Question

El punto de tangencia del círculo inscrito divide uno de los lados de un triángulo en segmentos de $6$ y $8$ unidades. Si el radio del círculo es $4,$ entonces la longitud del lado más corto del triángulo es:

One of the sides of a triangle is divided into segments of $6$ and $8$ units by the point of tangency of the inscribed circle. If the radius of the circle is $4,$ then the length of the shortest side of the triangle is:

$12$ unidades

$12$ units

$13$ unidades

$13$ units

$14$ unidades

$14$ units

$15$ unidades

$15$ units

$16$ unidades

$16$ units

Respuesta: B

Conceptos:incircle tangent lengths Heron formula triangle

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Los segmentos tangentes desde un mismo vértice son iguales, de modo que los tres lados son $14,$ $6+z,$ y $8+z$ para algún $z$

Equal tangent segments from a vertex make the three sides $14,$ $6+z,$ and $8+z$ for some $z$

Pista grande:

Usa tanto $K=rs$ como la fórmula de Herón con semiperímetro $s=14+z$

Use both $K=rs$ and Heron’s formula with semiperimeter $s=14+z$

Solución:

Sean de longitud $z$ los dos segmentos tangentes trazados desde el tercer vértice. La igualdad de los segmentos tangentes desde un mismo vértice hace que las longitudes de los lados sean $14,\qquad 6+z,\qquad 8+z,$ con semiperímetro $s=14+z.$ Como el inradio es $4,$ $K=rs=4(14+z).$ La fórmula de Herón da $\begin{aligned} K^2 &=(14+z)z\cdot8\cdot6\\ &=48z(14+z). \end{aligned}$ Al igualar los cuadrados se obtiene $16(14+z)=48z,$ de donde $z=7.$ Los lados son $14,$ $13,$ y $15,$ y el menor mide $13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the two tangent segments from the third vertex each have length $z.$ Equal tangents from a common vertex make the side lengths $14,\qquad 6+z,\qquad 8+z,$ with semiperimeter $s=14+z.$ Since the inradius is $4,$ $K=rs=4(14+z).$ Heron’s formula gives $\begin{aligned} K^2 &=(14+z)z\cdot8\cdot6\\ &=48z(14+z). \end{aligned}$ Equating the squares yields $16(14+z)=48z,$ so $z=7.$ The sides are $14,$ $13,$ and $15,$ and the shortest is $13.$

Thus, the correct answer is B.

1953 AMC 12 Problema 50

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 50 en otros años