Question

Dos ciclistas separados por $k$ millas parten al mismo tiempo. Si viajaran en la misma dirección, se encontrarían en $r$ horas; si viajaran en direcciones opuestas, se cruzarían en $t$ horas. La razón entre la velocidad del ciclista más rápido y la del más lento es:

Two cyclists, $k$ miles apart, and starting at the same time, would be together in $r$ hours if they traveled in the same direction, but would pass each other in $t$ hours if they traveled in opposite directions. The ratio of the speed of the faster cyclist to that of the slower is:

$\dfrac{r+t}{r-t}$

$\dfrac r{r-t}$

$\dfrac{r+t}{r}$

$\dfrac rt$

$\dfrac{r+k}{t-k}$

Respuesta: A

Conceptos:velocidad relativa tasa razón y proporción

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Sean $u$ y $v$ las velocidades del ciclista más rápido y del más lento, y escribe las ecuaciones de velocidad relativa para la misma dirección y para direcciones opuestas

Let the faster and slower speeds be $u$ and $v$ , and write the same-direction and opposite-direction relative-speed equations

Pista grande:

Usa $(u-v)r=k$ y $(u+v)t=k$ , y luego despeja $\frac{u}{v}$

Use $(u-v)r=k$ and $(u+v)t=k$ , then solve for $\frac{u}{v}$

Solución:

Sean las velocidades $u\gt v.$ Las dos condiciones de encuentro dan $u-v=\frac kr,\qquad u+v=\frac kt.$ Al sumar y restar estas ecuaciones se obtiene $\begin{aligned} u&=\frac k2\left(\frac1r+\frac1t\right),\\ v&=\frac k2\left(\frac1t-\frac1r\right). \end{aligned}$ Por consiguiente, $\frac uv=\frac{r+t}{r-t}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the speeds be $u\gt v.$ The two meeting conditions give $u-v=\frac kr,\qquad u+v=\frac kt.$ Adding and subtracting these equations yields $\begin{aligned} u&=\frac k2\left(\frac1r+\frac1t\right),\\ v&=\frac k2\left(\frac1t-\frac1r\right). \end{aligned}$ Therefore $\frac uv=\frac{r+t}{r-t}.$

Thus, the correct answer is A.

1952 AMC 12 Problema 48

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 48 en otros años