Question

En el triángulo $ABC,$ $CA=CB.$ Sobre $CB$ se construye el cuadrado $BCDE$ hacia el exterior del triángulo. Si $x$ es el número de grados del ángulo $DAB,$ entonces

In triangle $ABC,$ $CA=CB.$ On $CB$ square $BCDE$ is constructed away from the triangle. If $x$ is the number of degrees in angle $DAB,$ then

$x$ depende del triángulo $ABC$

$x$ depends upon triangle $ABC$

$x$ es independiente del triángulo

$x$ is independent of the triangle

$x$ puede ser igual al ángulo $CAD$

$x$ may equal angle $CAD$

$x$ nunca puede ser igual al ángulo $CAB$

$x$ can never equal angle $CAB$

$x$ es mayor que $45^\circ$ pero menor que $90^\circ$

$x$ is greater than $45^\circ$ but less than $90^\circ$

Respuesta: B

Conceptos:triángulo isósceles square construction geometría analítica

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Escala $CA=CB$ a $1,$ y coloca $C=(0,0),$ $B=(1,0),$ $A=(\cos\theta,\sin\theta)$

Scale $CA=CB$ to $1,$ and place $C=(0,0),$ $B=(1,0),$ $A=(\cos\theta,\sin\theta)$

Pista grande:

Como el cuadrado está fuera del triángulo, toma $D=(0,-1)$ y compara los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AD}$

Because the square is outside the triangle, take $D=(0,-1)$ and compare vectors $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AD}$

Solución:

Escalamos los lados iguales a $1$ y colocamos $\begin{aligned} C&=(0,0),\qquad B=(1,0),\\ A&=(\cos\theta,\sin\theta). \end{aligned}$ Como el cuadrado $BCDE$ se construye hacia el exterior del triángulo, $D=(0,-1).$ Sea $c=\cos\theta$ y $s=\sin\theta.$ Entonces $\begin{aligned} \overrightarrow{AB}&=(1-c,-s),\\ \overrightarrow{AD}&=(-c,-1-s). \end{aligned}$ Su producto punto es $1+s-c,$ mientras que el valor absoluto de su producto cruzado bidimensional también es $1+s-c.$ Por lo tanto, $\tan\angle DAB=1,$ de modo que $\angle DAB=45^\circ,$ independientemente de $\theta$ y, por tanto, de la forma del triángulo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Scale the equal sides to $1$ and place $\begin{aligned} C&=(0,0),\qquad B=(1,0),\\ A&=(\cos\theta,\sin\theta). \end{aligned}$ Since square $BCDE$ is constructed away from the triangle, $D=(0,-1).$ Put $c=\cos\theta$ and $s=\sin\theta.$ Then $\begin{aligned} \overrightarrow{AB}&=(1-c,-s),\\ \overrightarrow{AD}&=(-c,-1-s). \end{aligned}$ Their dot product is $1+s-c,$ while the absolute value of their two-dimensional cross product is also $1+s-c.$ Therefore $\tan\angle DAB=1,$ so $\angle DAB=45^\circ,$ independent of $\theta$ and hence independent of the triangle’s shape.

Thus, the correct answer is B.

1956 AMC 12 Problema 50

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 50 en otros años