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1957 AMC 12 Problema 50

Intenta el Problema 50 del 1957 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1957 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

50.

En el círculo O,O, GG es un punto móvil sobre el diámetro AB‾.\overline{AB}. Se traza AA′‾\overline{AA'} perpendicular a AB‾\overline{AB} e igual a AG.AG. Se traza BB′‾\overline{BB'} perpendicular a AB‾,\overline{AB}, en el mismo lado del diámetro AB‾\overline{AB} que AA′‾,\overline{AA'}, e igual a BG.BG. Sea O′O' el punto medio de A′B′‾.\overline{A'B'}. Entonces, mientras GG se mueve de AA a B,B, el punto O′:O':

In circle O,O, GG is a moving point on diameter AB‾.\overline{AB}. AA′‾\overline{AA'} is drawn perpendicular to AB‾\overline{AB} and equal to AG.AG. BB′‾\overline{BB'} is drawn perpendicular to AB‾,\overline{AB}, on the same side of diameter AB‾\overline{AB} as AA′‾,\overline{AA'}, and equal to BG.BG. Let O′O' be the midpoint of A′B′‾.\overline{A'B'}. Then, as GG moves from AA to B,B, point O′:O':

se mueve sobre una recta paralela a ABAB

moves on a straight line parallel to ABAB

permanece fijo

remains stationary

se mueve sobre una recta perpendicular a ABAB

moves on a straight line perpendicular to ABAB

se mueve sobre un círculo pequeño que corta al círculo dado

moves in a small circle intersecting the given circle

sigue una trayectoria que no es ni un círculo ni una recta

follows a path which is neither a circle nor a straight line

Respuesta: B
Conceptos:geometría analíticapunto medioinvariante
Nivel de dificultad: 1790
Pista pequeña:

Coloca A=(0,0),A=(0,0), B=(L,0),B=(L,0), y G=(g,0)G=(g,0)

Place A=(0,0),A=(0,0), B=(L,0),B=(L,0), and G=(g,0)G=(g,0)

Pista grande:

Escribe las coordenadas de A′A' y B′B', y luego toma su promedio

Write coordinates for A′A' and B′B', then average them

Solución:

Sean A=(0,0),A=(0,0), B=(L,0),B=(L,0), y G=(g,0).G=(g,0). Las construcciones perpendiculares en el mismo lado dan A′=(0,g),B′=(L,L−g). A'=(0,g),\qquad B'=(L,L-g). Su punto medio es O′=(L2,g+L−g2)=(L2,L2), \begin{aligned} O' &=\left(\frac L2,\frac{g+L-g}{2}\right)\\ &=\left(\frac L2,\frac L2\right), \end{aligned} independiente de g.g. Así, O′O' permanece fijo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let A=(0,0),A=(0,0), B=(L,0),B=(L,0), and G=(g,0).G=(g,0). The perpendicular constructions on the same side give A′=(0,g),B′=(L,L−g). A'=(0,g),\qquad B'=(L,L-g). Their midpoint is O′=(L2,g+L−g2)=(L2,L2), \begin{aligned} O' &=\left(\frac L2,\frac{g+L-g}{2}\right)\\ &=\left(\frac L2,\frac L2\right), \end{aligned} independent of g.g. Thus O′O' remains stationary.

Therefore, the correct answer is B.

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