un círculo es $\dfrac43$ del radio $r.$ La distancia más corta de $A$ al círculo es:

The length $l$ of a tangent, drawn from a point $A$ to a circle, is $\dfrac43$ of the radius $r.$ The (shortest) distance from $A$ to the circle is:

$\dfrac12r$

$r$

$\dfrac12l$

$\dfrac23l$

un valor entre $r$ y $l$

a value between $r$ and $l$

Conceptos:recta tangente triángulo rectángulo círculo

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Une $A$ con el centro y con el punto de tangencia

Join $A$ to the center and to the point of tangency

Pista grande:

Usa el triángulo rectángulo cuyos catetos son $r$ y $l=\frac{4r}{3}$

Use the right triangle with legs $r$ and $l=\frac{4r}{3}$

Solución:

Si $O$ es el centro y $T$ el punto de tangencia, entonces $OT\perp AT.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} AO &=\sqrt{r^2+l^2}\\ &=\sqrt{r^2+\frac{16r^2}{9}}\\ &=\frac{5r}{3}. \end{aligned}$ La distancia más corta de $A$ al círculo es $AO-r=\frac{2r}{3}.$ Como $l=\frac{4r}{3},$ esta distancia es igual a $\frac{l}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If $O$ is the center and $T$ the point of tangency, then $OT\perp AT.$ Hence $\begin{aligned} AO &=\sqrt{r^2+l^2}\\ &=\sqrt{r^2+\frac{16r^2}{9}}\\ &=\frac{5r}{3}. \end{aligned}$ The shortest distance from $A$ to the circle is $AO-r=\frac{2r}{3}.$ Since $l=\frac{4r}{3},$ this distance equals $\frac{l}{2}.$

Therefore, the correct answer is C.

33.

Una progresión armónica es una sucesión de números cuyos recíprocos están en progresión aritmética. Sea $S_n$ la suma de los primeros $n$ términos de la progresión armónica; por ejemplo, $S_3$ representa la suma de los tres primeros términos. Si los tres primeros términos de una progresión armónica son $3,$ $4,$ $6,$ entonces:

A harmonic progression is a sequence of numbers such that their reciprocals are in arithmetic progression. Let $S_n$ represent the sum of the first $n$ terms of the harmonic progression; for example, $S_3$ represents the sum of the first three terms. If the first three terms of a harmonic progression are $3,$ $4,$ $6,$ then:

$S_4=20$

$S_4=25$

$S_5=49$

$S_6=49$

$S_2=\dfrac12S_4$

Conceptos:sucesión aritmética reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Escribe los recíprocos $\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{6}$ e identifica su diferencia común

Write the reciprocals $\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{6}$ and identify their common difference

Pista grande:

Prolonga un término más la progresión aritmética de los recíprocos

Continue the arithmetic progression of reciprocals one more term

Solución:

Los recíprocos comienzan $\frac13,\quad\frac14,\quad\frac16,$ con diferencia común $-\frac{1}{12}.$ El siguiente recíproco es $\frac{1}{12},$ así que el cuarto término es $12.$ Por lo tanto, $S_4=3+4+6+12=25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The reciprocals begin $\frac13,\quad\frac14,\quad\frac16,$ with common difference $-\frac{1}{12}.$ The next reciprocal is $\frac{1}{12},$ so the fourth term is $12.$ Therefore $S_4=3+4+6+12=25.$

Thus, the correct answer is B.

34.

Denotemos las raíces de $x^2-3x+1=0$ por $r$ y $s.$ Entonces la expresión $r^2+s^2$ es:

Let the roots of $x^2-3x+1=0$ be $r$ and $s.$ Then the expression $r^2+s^2$ is:

un entero positivo

a positive integer

una fracción positiva mayor que $1$

a positive fraction greater than $1$

una fracción positiva menor que $1$

a positive fraction less than $1$

un número irracional

an irrational number

un número imaginario

an imaginary number

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Usa $r+s=3$ y $rs=1$

Use $r+s=3$ and $rs=1$

Pista grande:

Reescribe $r^2+s^2$ como $(r+s)^2-2rs$

Rewrite $r^2+s^2$ as $(r+s)^2-2rs$

Solución:

Las fórmulas de Vieta dan $r+s=3$ y $rs=1.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=9-2=7, \end{aligned}$ que es un entero positivo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Vieta’s formulas give $r+s=3$ and $rs=1.$ Therefore $\begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=9-2=7, \end{aligned}$ which is a positive integer.

Thus, the correct answer is A.

35.

El símbolo $\ge$ significa «mayor o igual que»; el símbolo $\le$ significa «menor o igual que». En la ecuación $(x-m)^2-(x-n)^2=(m-n)^2,$ $m$ es un número positivo fijo y $n$ es un número negativo fijo. El conjunto de valores $x$ que satisfacen la ecuación es:

The symbol $\ge$ means “greater than or equal to”; the symbol $\le$ means “less than or equal to.” In the equation $(x-m)^2-(x-n)^2=(m-n)^2,$ $m$ is a fixed positive number, and $n$ is a fixed negative number. The set of values $x$ satisfying the equation is:

$x\ge0$

$x\le n$

$x=0$

el conjunto de todos los números reales

the set of all real numbers

ninguna de estas

none of these

Conceptos:diferencia de cuadrados ecuación lineal desigualdad

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Factoriza la diferencia de cuadrados del lado izquierdo

Factor the difference of squares on the left

Pista grande:

Como $m\ne n,$ divide entre $m-n$ y despeja $x$

Because $m\ne n,$ divide by $m-n$ and solve for $x$

Solución:

Al factorizar el lado izquierdo se obtiene $\begin{aligned} &(n-m)(2x-m-n)\\ &\qquad=(m-n)^2. \end{aligned}$ Como $m\ne n,$ al dividir entre $n-m$ resulta $2x-m-n=n-m,$ así que $x=n.$ Este único valor negativo no corresponde a ninguna de las opciones A a D.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factoring the left side gives $\begin{aligned} &(n-m)(2x-m-n)\\ &\qquad=(m-n)^2. \end{aligned}$ Since $m\ne n,$ division by $n-m$ yields $2x-m-n=n-m,$ so $x=n.$ This single negative value is not any of choices A through D.

Therefore, the correct answer is E.

36.

La base de un triángulo mide $80,$ y uno de los ángulos de la base mide $60^\circ.$ La suma de las longitudes de los otros dos lados es $90.$ El lado más corto mide:

The base of a triangle is $80,$ and one of the base angles is $60^\circ.$ The sum of the lengths of the other two sides is $90.$ The shortest side is:

$45$

$40$

$36$

$17$

$12$

Conceptos:ley de los cosenos manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Sea $x$ el lado adyacente al ángulo de $60^\circ$ , de modo que el tercer lado es $90-x$

Let the side adjacent to the $60^\circ$ angle be $x$ , so the third side is $90-x$

Pista grande:

Aplica la ley de cosenos a los lados adyacentes $80$ y $x$

Apply the law of cosines with included sides $80$ and $x$

Solución:

Denotemos la longitud del lado adyacente al ángulo de la base de $60^\circ$ por $x,$ y la del lado opuesto por $90-x.$ La ley de cosenos da $\begin{aligned} (90-x)^2 &=80^2+x^2\\ &\quad{}-2(80)(x)\cos60^\circ. \end{aligned}$ Al simplificar se obtiene $8100-180x=6400-80x,$ así que $x=17.$ Las longitudes de los lados son $17,\ 73,$ y $80,$ y la menor es $17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the side adjacent to the $60^\circ$ base angle be $x,$ and let the opposite side be $90-x.$ The law of cosines gives $\begin{aligned} (90-x)^2 &=80^2+x^2\\ &\quad{}-2(80)(x)\cos60^\circ. \end{aligned}$ Simplifying yields $8100-180x=6400-80x,$ so $x=17.$ The side lengths are $17,\ 73,$ and $80,$ and the shortest is $17.$

Thus, the correct answer is D.

37.

Al simplificarse, el producto $\begin{aligned} &\left(1-\dfrac13\right)\left(1-\dfrac14\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1-\dfrac15\right)\cdots\left(1-\dfrac1n\right) \end{aligned}$ se convierte en:

When simplified the product $\begin{aligned} &\left(1-\dfrac13\right)\left(1-\dfrac14\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1-\dfrac15\right)\cdots\left(1-\dfrac1n\right) \end{aligned}$ becomes:

$\dfrac1n$

$\dfrac2n$

$\dfrac{2(n-1)}n$

$\dfrac{2}{n(n+1)}$

$\dfrac{3}{n(n+1)}$

Conceptos:telescópica fracción

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Reescribe cada factor $1-\frac{1}{k}$ como $\frac{k-1}{k}$

Rewrite each factor $1-\frac{1}{k}$ as $\frac{k-1}{k}$

Pista grande:

Escribe los primeros factores y cancela numeradores y denominadores adyacentes

Write out the first few factors and cancel adjacent numerators and denominators

Solución:

El producto es telescópico: $\frac23\cdot\frac34\cdot\frac45\cdots\frac{n-1}{n} =\frac2n.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The product telescopes: $\frac23\cdot\frac34\cdot\frac45\cdots\frac{n-1}{n} =\frac2n.$

Therefore, the correct answer is B.

38.

Si $4x+\sqrt{2x}=1,$ entonces $x:$

If $4x+\sqrt{2x}=1,$ then $x:$

es un entero

is an integer

es fraccionario

is fractional

es irracional

is irrational

es imaginario

is imaginary

puede tener dos valores diferentes

may have two different values

Conceptos:radical sustitución cuadrática

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Sea $u=\sqrt{2x},$ de modo que $x=\frac{u^2}{2}$ y $u\ge0$

Set $u=\sqrt{2x},$ so $x=\frac{u^2}{2}$ and $u\ge0$

Pista grande:

Resuelve la cuadrática resultante $2u^2+u-1=0$

Solve the resulting quadratic $2u^2+u-1=0$

Solución:

Sea $u=\sqrt{2x}\ge0.$ Como $x=\frac{u^2}{2},$ la ecuación se convierte en $2u^2+u=1,$ o $(2u-1)(u+1)=0.$ Por lo tanto, $u=\frac{1}{2}$ y $x=\frac{u^2}{2}=\frac{1}{8}.$ La otra raíz cuadrática no es admisible porque $u\ge0.$ Así, $x$ es fraccionario.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $u=\sqrt{2x}\ge0.$ Since $x=\frac{u^2}{2},$ the equation becomes $2u^2+u=1,$ or $(2u-1)(u+1)=0.$ Thus $u=\frac{1}{2}$ and $x=\frac{u^2}{2}=\frac{1}{8}.$ The other quadratic root is inadmissible because $u\ge0.$ Hence $x$ is fractional.

Therefore, the correct answer is B.

39.

Sea $S$ la suma de los primeros nueve términos de la sucesión

$\begin{gathered} x+a,\quad x^2+2a,\\ x^3+3a,\quad\ldots. \end{gathered}$

Entonces $S$ es igual a:

Let $S$ be the sum of the first nine terms of the sequence

$\begin{gathered} x+a,\quad x^2+2a,\\ x^3+3a,\quad\ldots. \end{gathered}$

Then $S$ equals:

$\dfrac{50a+x+x^8}{x+1}$

$50a-\dfrac{x+x^{10}}{x-1}$

$\dfrac{x^9-1}{x+1}+45a$

$\dfrac{x^{10}-x}{x-1}+45a$

$\dfrac{x^{11}-x}{x-1}+45a$

Conceptos:sucesión geométrica sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Separa las potencias de $x$ de los múltiplos de $a$

Separate the powers of $x$ from the multiples of $a$

Pista grande:

Usa la suma de una serie geométrica para $x+x^2+\cdots+x^9$

Use the geometric-series sum for $x+x^2+\cdots+x^9$

Solución:

Al sumar los primeros nueve términos se obtiene $\begin{aligned} S={}&(x+x^2+\cdots+x^9)\\ &{}+(1+2+\cdots+9)a. \end{aligned}$ Por lo tanto, $S=\frac{x^{10}-x}{x-1}+45a.$ En $x=1,$ la expresión se entiende por continuidad, y allí ambas formas son iguales a $9+45a.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Adding the first nine terms gives $\begin{aligned} S={}&(x+x^2+\cdots+x^9)\\ &{}+(1+2+\cdots+9)a. \end{aligned}$ Therefore $S=\frac{x^{10}-x}{x-1}+45a.$ The expression is understood by continuity at $x=1,$ where both forms equal $9+45a.$

Thus, the correct answer is D.

40.

En el triángulo $ABC,$ $\overline{BD}$ es una mediana. $\overline{CF}$ corta a $\overline{BD}$ en $E$ de modo que $BE=ED.$ El punto $F$ está sobre $\overline{AB}.$ Entonces, si $BF=5,$ $BA$ es igual a:

In triangle $ABC,$ $\overline{BD}$ is a median. $\overline{CF}$ intersects $\overline{BD}$ at $E$ so that $BE=ED.$ Point $F$ is on $\overline{AB}.$ Then, if $BF=5,$ $BA$ equals:

$10$

$12$

$15$

$20$

ninguna de estas

none of these

Conceptos:mediana (geometría)vector puntos de masa

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Usa coordenadas o masas, observando que $D$ es el punto medio de $AC$ y $E$ es el punto medio de $BD$

Use coordinates or masses, noting that $D$ is the midpoint of $AC$ and $E$ is the midpoint of $BD$

Pista grande:

Escribe $E$ tanto como $\frac{B+D}{2}$ como en su forma de punto sobre la recta $CF$

Write $E$ both as $\frac{B+D}{2}$ and as a point on line $CF$

Solución:

Usa vectores con $A=\mathbf0,\ B=\mathbf b,$ y $C=\mathbf c.$ Como $D=\frac{\mathbf c}{2}$ y $E$ es el punto medio de $BD,$ $E=\frac12\mathbf b+\frac14\mathbf c.$ Un punto $F$ sobre $AB$ tiene la forma $F=t\mathbf b.$ Como $E$ está sobre $CF,$ al comparar el coeficiente de $\mathbf c$ se obtiene $E=\tfrac14C+\tfrac34F.$ Por consiguiente, $\frac34t=\frac12,$ así que $t=\frac{2}{3}.$ Entonces $\frac{AF}{AB}=\frac{2}{3},$ y $\frac{BF}{BA}=\frac{1}{3}.$ Como $BF=5,$ $BA=15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Use vectors with $A=\mathbf0,\ B=\mathbf b,$ and $C=\mathbf c.$ Since $D=\frac{\mathbf c}{2}$ and $E$ is the midpoint of $BD,$ $E=\frac12\mathbf b+\frac14\mathbf c.$ A point $F$ on $AB$ has the form $F=t\mathbf b.$ Since $E$ lies on $CF,$ comparison of the $\mathbf c$ -coefficient shows that $E=\tfrac14C+\tfrac34F.$ Hence $\frac34t=\frac12,$ so $t=\frac{2}{3}.$ Thus $\frac{AF}{AB}=\frac{2}{3},$ and $\frac{BF}{BA}=\frac{1}{3}.$ Since $BF=5,$ $BA=15.$

Therefore, the correct answer is C.

41.

En el mismo lado de una recta se dibujan tres círculos así: un círculo de radio $4$ pulgadas es tangente a la recta, los otros dos círculos son iguales y cada uno es tangente a la recta y a los otros dos círculos. El radio de los círculos iguales es:

On the same side of a straight line three circles are drawn as follows: a circle with a radius of $4$ inches is tangent to the line, the other two circles are equal, and each is tangent to the line and to the other two circles. The radius of the equal circles is:

$24$

$20$

$18$

$16$

$12$

Conceptos:circunferencias tangentes fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

El círculo pequeño está colocado simétricamente entre los dos círculos iguales

The small circle lies symmetrically between the two equal circles

Pista grande:

Si un círculo igual tiene radio $R,$ compara la distancia entre centros $\sqrt{R^2+(R-4)^2}$ con $R+4$

If an equal circle has radius $R,$ compare the center distance $\sqrt{R^2+(R-4)^2}$ with $R+4$

Solución:

El radio de los círculos iguales se denota por $R.$ Sus centros están separados por $2R$ , así que el centro del círculo de radio $4$ queda a mitad de camino entre ellos. Las separaciones horizontal y vertical entre su centro y cualquiera de los centros grandes son $R$ y $R-4.$ La tangencia da $R^2+(R-4)^2=(R+4)^2.$ Al simplificar se obtiene $R^2-16R=0,$ y la positividad da $R=16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the equal circles have radius $R.$ Their centers are $2R$ apart, so the center of the radius- $4$ circle lies midway between them. The horizontal and vertical separations between its center and either large center are $R$ and $R-4.$ Tangency gives $R^2+(R-4)^2=(R+4)^2.$ Simplifying yields $R^2-16R=0,$ and positivity gives $R=16.$

Thus, the correct answer is D.

42.

Dados tres enteros positivos $a,$ $b,$ y $c.$ Su máximo común divisor es $D;$ su mínimo común múltiplo es $M.$ Entonces, ¿cuáles dos de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

$(1)$ El producto $MD$ no puede ser menor que $abc.$

$(2)$ El producto $MD$ no puede ser mayor que $abc.$

$(3)$ $MD$ es igual a $abc$ si y solo si $a,$ $b,$ $c$ son primos.

$(4)$ $MD$ es igual a $abc$ si y solo si $a,$ $b,$ $c$ son primos relativos por pares. (Esto significa que ningún par tiene un factor común mayor que $1.$ )

Given three positive integers $a,$ $b,$ and $c.$ Their greatest common divisor is $D;$ their least common multiple is $M.$ Then, which two of the following statements are true?

$(1)$ The product $MD$ cannot be less than $abc.$

$(2)$ The product $MD$ cannot be greater than $abc.$

$(3)$ $MD$ equals $abc$ if and only if $a,$ $b,$ $c$ are each prime.

$(4)$ $MD$ equals $abc$ if and only if $a,$ $b,$ $c$ are relatively prime in pairs. (This means: no two have a common factor greater than $1.$ )

$1,$ $2$

$1,$ $3$

$1,$ $4$

$2,$ $3$

$2,$ $4$

Conceptos:máximo común divisor mínimo común múltiplo factorización en primos

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Para un primo, ordena sus exponentes en $a,b,c$ como $u\le v\le w$

For one prime, order its exponents in $a,b,c$ as $u\le v\le w$

Pista grande:

Compara el exponente $u+w$ en $MD$ con el exponente $u+v+w$ en $abc$

Compare the exponent $u+w$ in $MD$ with the exponent $u+v+w$ in $abc$

Solución:

Para cualquier primo, sean sus exponentes en $a,b,c$ iguales a $u\le v\le w.$ Su exponente en $MD$ es $u+w,$ mientras que en $abc$ es $u+v+w.$ Por lo tanto, $MD\le abc,$ lo que demuestra la afirmación $(2).$ La igualdad se cumple exactamente cuando $v=0$ para todo primo, lo cual significa que ningún primo divide a dos de $a,b,c.$ Esto es precisamente ser primos relativos por pares, lo que demuestra la afirmación $(4).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For any prime, let its exponents in $a,b,c$ be $u\le v\le w.$ Its exponent in $MD$ is $u+w,$ while its exponent in $abc$ is $u+v+w.$ Thus $MD\le abc,$ proving statement $(2).$ Equality holds exactly when $v=0$ for every prime, meaning no prime divides two of $a,b,c.$ That is precisely pairwise relative primality, proving statement $(4).$

Therefore, the correct answer is E.

43.

Los lados de un triángulo miden $25,$ $39,$ y $40.$ El diámetro del círculo circunscrito es:

The sides of a triangle are $25,$ $39,$ and $40.$ The diameter of the circumscribed circle is:

$\dfrac{133}{3}$

$\dfrac{125}{3}$

$42$

$41$

$40$

Conceptos:Fórmula de Herón circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio área del triángulo

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Usa la fórmula de Herón con semiperímetro $52$

Use Heron’s formula with semiperimeter $52$

Pista grande:

Después de hallar el área $K,$ usa $abc=4KR$ y duplica el circunradio

After finding the area $K,$ use $abc=4KR$ and double the circumradius

Solución:

El semiperímetro es $52,$ así que la fórmula de Herón da $K=\sqrt{52\cdot27\cdot13\cdot12}=468.$ Si $R$ es el circunradio, entonces $R=\frac{25\cdot39\cdot40}{4\cdot468}=\frac{125}{6}.$ Por lo tanto, el diámetro es $2R=\frac{125}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The semiperimeter is $52,$ so Heron’s formula gives $K=\sqrt{52\cdot27\cdot13\cdot12}=468.$ If $R$ is the circumradius, then $R=\frac{25\cdot39\cdot40}{4\cdot468}=\frac{125}{6}.$ Hence the diameter is $2R=\frac{125}{3}.$

Thus, the correct answer is B.

44.

Las dos raíces de $x^2+bx+c=0$ son reales y mayores que $1.$ Sea $s=b+c+1.$ Entonces $s:$

The roots of $x^2+bx+c=0$ are both real and greater than $1.$ Let $s=b+c+1.$ Then $s:$

puede ser menor que cero

may be less than zero

puede ser igual a cero

may be equal to zero

debe ser mayor que cero

must be greater than zero

debe ser menor que cero

must be less than zero

debe estar entre $-1$ y $1$

must be between $-1$ and $1$

Conceptos:Fórmulas de Vieta desigualdad cuadrática

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Llama $u$ y $v$ a las dos raíces y expresa $b,c$ mediante las fórmulas de Vieta

Call the two roots $u$ and $v$ and express $b,c$ using Vieta’s formulas

Pista grande:

Factoriza $1-(u+v)+uv$

Factor $1-(u+v)+uv$

Solución:

Si las raíces son $u,v>1,$ entonces $b=-(u+v)$ y $c=uv.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} s&=1-u-v+uv\\ &=(u-1)(v-1)>0. \end{aligned}$

Por lo tanto, $s$ debe ser mayor que cero y la respuesta correcta es C.

If the roots are $u,v>1,$ then $b=-(u+v)$ and $c=uv.$ Therefore $\begin{aligned} s&=1-u-v+uv\\ &=(u-1)(v-1)>0. \end{aligned}$

Thus $s$ must be greater than zero, and the correct answer is C.

45.

Si $\begin{aligned} &(\log_3x)(\log_x2x)(\log_{2x}y)\\ &\qquad=\log_xx^2, \end{aligned}$ entonces $y$ es igual a:

If $\begin{aligned} &(\log_3x)(\log_x2x)(\log_{2x}y)\\ &\qquad=\log_xx^2, \end{aligned}$ then $y$ equals:

$\dfrac92$

$9$

$18$

$27$

$81$

Conceptos:logaritmo telescópica

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Usa $(\log_a b)(\log_b c)=\log_a c$ dos veces

Use $(\log_a b)(\log_b c)=\log_a c$ twice

Pista grande:

Simplifica todo el lado izquierdo a $\log_3y$

Simplify the entire left side to $\log_3y$

Solución:

Los logaritmos se cancelan telescópicamente: $\begin{aligned} &(\log_3x)(\log_x2x)(\log_{2x}y)\\ &\qquad=\log_3y. \end{aligned}$ Además, $\log_xx^2=2,$ así que $\log_3y=2$ y $y=3^2=9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The logarithms telescope: $\begin{aligned} &(\log_3x)(\log_x2x)(\log_{2x}y)\\ &\qquad=\log_3y. \end{aligned}$ Also $\log_xx^2=2,$ so $\log_3y=2$ and $y=3^2=9.$

Therefore, the correct answer is B.

46.

Un estudiante de vacaciones durante $d$ días observó que

$(1)$ llovió $7$ veces, por la mañana o por la tarde;

$(2)$ cuando llovía por la tarde, la mañana había estado despejada;

$(3)$ hubo cinco tardes despejadas;

$(4)$ hubo seis mañanas despejadas.

Entonces $d$ es igual a:

A student on vacation for $d$ days observed that

$(1)$ it rained $7$ times, morning or afternoon;

$(2)$ when it rained in the afternoon, it was clear in the morning;

$(3)$ there were five clear afternoons;

$(4)$ there were six clear mornings.

Then $d$ equals:

$7$

$9$

$10$

$11$

$12$

Conceptos:conteo básico conteo complementario

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Cuenta las mañanas y las tardes lluviosas a partir de las cantidades de medias jornadas despejadas

Count rainy mornings and rainy afternoons from the numbers of clear half-days

Pista grande:

La condición $(2)$ garantiza que una tarde lluviosa y una mañana lluviosa nunca ocurran el mismo día

Condition $(2)$ ensures that a rainy afternoon and rainy morning never occur on the same day

Solución:

Hay $d-6$ mañanas lluviosas y $d-5$ tardes lluviosas. Por la condición $(2),$ estas ocasiones de lluvia son distintas, y suman $7.$ Por consiguiente, $(d-6)+(d-5)=7,$ así que $2d=18$ y $d=9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $d-6$ rainy mornings and $d-5$ rainy afternoons. By condition $(2),$ these are distinct rainy occasions, and their total is $7.$ Hence $(d-6)+(d-5)=7,$ so $2d=18$ and $d=9.$

Thus, the correct answer is B.

47.

Supongamos que las tres afirmaciones siguientes son verdaderas:

I. Todos los alumnos de primer año son humanos.

II. Todos los estudiantes son humanos.

III. Algunos estudiantes piensan.

Dadas las cuatro afirmaciones siguientes:

$(1)$ Todos los alumnos de primer año son estudiantes.

$(2)$ Algunos humanos piensan.

$(3)$ Ningún alumno de primer año piensa.

$(4)$ Algunos humanos que piensan no son estudiantes.

Las que son consecuencias lógicas de I, II y III son:

Assume that the following three statements are true:

I. All freshmen are human.

II. All students are human.

III. Some students think.

Given the following four statements:

$(1)$ All freshmen are students.

$(2)$ Some humans think.

$(3)$ No freshmen think.

$(4)$ Some humans who think are not students.

Those which are logical consequences of I, II, and III are:

$2$

$4$

$2,$ $3$

$2,$ $4$

$1,$ $2$

Conceptos:deducción lógica contraejemplo

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Usa la persona cuya existencia se afirma en la afirmación III

Use the person whose existence is asserted in statement III

Pista grande:

Combina «algunos estudiantes piensan» con «todos los estudiantes son humanos»

Combine “some students think” with “all students are human”

Solución:

La afirmación III proporciona al menos un estudiante que piensa. Por la afirmación II, ese estudiante es humano, así que algún humano piensa y se deduce la afirmación $(2)$ . Nada relaciona a los alumnos de primer año con los estudiantes, indica si los alumnos de primer año piensan ni garantiza que haya un humano que piense fuera del conjunto de estudiantes. Por lo tanto, no se deduce ninguna de $(1),$ $(3),$ o $(4)$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Statement III supplies at least one student who thinks. By statement II, that student is human, so some human thinks and statement $(2)$ follows. Nothing relates freshmen to students, says whether freshmen think, or guarantees a thinking human outside the students. Thus none of $(1),$ $(3),$ or $(4)$ follows.

Therefore, the correct answer is A.

48.

Dado el polinomio $\begin{aligned} &a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots\\ &\qquad{}+a_{n-1}x+a_n, \end{aligned}$ donde $n$ es un entero positivo o cero y $a_0$ es un entero positivo. Los coeficientes $a$ restantes son enteros o cero. Sea $\begin{aligned} h={}&n+a_0+|a_1|+|a_2|\\ &{}+\cdots+|a_n|. \end{aligned}$ [Véase el ejemplo $25$ para el significado de $|x|.$ ] El número de polinomios con $h=3$ es:

Given the polynomial $\begin{aligned} &a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots\\ &\qquad{}+a_{n-1}x+a_n, \end{aligned}$ where $n$ is a positive integer or zero, and $a_0$ is a positive integer. The remaining $a$ ’s are integers or zero. Set $\begin{aligned} h={}&n+a_0+|a_1|+|a_2|\\ &{}+\cdots+|a_n|. \end{aligned}$ [See example $25$ for the meaning of $|x|.$ ] The number of polynomials with $h=3$ is:

$3$

$5$

$6$

$7$

$9$

Conceptos:polinomio análisis por casos

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Como $n+a_0\le3$ y $a_0\ge1,$ considera solo $n=0,1,2$

Since $n+a_0\le3$ and $a_0\ge1,$ consider only $n=0,1,2$

Pista grande:

Para cada grado, cuenta las tuplas de coeficientes enteros con la suma requerida de valores absolutos

For each degree, count the integer coefficient tuples with the required sum of absolute values

Solución:

Contamos por grado. Si $n=0,$ entonces $a_0=3,$ lo que da un polinomio. Si $n=1,$ entonces $a_0+|a_1|=2.$ Esto da $a_0=2,a_1=0$ o $a_0=1,a_1=\pm1,$ para un total de tres polinomios. Si $n=2,$ entonces $a_0=1$ y $a_1=a_2=0,$ lo que da uno más. No es posible un grado mayor. El total es $1+3+1=5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

We count by degree. If $n=0,$ then $a_0=3,$ giving one polynomial. If $n=1,$ then $a_0+|a_1|=2.$ This gives $a_0=2,a_1=0$ or $a_0=1,a_1=\pm1,$ for three polynomials. If $n=2,$ then $a_0=1$ and $a_1=a_2=0,$ giving one more. No higher degree is possible. The total is $1+3+1=5.$

Thus, the correct answer is B.

49.

Para la serie infinita $\begin{aligned} &1-\dfrac12-\dfrac14+\dfrac18\\ &{}-\dfrac1{16}-\dfrac1{32}+\dfrac1{64}\\ &{}-\dfrac1{128}-\cdots, \end{aligned}$ sea $S$ la suma límite. Entonces $S$ es igual a:

For the infinite series $\begin{aligned} &1-\dfrac12-\dfrac14+\dfrac18\\ &{}-\dfrac1{16}-\dfrac1{32}+\dfrac1{64}\\ &{}-\dfrac1{128}-\cdots, \end{aligned}$ let $S$ be the (limiting) sum. Then $S$ equals:

$0$

$\dfrac27$

$\dfrac67$

$\dfrac9{32}$

$\dfrac{27}{32}$

Conceptos:sucesión geométrica emparejamiento y agrupación sumatoria

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Agrupa los términos en bloques consecutivos de tres

Group the terms in consecutive blocks of three

Pista grande:

Cada bloque es $\frac{1}{8}$ del bloque anterior

Each block is $\frac{1}{8}$ times the preceding block

Solución:

Agrupa la serie como $\begin{aligned} S={}&\left(1-\frac12-\frac14\right)\\ &+\left(\frac18-\frac1{16}-\frac1{32}\right) +\cdots. \end{aligned}$ El primer bloque es $\frac{1}{4},$ y los bloques sucesivos forman una serie geométrica de razón $\frac{1}{8}.$ Por lo tanto, $S=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{8}}=\frac27.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Group the series as $\begin{aligned} S={}&\left(1-\frac12-\frac14\right)\\ &+\left(\frac18-\frac1{16}-\frac1{32}\right) +\cdots. \end{aligned}$ The first block is $\frac{1}{4},$ and successive blocks form a geometric series with ratio $\frac{1}{8}.$ Hence $S=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{8}}=\frac27.$

Therefore, the correct answer is B.

50.

Un club con $x$ miembros se organiza en cuatro comités de acuerdo con estas dos reglas:

$(1)$ Cada miembro pertenece a dos y solo dos comités.

$(2)$ Cada par de comités tiene uno y solo un miembro en común.

Entonces $x:$

A club with $x$ members is organized into four committees in accordance with these two rules:

$(1)$ Each member belongs to two and only two committees.

$(2)$ Each pair of committees has one and only one member in common.

Then $x:$

no puede determinarse

cannot be determined

tiene un único valor entre $8$ y $16$

has a single value between $8$ and $16$

tiene dos valores entre $8$ y $16$

has two values between $8$ and $16$

tiene un único valor entre $4$ y $8$

has a single value between $4$ and $8$

tiene dos valores entre $4$ y $8$

has two values between $4$ and $8$

Conceptos:doble conteo combinaciones biyección

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Asocia cada miembro con el par de comités a los que pertenece

Associate each member with the pair of committees to which that member belongs

Pista grande:

La regla $(2)$ dice que cada par de los cuatro comités aparece exactamente una vez

Rule $(2)$ says every pair of the four committees occurs exactly once

Solución:

Cada miembro pertenece exactamente a un par no ordenado de comités. Recíprocamente, cada par de comités tiene exactamente un miembro en común. Así, los miembros están en correspondencia uno a uno con los pares de cuatro comités, de modo que $x=\binom42=6.$ Este es un único valor entre $4$ y $8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each member belongs to exactly one unordered pair of committees. Conversely, each pair of committees has exactly one common member. Thus the members are in one-to-one correspondence with the pairs of four committees, so $x=\binom42=6.$ This is a single value between $4$ and $8.$

Therefore, the correct answer is D.