Question

Las coordenadas de $A,$ $B$ y $C$ son $(5,5),$ $(2,1)$ y $(0,k)$ , respectivamente. El valor de $k$ que hace que $\overline{AC}+\overline{BC}$ sea lo menor posible es:

The coordinates of $A,$ $B$ and $C$ are $(5,5),$ $(2,1)$ and $(0,k)$ respectively. The value of $k$ that makes $\overline{AC}+\overline{BC}$ as small as possible is:

$3$

$4\dfrac12$

$3\dfrac67$

$4\dfrac56$

$2\dfrac17$

Respuesta: E

Conceptos:reflection shortest path geometría analítica

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Refleja $B$ respecto del eje $y$ para que $BC$ se convierta en la distancia de $C$ al punto reflejado

Reflect $B$ across the $y$ -axis so that $BC$ becomes the distance from $C$ to the reflected point

Pista grande:

El camino quebrado más corto ocurre donde la recta de $A$ al punto reflejado corta el eje $y$

The shortest broken path occurs where the straight line from $A$ to the reflected point meets the $y$ -axis

Solución:

Refleja $B=(2,1)$ respecto del eje $y$ para obtener $B'=(-2,1).$ Para $C$ sobre el eje $y$ , $BC=B'C,$ así que $AC+BC$ se minimiza cuando $A,C,B'$ son colineales. La recta de $A=(5,5)$ a $B'=(-2,1)$ tiene pendiente $\frac{4}{7}.$ En $x=0,$ su altura es $5-\frac47(5)=\frac{15}{7}=2\frac17.$ Por consiguiente, $k=\frac{15}{7}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Reflect $B=(2,1)$ across the $y$ -axis to $B'=(-2,1).$ For $C$ on the $y$ -axis, $BC=B'C,$ so $AC+BC$ is minimized when $A,C,B'$ are collinear. The line from $A=(5,5)$ to $B'=(-2,1)$ has slope $\frac{4}{7}.$ At $x=0,$ its height is $5-\frac47(5)=\frac{15}{7}=2\frac17.$ Hence $k=\frac{15}{7}.$

Thus, the correct answer is E.

1953 AMC 12 Problema 49

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 49 en otros años