Question

En la figura, $CD,$ $AE,$ y $BF$ son un tercio de sus respectivos lados. Se deduce que $AN_2:N_2N_1:N_1D=3:3:1,$ y de manera análoga para las rectas $BE$ y $CF.$ Entonces el área del triángulo $N_1N_2N_3$ es:

In the figure, $CD,$ $AE,$ and $BF$ are one-third of their respective sides. It follows that $AN_2:N_2N_1:N_1D=3:3:1,$ and similarly for lines $BE$ and $CF.$ Then the area of triangle $N_1N_2N_3$ is:

$\dfrac1{10}\triangle ABC$

$\dfrac19\triangle ABC$

$\dfrac17\triangle ABC$

$\dfrac16\triangle ABC$

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica razón de áreas

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Las razones de áreas son invariantes bajo transformaciones afines, así que elige coordenadas convenientes para el triángulo $ABC$

Area ratios are affine-invariant, so choose convenient coordinates for triangle $ABC$

Pista grande:

Ubica $D,E,F$ mediante las condiciones de un tercio, intersecta las tres cevianas y compara las dos áreas con determinantes

Locate $D,E,F$ by the one-third conditions, intersect the three cevians, and compare the two areas with determinants

Solución:

Usamos $A=(0,1),$ $B=(0,0),$ $C=(1,0).$ Entonces $\begin{aligned} D&=\left(\frac23,0\right),\\ E&=\left(\frac13,\frac23\right),\\ F&=\left(0,\frac13\right). \end{aligned}$ Al intersectar $AD,BE,CF$ por pares se obtiene $\begin{aligned} N_1&=\left(\frac47,\frac17\right),\\ N_2&=\left(\frac27,\frac47\right),\\ N_3&=\left(\frac17,\frac27\right). \end{aligned}$ La fórmula del área mediante determinantes da $\begin{aligned} [N_1N_2N_3]&=\frac1{14},\\ [ABC]&=\frac12. \end{aligned}$ Por consiguiente, $\frac{[N_1N_2N_3]}{[ABC]}=\frac{1}{7}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Use $A=(0,1),$ $B=(0,0),$ $C=(1,0).$ Then $\begin{aligned} D&=\left(\frac23,0\right),\\ E&=\left(\frac13,\frac23\right),\\ F&=\left(0,\frac13\right). \end{aligned}$ Intersecting $AD,BE,CF$ in pairs gives $\begin{aligned} N_1&=\left(\frac47,\frac17\right),\\ N_2&=\left(\frac27,\frac47\right),\\ N_3&=\left(\frac17,\frac27\right). \end{aligned}$ The determinant area formula gives $\begin{aligned} [N_1N_2N_3]&=\frac1{14},\\ [ABC]&=\frac12. \end{aligned}$ Hence $\frac{[N_1N_2N_3]}{[ABC]}=\frac{1}{7}.$

Thus, the correct answer is C.

1952 AMC 12 Problema 49

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 49 en otros años