Soluciones del 1957 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

El número de rectas distintas que representan las alturas, medianas y bisectrices interiores de un triángulo isósceles, pero no equilátero, es:

The number of distinct lines representing the altitudes, medians, and interior angle bisectors of a triangle that is isosceles, but not equilateral, is:

$9$

$7$

$6$

$5$

$3$

Conceptos:triángulo isósceles mediana (geometría)altura bisectriz

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Separa la recta trazada desde el vértice principal de las rectas trazadas desde los dos vértices de la base

Separate the line from the apex from the lines drawn from the two base vertices

Pista grande:

En el vértice principal, la altura, la mediana y la bisectriz coinciden; en cada vértice de la base no coinciden

At the apex, the altitude, median, and angle bisector coincide; at either base vertex they do not

Solución:

La altura, la mediana y la bisectriz trazadas desde el vértice principal son la misma recta. En cada uno de los dos vértices de la base, esas tres rectas son distintas. Por tanto, hay $1+3+3=7$ rectas distintas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The altitude, median, and angle bisector from the apex are the same line. At each of the two base vertices, those three lines are distinct. Thus there are $1+3+3=7$ distinct lines.

Therefore, the correct answer is B.

2.

En la ecuación $2x^2-hx+2k=0,$ la suma de las raíces es $4$ y su producto es $-3.$ Entonces los valores de $h$ y $k$ , respectivamente, son:

In the equation $2x^2-hx+2k=0,$ the sum of the roots is $4$ and the product of the roots is $-3.$ Then $h$ and $k$ have the values, respectively:

$8$ y $-6$

$8$ and $-6$

$4$ y $-3$

$4$ and $-3$

$-3$ y $4$

$-3$ and $4$

$-3$ y $8$

$-3$ and $8$

$8$ y $-3$

$8$ and $-3$

Conceptos:cuadrática Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1000

Pista pequeña:

Aplica las fórmulas de Vieta sin resolver primero la ecuación cuadrática

Apply Vieta’s formulas without first solving the quadratic

Pista grande:

La suma es $\frac{h}{2}$ y el producto es $k$

The sum is $\frac{h}{2}$ and the product is $k$

Solución:

Por las fórmulas de Vieta, la suma y el producto de las raíces son $\begin{aligned} \frac h2&=4,\\ \frac{2k}{2}&=k=-3. \end{aligned}$ Por consiguiente, $h=8$ y $k=-3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

By Vieta’s formulas, the sum and product of the roots are $\begin{aligned} \frac h2&=4,\\ \frac{2k}{2}&=k=-3. \end{aligned}$ Hence $h=8$ and $k=-3.$

Therefore, the correct answer is E.

3.

La forma más simple de $1-\dfrac{1}{1+\dfrac{a}{1-a}}$ es:

The simplest form of $1-\dfrac{1}{1+\dfrac{a}{1-a}}$ is:

$a$ si $a\ne0$

$a$ if $a\ne0$

$1$

$a$ si $a\ne-1$

$a$ if $a\ne-1$

$1-a$ sin restricción sobre $a$

$1-a$ with no restriction on $a$

$a$ si $a\ne1$

$a$ if $a\ne1$

Conceptos:ecuación racional manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Simplifica $1+\frac{a}{1-a}$ antes de tomar su recíproco

Combine $1+\frac{a}{1-a}$ before taking its reciprocal

Pista grande:

Conserva todas las restricciones impuestas por los denominadores originales

Retain every restriction imposed by the original denominator

Solución:

La expresión original exige $a\ne1.$ Para tal $a,$ $\begin{aligned} 1+\frac{a}{1-a} &=\frac{1-a+a}{1-a}\\ &=\frac1{1-a}. \end{aligned}$ Por lo tanto, la expresión es $1-(1-a)=a.$ Se mantiene la restricción $a\ne1$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The original expression requires $a\ne1.$ For such $a,$ $\begin{aligned} 1+\frac{a}{1-a} &=\frac{1-a+a}{1-a}\\ &=\frac1{1-a}. \end{aligned}$ Therefore the expression is $1-(1-a)=a.$ The restriction $a\ne1$ remains.

Thus, the correct answer is E.

4.

El primer paso para hallar el producto $(3x+2)(x-5)$ usando la propiedad distributiva en la forma $a(b+c)=ab+ac$ es:

The first step in finding the product $(3x+2)(x-5)$ by use of the distributive property in the form $a(b+c)=ab+ac$ is:

$3x^2-13x-10$

$3x(x-5)+2(x-5)$

$(3x+2)x+(3x+2)(-5)$

$3x^2-17x-10$

$3x^2+2x-15x-10$

Conceptos:propiedad distributiva manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 940

Pista pequeña:

Haz corresponder el segundo factor con $b+c$ en la forma indicada

Match the second factor with $b+c$ in the stated form

Pista grande:

Toma $a=3x+2,$ $b=x,$ y $c=-5$

Take $a=3x+2,$ $b=x,$ and $c=-5$

Solución:

Usando la propiedad exactamente en la forma indicada, tomamos $a=3x+2,$ $b=x,$ y $c=-5.$ Entonces $\begin{gathered} (3x+2)(x-5)\\ =(3x+2)x+(3x+2)(-5). \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Using the property in precisely the stated form, set $a=3x+2,$ $b=x,$ and $c=-5.$ Then $\begin{gathered} (3x+2)(x-5)\\ =(3x+2)x+(3x+2)(-5). \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

5.

Mediante las propiedades de los logaritmos, $\log\dfrac ab+\log\dfrac bc+\log\dfrac cd-\log\dfrac{ay}{dx}$ se puede reducir a:

Through the use of theorems on logarithms, $\log\dfrac ab+\log\dfrac bc+\log\dfrac cd-\log\dfrac{ay}{dx}$ can be reduced to:

$\log\dfrac yx$

$\log\dfrac xy$

$1$

$0$

$\log\dfrac{a^2y}{d^2x}$

Conceptos:logaritmo telescópica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Combina los tres primeros logaritmos multiplicando sus argumentos

Combine the first three logarithms by multiplying their arguments

Pista grande:

El producto $(\frac{a}{b})(\frac{b}{c})(\frac{c}{d})$ se simplifica a $\frac{a}{d}$

The product $(\frac{a}{b})(\frac{b}{c})(\frac{c}{d})$ telescopes to $\frac{a}{d}$

Solución:

Al combinar los logaritmos se obtiene $\begin{aligned} &\log\left(\frac ab\frac bc\frac cd\frac{dx}{ay}\right)\\ &\quad=\log\left(\frac ad\frac{dx}{ay}\right)\\ &\quad=\log\frac xy. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Combining the logarithms gives $\begin{aligned} &\log\left(\frac ab\frac bc\frac cd\frac{dx}{ay}\right)\\ &\quad=\log\left(\frac ad\frac{dx}{ay}\right)\\ &\quad=\log\frac xy. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

6.

Se construye una caja abierta a partir de una lámina rectangular de metal de $10$ por $14$ pulgadas, cortando de cada esquina un cuadrado de lado $x$ pulgadas. Las partes resultantes se doblan hacia arriba y se sueldan las uniones. El volumen de la caja resultante es:

An open box is constructed by starting with a rectangular sheet of metal $10$ in. by $14$ in. and cutting a square of side $x$ inches from each corner. The resulting projections are folded up and the seams welded. The volume of the resulting box is:

$140x-48x^2+4x^3$

$140x+48x^2+4x^3$

$140x+24x^2+x^3$

$140x-24x^2+x^3$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:volumen prisma rectangular polinomio

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Después de doblar, la altura es $x$ y cada dimensión de la base disminuye en $2x$

After folding, the height is $x$ and each base dimension loses $2x$

Pista grande:

Escribe el volumen como $x(10-2x)(14-2x)$

Write the volume as $x(10-2x)(14-2x)$

Solución:

La caja tiene altura $x$ y dimensiones de la base $10-2x$ y $14-2x.$ Por tanto, $\begin{aligned} V&=x(10-2x)(14-2x)\\ &=140x-48x^2+4x^3. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The box has height $x$ and base dimensions $10-2x$ and $14-2x.$ Hence $\begin{aligned} V&=x(10-2x)(14-2x)\\ &=140x-48x^2+4x^3. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is A.

7.

El área de un círculo inscrito en un triángulo equilátero es $48\pi.$ El perímetro del triángulo es:

The area of a circle inscribed in an equilateral triangle is $48\pi.$ The perimeter of this triangle is:

$72\sqrt3$

$48\sqrt3$

$36$

$24$

$72$

Conceptos:triángulo equilátero circunferencia inscrita, incentro e inradio área del círculo

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Usa $\pi r^2=48\pi$ para hallar el inradio

Use $\pi r^2=48\pi$ to find the inradius

Pista grande:

Para un triángulo equilátero de lado $s,$ el inradio es $\frac{s\sqrt3}{6}$

For an equilateral triangle of side $s,$ the inradius is $\frac{s\sqrt3}{6}$

Solución:

El inradio satisface $r^2=48,$ por lo que $r=4\sqrt3.$ Si $s$ es el lado, entonces $r=\frac{s\sqrt3}{6},$ de donde $s=24.$ El perímetro es $3s=72.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The inradius satisfies $r^2=48,$ so $r=4\sqrt3.$ If $s$ is the side length, then $r=\frac{s\sqrt3}{6},$ which gives $s=24.$ The perimeter is $3s=72.$

Thus, the correct answer is E.

8.

Los números $x,$ $y,$ $z$ son proporcionales a $2,$ $3,$ $5.$ La suma de $x,$ $y,$ y $z$ es $100.$ El número $y$ está dado por la ecuación $y=ax-10.$ Entonces $a$ es:

The numbers $x,$ $y,$ $z$ are proportional to $2,$ $3,$ $5.$ The sum of $x,$ $y,$ and $z$ is $100.$ The number $y$ is given by the equation $y=ax-10.$ Then $a$ is:

$2$

$\dfrac23$

$3$

$\dfrac52$

$4$

Conceptos:razón y proporción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Escribe $x,y,z$ como $2t,3t,5t$

Write $x,y,z$ as $2t,3t,5t$

Pista grande:

Su suma determina $t$ ; después sustituye $x$ y $y$ en la ecuación dada

Their sum determines $t$ , after which substitute $x$ and $y$ into the given equation

Solución:

Sea $x=2t,$ $y=3t,$ y $z=5t.$ Como $10t=100,$ obtenemos $t=10,$ de modo que $x=20$ y $y=30.$ Así, $30=20a-10,$ y $a=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $x=2t,$ $y=3t,$ and $z=5t.$ Since $10t=100,$ we get $t=10,$ so $x=20$ and $y=30.$ Thus $30=20a-10,$ and $a=2.$

Therefore, the correct answer is A.

9.

El valor de $x-y^{x-y}$ cuando $x=2$ y $y=-2$ es:

The value of $x-y^{x-y}$ when $x=2$ and $y=-2$ is:

$-18$

$-14$

$14$

$18$

$256$

Conceptos:exponente orden de las operaciones sustitución

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Evalúa el exponente $x-y$ antes de calcular la potencia

Evaluate the exponent $x-y$ before the power

Pista grande:

El término elevado a una potencia es $(-2)^4$ , no $-2^4$

The powered term is $(-2)^4$ , not $-2^4$

Solución:

Aquí $x-y=2-(-2)=4.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} x-y^{x-y} &=2-(-2)^4\\ &=2-16=-14. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Here $x-y=2-(-2)=4.$ Therefore $\begin{aligned} x-y^{x-y} &=2-(-2)^4\\ &=2-16=-14. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

10.

La gráfica de $y=2x^2+4x+3$ tiene:

The graph of $y=2x^2+4x+3$ has its:

su punto más bajo en $(-1,9)$

lowest point at $(-1,9)$

su punto más bajo en $(1,1)$

lowest point at $(1,1)$

su punto más bajo en $(-1,1)$

lowest point at $(-1,1)$

su punto más alto en $(-1,9)$

highest point at $(-1,9)$

su punto más alto en $(-1,1)$

highest point at $(-1,1)$

Conceptos:cuadrática parábola completar el cuadrado

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Completa el cuadrado en $2x^2+4x+3$

Complete the square in $2x^2+4x+3$

Pista grande:

Como el coeficiente del cuadrado es positivo, el vértice es un mínimo

Because the coefficient of the square is positive, the vertex is a minimum

Solución:

Al completar el cuadrado, $y=2(x+1)^2+1.$ El término cuadrado es no negativo, por lo que la gráfica tiene su punto más bajo en $(-1,1).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Completing the square, $y=2(x+1)^2+1.$ The squared term is nonnegative, so the graph has its lowest point at $(-1,1).$

Thus, the correct answer is C.

11.

El ángulo formado por las manecillas de un reloj a las $2:15$ es:

The angle formed by the hands of a clock at $2:15$ is:

$30^\circ$

$27\frac12^\circ$

$157\frac12^\circ$

$172\frac12^\circ$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:reloj persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

A las $2:15,$ el minutero está a $90^\circ$ de las doce

At $2:15,$ the minute hand is at $90^\circ$ from twelve

Pista grande:

La manecilla horaria ha avanzado un cuarto del intervalo de $30^\circ$ entre las dos y las tres

The hour hand has advanced one quarter of the $30^\circ$ interval from two to three

Solución:

El minutero está a $90^\circ$ en sentido horario desde las doce. La manecilla horaria está a $2(30^\circ)+\frac14(30^\circ)=67.5^\circ$ de las doce. El ángulo menor entre ambas es $90^\circ-67.5^\circ=22.5^\circ,$ que no aparece en las opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The minute hand is $90^\circ$ clockwise from twelve. The hour hand is $2(30^\circ)+\frac14(30^\circ)=67.5^\circ$ from twelve. Their smaller angle is $90^\circ-67.5^\circ=22.5^\circ,$ which is not listed.

Therefore, the correct answer is E.

12.

Al comparar los números $10^{-49}$ y $2\cdot10^{-50},$ podemos decir:

Comparing the numbers $10^{-49}$ and $2\cdot10^{-50},$ we may say:

el primero excede al segundo en $8\cdot10^{-1}$

the first exceeds the second by $8\cdot10^{-1}$

el primero excede al segundo en $2\cdot10^{-1}$

the first exceeds the second by $2\cdot10^{-1}$

el primero excede al segundo en $8\cdot10^{-50}$

the first exceeds the second by $8\cdot10^{-50}$

el segundo es cinco veces el primero

the second is five times the first

el primero excede al segundo en $5$

the first exceeds the second by $5$

Conceptos:exponente decimal operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Expresa ambos números con la misma potencia de diez

Express both numbers with the same power of ten

Pista grande:

Reescribe $10^{-49}$ como $10\cdot10^{-50}$

Rewrite $10^{-49}$ as $10\cdot10^{-50}$

Solución:

Usando una potencia de diez común, $\begin{gathered} 10^{-49}-2\cdot10^{-50}\\ =(10-2)10^{-50}\\ =8\cdot10^{-50}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Using a common power of ten, $\begin{gathered} 10^{-49}-2\cdot10^{-50}\\ =(10-2)10^{-50}\\ =8\cdot10^{-50}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

13.

Un número racional entre $\sqrt2$ y $\sqrt3$ es:

A rational number between $\sqrt2$ and $\sqrt3$ is:

$\dfrac{\sqrt2+\sqrt3}{2}$

$\dfrac{\sqrt2\cdot\sqrt3}{2}$

$1.5$

$1.8$

$1.4$

Conceptos:radical desigualdad estimación

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Compara las opciones decimales con $\sqrt2\approx1.414$ y $\sqrt3\approx1.732$

Compare the decimal choices with $\sqrt2\approx1.414$ and $\sqrt3\approx1.732$

Pista grande:

Las expresiones con radicales de las dos primeras opciones son irracionales

The radical expressions in the first two choices are irrational

Solución:

Como $\begin{gathered} \sqrt2\approx1.414<1.5,\\ 1.5<1.732\approx\sqrt3, \end{gathered}$ el número racional $1.5$ se encuentra entre los dos radicales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $\begin{gathered} \sqrt2\approx1.414<1.5,\\ 1.5<1.732\approx\sqrt3, \end{gathered}$ the rational number $1.5$ lies between the two radicals.

Therefore, the correct answer is C.

14.

Si $y=\sqrt{x^2-2x+1}$ ${}+\sqrt{x^2+2x+1},$ entonces $y$ es:

If $y=\sqrt{x^2-2x+1}$ ${}+\sqrt{x^2+2x+1},$ then $y$ is:

$2x$

$2(x+1)$

$0$

$|x-1|+|x+1|$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:radical cuadrado perfecto valor absoluto

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Factoriza cada radicando como un cuadrado perfecto

Factor each radicand as a perfect square

Pista grande:

Para $u$ real, $\sqrt{u^2}=|u|$

For real $u,$ $\sqrt{u^2}=|u|$

Solución:

Los dos radicandos son $(x-1)^2$ y $(x+1)^2.$ Por tanto, $\begin{aligned} y&=\sqrt{(x-1)^2}\\ &\quad+\sqrt{(x+1)^2}\\ &=|x-1|+|x+1|. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The two radicands are $(x-1)^2$ and $(x+1)^2.$ Hence $\begin{aligned} y&=\sqrt{(x-1)^2}\\ &\quad+\sqrt{(x+1)^2}\\ &=|x-1|+|x+1|. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

15.

La tabla siguiente muestra la distancia $s$ , en pies, que recorre una pelota al rodar por un plano inclinado durante $t$ segundos.

$t$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$s$	$0$	$10$	$40$	$90$	$160$	$250$

La distancia $s$ para $t=2.5$ es:

The table below shows the distance $s$ in feet a ball rolls down an inclined plane in $t$ seconds.

$t$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$s$	$0$	$10$	$40$	$90$	$160$	$250$

The distance $s$ for $t=2.5$ is:

$45$

$62.5$

$70$

$75$

$82.5$

Conceptos:interpretación de datos y gráficas reconocimiento de patrones cuadrática

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Compara cada valor de $s$ de la tabla con el cuadrado de su valor de $t$

Compare each listed $s$ -value with the square of its $t$ -value

Pista grande:

La tabla sigue la regla $s=10t^2$

The table follows $s=10t^2$

Solución:

Los valores siguen la regla $s=10t^2.$ Así, para $t=2.5,$ $s=10(2.5)^2=10(6.25)=62.5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The entries follow $s=10t^2.$ Thus, at $t=2.5,$ $s=10(2.5)^2=10(6.25)=62.5.$

Therefore, the correct answer is B.

16.

Los peces dorados se venden a $15$ centavos cada uno. La gráfica en coordenadas rectangulares que muestra el costo de $1$ a $12$ peces es:

Goldfish are sold at $15$ cents each. The rectangular coordinate graph showing the cost of $1$ to $12$ goldfish is:

un segmento de recta

a straight line segment

un conjunto de segmentos horizontales paralelos

a set of horizontal parallel line segments

un conjunto de segmentos verticales paralelos

a set of vertical parallel line segments

un conjunto finito de puntos distintos

a finite set of distinct points

una recta

a straight line

Conceptos:interpretación de datos y gráficas función conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Decide si el número de peces varía continuamente o solo toma valores enteros

Decide whether the number of fish varies continuously or only through whole numbers

Pista grande:

Hay un punto de costo para cada cantidad entera desde $1$ hasta $12$

There is one cost point for each integer count from $1$ through $12$

Solución:

La regla $c=15n$ es lineal, pero el número $n$ de peces solo puede ser uno de los doce enteros $1,2,\ldots,12.$ Por tanto, la gráfica consta de doce puntos distintos, no de una recta ni de un segmento completo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The rule $c=15n$ is linear, but the number $n$ of goldfish can only be one of the twelve integers $1,2,\ldots,12.$ The graph therefore consists of twelve distinct points, not an entire line or segment.

Thus, the correct answer is D.

17.

Se construye un cubo soldando correctamente en sus vértices doce trozos de alambre de $3$ pulgadas. Si una mosca se posa en uno de los vértices y luego camina por las aristas, la mayor distancia que podría recorrer antes de llegar por segunda vez a algún vértice, sin volver a recorrer ningún tramo, es:

A cube is made by soldering twelve $3$ -inch lengths of wire properly at the vertices of the cube. If a fly alights at one of the vertices and then walks along the edges, the greatest distance it could travel before coming to any vertex a second time, without retracing any distance, is:

$24$ pulgadas

$24$ in.

$12$ pulgadas

$12$ in.

$30$ pulgadas

$30$ in.

$18$ pulgadas

$18$ in.

$36$ pulgadas

$36$ in.

Conceptos:geometría del cubo teoría de grafos argumento extremal

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

Un camino que no repite ningún vértice puede visitar como máximo los ocho vértices del cubo

A path that never returns to a vertex can visit at most all eight cube vertices

Pista grande:

Construye un camino que pase por los ocho vértices; usa siete aristas antes de que el siguiente paso regrese al vértice inicial

Exhibit a path through all eight vertices, which uses seven edges before the next step returns to the starting vertex

Solución:

El cubo tiene ocho vértices. Un camino puede visitar los ocho una vez usando siete aristas y después recorrer la arista desde el último vértice hasta el inicial; ese regreso es el primer vértice repetido. Por tanto, el recorrido máximo permitido usa ocho aristas. Su longitud es $8\cdot3=24$ pulgadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The cube has eight vertices. A path can visit all eight once, using seven edges, and then traverse the edge from its last vertex back to its starting vertex; the return is the first repeated vertex. Thus the greatest permitted walk uses eight edges. Its length is $8\cdot3=24$ inches.

Therefore, the correct answer is A.

18.

El círculo $O$ tiene los diámetros $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ , perpendiculares entre sí. $\overline{AM}$ es una cuerda cualquiera que corta a $\overline{CD}$ en $P.$ Entonces $AP\cdot AM$ es igual a:

Circle $O$ has diameters $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ perpendicular to each other. $\overline{AM}$ is any chord intersecting $\overline{CD}$ at $P.$ Then $AP\cdot AM$ is equal to:

$AO\cdot OB$

$AO\cdot AB$

$CP\cdot CD$

$CP\cdot PD$

$CO\cdot OP$

Conceptos:círculo cuerda semejanza

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Como $AB$ es un diámetro, el ángulo $AMB$ es recto

Because $AB$ is a diameter, angle $AMB$ is a right angle

Pista grande:

Compara los triángulos rectángulos $APO$ y $ABM$

Compare right triangles $APO$ and $ABM$

Solución:

Los ángulos $APO$ y $ABM$ son rectos, y los dos triángulos comparten el ángulo $A.$ Por lo tanto, los triángulos $APO$ y $ABM$ son semejantes. Los lados correspondientes dan $\frac{AP}{AB}=\frac{AO}{AM}.$ De aquí, $AP\cdot AM=AO\cdot AB.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Angles $APO$ and $ABM$ are both right angles, and the two triangles share angle $A.$ Therefore triangles $APO$ and $ABM$ are similar. Corresponding sides give $\frac{AP}{AB}=\frac{AO}{AM}.$ Hence $AP\cdot AM=AO\cdot AB.$

Thus, the correct answer is B.

19.

La base del sistema decimal es diez, lo que significa, por ejemplo, que $123=1\cdot10^2+2\cdot10+3.$ En el sistema binario, cuya base es dos, los primeros cinco enteros positivos son $1,$ $10,$ $11,$ $100,$ $101.$ Entonces el numeral $10011$ del sistema binario se escribe en el sistema decimal como:

The base of the decimal number system is ten, meaning, for example, that $123=1\cdot10^2+2\cdot10+3.$ In the binary system, which has base two, the first five positive integers are $1,$ $10,$ $11,$ $100,$ $101.$ The numeral $10011$ in the binary system would then be written in the decimal system as:

$19$

$40$

$10011$

$11$

$7$

Conceptos:base numérica valor posicional potencia de 2

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Asigna las potencias $2^4,2^3,\ldots,2^0$ a las cinco posiciones binarias

Assign powers $2^4,2^3,\ldots,2^0$ to the five binary places

Pista grande:

Solo los dígitos primero, cuarto y quinto son distintos de cero

Only the first, fourth, and fifth digits are nonzero

Solución:

Al desarrollar según el valor posicional binario, $\begin{aligned} (10011)_2 &=1\cdot2^4+1\cdot2^1+1\cdot2^0\\ &=16+2+1=19. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Expanding by binary place value, $\begin{aligned} (10011)_2 &=1\cdot2^4+1\cdot2^1+1\cdot2^0\\ &=16+2+1=19. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

20.

Un hombre hace un viaje en automóvil a una velocidad media de $50$ millas por hora. Regresa por la misma ruta a una velocidad media de $45$ millas por hora. Su velocidad media durante todo el viaje es:

A man makes a trip by automobile at an average speed of $50$ mph. He returns over the same route at an average speed of $45$ mph. His average speed for the entire trip is:

$47\frac7{19}$ millas por hora

$47\frac7{19}$ mph

$47\frac14$ millas por hora

$47\frac14$ mph

$47\frac12$ millas por hora

$47\frac12$ mph

$47\frac{11}{19}$ millas por hora

$47\frac{11}{19}$ mph

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo media armónica

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Usa una distancia de ida conveniente y divide la distancia total entre el tiempo total

Use a convenient one-way distance and divide total distance by total time

Pista grande:

Para distancias iguales, la media aritmética de las dos velocidades no es la velocidad media

For equal distances the arithmetic mean of the two speeds is not the average speed

Solución:

Sea $d$ la distancia de cada tramo. La velocidad media, en millas por hora, es $\begin{aligned} \frac{2d}{\frac{d}{50}+\frac{d}{45}} &=\frac{2}{\frac{1}{50}+\frac{1}{45}}\\ &=\frac{900}{19}\\ &=47\frac7{19}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let each leg have distance $d.$ The average speed, in miles per hour, is $\begin{aligned} \frac{2d}{\frac{d}{50}+\frac{d}{45}} &=\frac{2}{\frac{1}{50}+\frac{1}{45}}\\ &=\frac{900}{19}\\ &=47\frac7{19}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is A.

21.

Partimos del teorema «Si dos ángulos de un triángulo son iguales, el triángulo es isósceles» y de las cuatro afirmaciones siguientes:

$1.$ Si dos ángulos de un triángulo no son iguales, el triángulo no es isósceles.

$2.$ Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.

$3.$ Si un triángulo no es isósceles, entonces dos de sus ángulos no son iguales.

$4.$ Una condición necesaria para que dos ángulos de un triángulo sean iguales es que el triángulo sea isósceles.

¿Qué combinación contiene solo las afirmaciones lógicamente equivalentes al teorema dado?

Start with the theorem “If two angles of a triangle are equal, the triangle is isosceles,” and the following four statements:

$1.$ If two angles of a triangle are not equal, the triangle is not isosceles.

$2.$ The base angles of an isosceles triangle are equal.

$3.$ If a triangle is not isosceles, then two of its angles are not equal.

$4.$ A necessary condition that two angles of a triangle be equal is that the triangle be isosceles.

Which combination of statements contains only those which are logically equivalent to the given theorem?

$1,$ $2,$ $3,$ $4$

$1,$ $2,$ $3$

$2,$ $3,$ $4$

$1,$ $2$

$3,$ $4$

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Escribe el teorema como $P\Rightarrow Q$ y compara cada afirmación con su inversa, recíproca o contrapositiva

Write the theorem as $P\Rightarrow Q$ and compare each statement with its inverse, converse, or contrapositive

Pista grande:

Una afirmación siempre equivale a su contrapositiva, pero en general no a su recíproca ni a su inversa

A statement is always equivalent to its contrapositive, but not generally to its converse or inverse

Solución:

Sea $P$ la afirmación de que dos ángulos son iguales y $Q$ la de que el triángulo es isósceles. La afirmación $3$ es la contrapositiva $\neg Q\Rightarrow\neg P,$ por lo que equivale a $P\Rightarrow Q.$ La afirmación $4$ dice que $Q$ es necesaria para $P,$ que es otra manera de expresar $P\Rightarrow Q.$ Las afirmaciones $1$ y $2$ son la inversa y la recíproca.

Así, solo las afirmaciones $3$ y $4$ son equivalentes, por lo que la respuesta correcta es E.

Let $P$ mean that two angles are equal and $Q$ that the triangle is isosceles. Statement $3$ is the contrapositive $\neg Q\Rightarrow\neg P,$ so it is equivalent to $P\Rightarrow Q.$ Statement $4$ says that $Q$ is necessary for $P,$ which is another wording of $P\Rightarrow Q.$ Statements $1$ and $2$ are the inverse and converse.

Thus only statements $3$ and $4$ are equivalent, so the correct answer is E.

22.

Si $\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}+1=0,$ entonces $4x$ es igual a:

If $\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}+1=0,$ then $4x$ equals:

$5$

$4\sqrt{-1}$

$0$

$1\frac14$

ningún valor real

no real value

Conceptos:radical ecuación racional

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Reordena para obtener $\sqrt{x+1}=\sqrt{x-1}+1$

Rearrange to $\sqrt{x+1}=\sqrt{x-1}+1$

Pista grande:

Después de elevar al cuadrado una vez, aísla $\sqrt{x-1}$

After squaring once, isolate $\sqrt{x-1}$

Solución:

Reordenamos y elevamos al cuadrado: $\begin{aligned} \sqrt{x+1}&=\sqrt{x-1}+1,\\ x+1&=x-1+2\sqrt{x-1}+1. \end{aligned}$ Así, $2\sqrt{x-1}=1,$ de modo que $x-1=\frac{1}{4}$ y $x=\frac{5}{4}.$ Este valor satisface la ecuación original. Por lo tanto, $4x=5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Rearrange and square: $\begin{aligned} \sqrt{x+1}&=\sqrt{x-1}+1,\\ x+1&=x-1+2\sqrt{x-1}+1. \end{aligned}$ Thus $2\sqrt{x-1}=1,$ so $x-1=\frac{1}{4}$ and $x=\frac{5}{4}.$ This value satisfies the original equation. Therefore $4x=5.$

Thus, the correct answer is A.

23.

La gráfica de $x^2+y=10$ y la de $x+y=10$ se cortan en dos puntos. La distancia entre esos puntos es:

The graph of $x^2+y=10$ and the graph of $x+y=10$ meet in two points. The distance between these two points is:

menor que $1$

less than $1$

$1$

$\sqrt2$

$2$

mayor que $2$

more than $2$

Conceptos:geometría analítica fórmula de la distancia sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Iguala las dos expresiones de $y$

Set the two expressions for $y$ equal

Pista grande:

La ecuación resultante es $x^2=x$

The resulting equation is $x^2=x$

Solución:

En una intersección, $10-x^2=10-x,$ por lo que $x=0$ o $x=1.$ Los puntos son $(0,10)$ y $(1,9).$ Su distancia es $\sqrt{(1-0)^2+(9-10)^2}=\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

At an intersection, $10-x^2=10-x,$ so $x=0$ or $x=1.$ The points are $(0,10)$ and $(1,9).$ Their distance is $\sqrt{(1-0)^2+(9-10)^2}=\sqrt2.$

Therefore, the correct answer is C.

24.

Si del cuadrado de un número de dos cifras se resta el cuadrado del número formado al invertir las cifras, el resultado no siempre es divisible entre:

If the square of a number of two digits is decreased by the square of the number formed by reversing the digits, then the result is not always divisible by:

$9$

el producto de las cifras

the product of the digits

la suma de las cifras

the sum of the digits

la diferencia de las cifras

the difference of the digits

$11$

Conceptos:dígitos diferencia de cuadrados divisibilidad

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Representa el número como $10a+b$ y su inversión como $10b+a$

Represent the number as $10a+b$ and its reversal as $10b+a$

Pista grande:

Factoriza por completo la diferencia de sus cuadrados

Factor the difference of their squares completely

Solución:

Si las cifras son $a,b,$ entonces $\begin{aligned} &(10a+b)^2-(10b+a)^2\\ &\quad=[9(a-b)][11(a+b)]\\ &\quad=99(a-b)(a+b). \end{aligned}$ Esto siempre es divisible entre $9,$ $11,$ la suma de las cifras y su diferencia. No tiene por qué ser divisible entre el producto de las cifras; por ejemplo, $21^2-12^2=297$ no es divisible entre $2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the digits are $a,b,$ then $\begin{aligned} &(10a+b)^2-(10b+a)^2\\ &\quad=[9(a-b)][11(a+b)]\\ &\quad=99(a-b)(a+b). \end{aligned}$ This is always divisible by $9,$ $11,$ the digit sum, and the digit difference. It need not be divisible by the digit product; for example, $21^2-12^2=297$ is not divisible by $2.$

Thus, the correct answer is B.

25.

Los vértices del triángulo $PQR$ tienen coordenadas $P(0,a),$ $Q(b,0),$ $R(c,d),$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son positivos. El origen y el punto $R$ están en lados opuestos de $PQ.$ El área del triángulo $PQR$ se puede hallar mediante la expresión:

The vertices of triangle $PQR$ have coordinates as follows: $P(0,a),$ $Q(b,0),$ $R(c,d),$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive. The origin and point $R$ lie on opposite sides of $PQ.$ The area of triangle $PQR$ may be found from the expression:

$\dfrac{ab+ac+bc+cd}{2}$

$\dfrac{ac+bd-ab}{2}$

$\dfrac{ab-ac-bd}{2}$

$\dfrac{ac+bd+ab}{2}$

$\dfrac{ac+bd-ab-cd}{2}$

Conceptos:geometría analítica área del triángulo determinante

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Usa la fórmula del determinante para hallar el área de un triángulo a partir de sus coordenadas

Use the determinant formula for the area of a triangle from its coordinates

Pista grande:

La condición de estar en lados opuestos determina el signo dentro del valor absoluto

The opposite-side condition determines the sign inside the absolute value

Solución:

El área doble con signo es $\begin{vmatrix} 0&a&1\\ b&0&1\\ c&d&1 \end{vmatrix} =ab-ac-bd.$ La recta $PQ$ tiene ecuación $ax+by=ab.$ Como el origen da un valor menor que $ab$ y $R$ está en el lado opuesto, $ac+bd>ab.$ Por tanto, el área es $\frac{ac+bd-ab}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The signed doubled area is $\begin{vmatrix} 0&a&1\\ b&0&1\\ c&d&1 \end{vmatrix} =ab-ac-bd.$ The line $PQ$ has equation $ax+by=ab.$ Since the origin gives a value below $ab$ and $R$ is on the opposite side, $ac+bd>ab.$ Thus the area is $\frac{ac+bd-ab}{2}.$

Therefore, the correct answer is B.

26.

Desde un punto interior de un triángulo se trazan segmentos hasta los vértices. Una condición necesaria y suficiente para que los tres triángulos así formados tengan áreas iguales es que el punto sea:

From a point within a triangle, line segments are drawn to the vertices. A necessary and sufficient condition that the three triangles thus formed have equal areas is that the point be:

el centro del círculo inscrito

the center of the inscribed circle

el centro del círculo circunscrito

the center of the circumscribed circle

tal que los tres ángulos formados en el punto midan $120^\circ$

such that the three angles formed at the point each be $120^\circ$

la intersección de las alturas del triángulo

the intersection of the altitudes of the triangle

la intersección de las medianas del triángulo

the intersection of the medians of the triangle

Conceptos:baricentro área del triángulo mediana (geometría)

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Recuerda cómo dividen las medianas el área de un triángulo

Recall how the medians partition a triangle’s area

Pista grande:

La intersección de las medianas divide el triángulo en seis triángulos pequeños que se agrupan de dos en dos en tres regiones de igual área

The intersection of the medians divides the triangle into six small triangles paired into three equal-area regions

Solución:

Las tres medianas se cortan en el centroide y dividen el triángulo en seis triángulos pequeños de igual área. Cada uno de los tres triángulos que tienen al centroide y a un lado del triángulo original consta de dos de esos triángulos pequeños, por lo que sus áreas son iguales. Recíprocamente, áreas iguales producen coordenadas baricéntricas iguales, que determinan de manera única el centroide.

Así, el punto necesario y suficiente es la intersección de las medianas, y la respuesta correcta es E.

The three medians meet at the centroid and divide the triangle into six small triangles of equal area. Each of the three triangles having the centroid and one side of the original triangle consists of two of those small triangles, so their areas are equal. Conversely, equal areas give equal barycentric coordinates, which uniquely locate the centroid.

Thus, the necessary and sufficient point is the intersection of the medians, and the correct answer is E.

27.

La suma de los recíprocos de las raíces de la ecuación $x^2+px+q=0$ es:

The sum of the reciprocals of the roots of the equation $x^2+px+q=0$ is:

$-\dfrac pq$

$\dfrac qp$

$\dfrac pq$

$-\dfrac qp$

$pq$

Conceptos:Fórmulas de Vieta ecuación racional

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Llama $r$ y $s$ a las raíces, y combina $\frac{1}{r}+\frac{1}{s}$

Call the roots $r$ and $s$ , and combine $\frac{1}{r}+\frac{1}{s}$

Pista grande:

Usa $r+s=-p$ y $rs=q$

Use $r+s=-p$ and $rs=q$

Solución:

Si las raíces son $r,s,$ las fórmulas de Vieta dan $r+s=-p$ y $rs=q.$ Por lo tanto, $\frac1r+\frac1s=\frac{r+s}{rs}=-\frac pq.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the roots are $r,s,$ then Vieta’s formulas give $r+s=-p$ and $rs=q.$ Therefore $\frac1r+\frac1s=\frac{r+s}{rs}=-\frac pq.$

Thus, the correct answer is A.

28.

Si $a$ y $b$ son positivos y $a\ne1,$ $b\ne1,$ entonces el valor de $b^{\log_b a}$ :

If $a$ and $b$ are positive and $a\ne1,$ $b\ne1,$ then the value of $b^{\log_b a}$ is:

depende de $b$

dependent upon $b$

depende de $a$

dependent upon $a$

depende de $a$ y $b$

dependent upon $a$ and $b$

es cero

zero

es uno

one

Conceptos:logaritmo exponente

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Usa la relación inversa entre el logaritmo en base $b$ y la exponenciación de base $b$

Use the inverse relationship between a base- $b$ logarithm and exponentiation by $b$

Pista grande:

Si $u=\log_b a,$ entonces $b^u=a$

If $u=\log_b a,$ then $b^u=a$

Solución:

Por la definición de logaritmo, $b^{\log_b a}=a.$ Así, el valor depende de $a,$ no de la elección de la base admisible $b.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By the definition of a logarithm, $b^{\log_b a}=a.$ Thus the value depends on $a,$ not on the choice of admissible base $b.$

Therefore, the correct answer is B.

29.

La relación $x^2(x^2-1)\ge0$ es cierta solo para:

Aquí $x\ge a$ significa que $x$ puede tomar todos los valores mayores que $a$ y también el valor igual a $a,$ mientras que $x\le a$ tiene el significado correspondiente con «menor que».

The relation $x^2(x^2-1)\ge0$ is true only for:

Here $x\ge a$ means that $x$ can take on all values greater than $a$ and the value equal to $a,$ while $x\le a$ has a corresponding meaning with “less than.”

$x\ge1$

$-1\le x\le1$

$x=0,$ $x=1,$ $x=-1$

$x=0,$ $x\le-1,$ $x\ge1$

$x\ge0$

Conceptos:desigualdad factorización propiedad del producto nulo

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

El factor $x^2$ es positivo salvo cuando $x=0$

The factor $x^2$ is positive except at $x=0$

Pista grande:

Fuera de cero, el signo está determinado por $x^2-1$

Away from zero, the sign is controlled by $x^2-1$

Solución:

Cuando $x=0,$ el producto es cero. Para $x\ne0,$ el factor $x^2$ es positivo, por lo que el producto es no negativo exactamente cuando $x^2-1\ge0,$ es decir, cuando $x\le-1$ o $x\ge1.$ Al incluir el valor aislado $x=0$ , se obtiene el conjunto de la opción D.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

At $x=0,$ the product is zero. For $x\ne0,$ the factor $x^2$ is positive, so the product is nonnegative exactly when $x^2-1\ge0,$ or $x\le-1$ or $x\ge1.$ Including the isolated value $x=0$ gives the set in choice D.

Thus, the correct answer is D.

30.

La suma de los cuadrados de los primeros $n$ enteros positivos está dada por $\dfrac{n(n+c)(2n+k)}6,$ si $c$ y $k$ son, respectivamente:

The sum of the squares of the first $n$ positive integers is given by the expression $\dfrac{n(n+c)(2n+k)}6,$ if $c$ and $k$ are, respectively:

$1$ y $2$

$1$ and $2$

$3$ y $5$

$3$ and $5$

$2$ y $2$

$2$ and $2$

$1$ y $1$

$1$ and $1$

$2$ y $1$

$2$ and $1$

Conceptos:suma de los primeros n cuadrados polinomio

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Compara la expresión con la fórmula estándar de la suma de cuadrados

Compare the expression with the standard sum-of-squares formula

Pista grande:

Como alternativa, sustituye $n=1$ y $n=2$ para obtener dos ecuaciones

Alternatively, substitute $n=1$ and $n=2$ to obtain two equations

Solución:

La fórmula estándar es $\begin{aligned} 1^2+2^2+\cdots+n^2 &=\frac{n(n+1)}6\\ &\quad\cdot(2n+1). \end{aligned}$ Por lo tanto, $c=1$ y $k=1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The standard formula is $\begin{aligned} 1^2+2^2+\cdots+n^2 &=\frac{n(n+1)}6\\ &\quad\cdot(2n+1). \end{aligned}$ Therefore $c=1$ and $k=1.$

Thus, the correct answer is D.

31.

Se forma un octágono regular cortando triángulos rectángulos isósceles congruentes de las esquinas de un cuadrado. Si el cuadrado tiene lados de una unidad, la longitud de cada cateto de esos triángulos es:

A regular octagon is to be formed by cutting equal isosceles right triangles from the corners of a square. If the square has sides of one unit, the leg of each of the triangles has length:

$\dfrac{2+\sqrt2}{3}$

$\dfrac{2-\sqrt2}{2}$

$\dfrac{1+\sqrt2}{2}$

$\dfrac{1+\sqrt2}{3}$

$\dfrac{2-\sqrt2}{3}$

Conceptos:polígono regular triángulo rectángulo especial radical

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Si cada cateto recortado mide $x,$ un lado horizontal no recortado del octágono mide $1-2x$

If each cut-off leg is $x,$ an uncut horizontal octagon side has length $1-2x$

Pista grande:

Un lado inclinado del octágono es la hipotenusa $x\sqrt2$ , y la regularidad obliga a que estas longitudes sean iguales

A slanted octagon side is the hypotenuse $x\sqrt2$ , and regularity makes these equal

Solución:

Sea $x$ un cateto de cada triángulo de las esquinas. Los lados horizontales y verticales del octágono miden $1-2x,$ mientras que los cuatro lados inclinados miden $x\sqrt2.$ Así, $1-2x=x\sqrt2,$ por lo que $x=\frac1{2+\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $x$ be a leg of each corner triangle. The horizontal and vertical octagon sides have length $1-2x,$ while the four slanted sides have length $x\sqrt2.$ Thus $1-2x=x\sqrt2,$ so $x=\frac1{2+\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.$

Therefore, the correct answer is B.

32.

El mayor de los siguientes enteros que divide a cada término de la sucesión $1^5-1,$ $2^5-2,$ $3^5-3,$ $\ldots$ $n^5-n,$ $\ldots$ es:

The largest of the following integers which divides each of the numbers of the sequence $1^5-1,$ $2^5-2,$ $3^5-3,$ $\ldots$ $n^5-n,$ $\ldots$ is:

$1$

$60$

$15$

$120$

$30$

Conceptos:divisibilidad aritmética modular Pequeño teorema de Fermat

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Demuestra que $n^5-n$ siempre es divisible entre $2,$ $3,$ y $5$

Show $n^5-n$ is always divisible by $2,$ $3,$ and $5$

Pista grande:

Usa factores consecutivos para $2$ y $3,$ y residuos módulo $5$ para el factor restante

Use consecutive factors for $2$ and $3,$ and residues modulo $5$ for the remaining factor

Solución:

Factorizamos $\begin{aligned} n^5-n &=n(n-1)(n+1)\\ &\quad\cdot(n^2+1). \end{aligned}$ Entre tres enteros consecutivos, uno es divisible entre $3$ y al menos uno es par, por lo que la expresión es divisible entre $6.$ Además, $n^5\equiv n\pmod5$ para todo entero $n,$ así que es divisible entre $5.$ Por consiguiente, cada término es divisible entre $30.$ Al tomar $n=2$ se obtiene $2^5-2=30,$ por lo que ningún entero mayor de la lista puede dividir a todos los términos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factor $\begin{aligned} n^5-n &=n(n-1)(n+1)\\ &\quad\cdot(n^2+1). \end{aligned}$ Among three consecutive integers, one is divisible by $3$ and at least one is even, so the expression is divisible by $6.$ Also $n^5\equiv n\pmod5$ for every integer $n,$ so it is divisible by $5.$ Hence every term is divisible by $30.$ Taking $n=2$ gives $2^5-2=30,$ so no larger listed integer can divide every term.

Thus, the correct answer is E.

33.

Si $9^{x+2}=240+9^x,$ entonces el valor de $x$ es:

If $9^{x+2}=240+9^x,$ then the value of $x$ is:

$0.1$

$0.2$

$0.3$

$0.4$

$0.5$

Conceptos:exponente manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Reescribe $9^{x+2}$ como $81\cdot9^x$

Rewrite $9^{x+2}$ as $81\cdot9^x$

Pista grande:

Después de reducir términos semejantes, expresa $9^x$ como una potencia de $3$

After collecting like terms, express $9^x$ as a power of $3$

Solución:

Al sacar $9^x$ como factor común, $81\cdot9^x-9^x=240,$ por lo que $80\cdot9^x=240$ y $9^x=3.$ Como $9^{\frac{1}{2}}=3,$ tenemos $x=\frac{1}{2}=0.5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factoring $9^x,$ $81\cdot9^x-9^x=240,$ so $80\cdot9^x=240$ and $9^x=3.$ Since $9^{\frac{1}{2}}=3,$ we have $x=\frac{1}{2}=0.5.$

Therefore, the correct answer is E.

34.

Los puntos que satisfacen el sistema $x+y=1,$ $x^2+y^2<25,$ donde el símbolo « $<$ » significa «menor que», forman el conjunto:

The points that satisfy the system $x+y=1,$ $x^2+y^2<25,$ where the symbol “ $<$ ” means “less than,” constitute the following set:

solo dos puntos

only two points

un arco de circunferencia

an arc of a circle

un segmento de recta que no incluye sus extremos

a straight line segment not including the end-points

un segmento de recta que incluye sus extremos

a straight line segment including the end-points

un solo punto

a single point

Conceptos:geometría analítica círculo desigualdad

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

Interpreta $x^2+y^2<25$ como el interior de un círculo

Interpret $x^2+y^2<25$ as the interior of a circle

Pista grande:

Interseca ese disco abierto con la recta $x+y=1$

Intersect that open disk with the line $x+y=1$

Solución:

La desigualdad describe el disco abierto dentro del círculo de radio $5$ centrado en el origen. La recta $x+y=1$ corta al círculo en dos puntos. La parte de la recta dentro del disco es el segmento entre esos puntos, pero la desigualdad estricta excluye los extremos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The inequality describes the open disk inside the circle of radius $5$ centered at the origin. The line $x+y=1$ crosses the circle in two points. Its portion inside the disk is the segment between those points, but the strict inequality excludes the endpoints.

Thus, the correct answer is C.

35.

El lado $\overline{AC}$ del triángulo rectángulo $ABC$ se divide en $8$ partes iguales. Desde los puntos de división se trazan siete segmentos paralelos a $\overline{BC}$ hasta $\overline{AB}$ . Si $BC=10,$ entonces la suma de las longitudes de los siete segmentos:

Side $\overline{AC}$ of right triangle $ABC$ is divided into $8$ equal parts. Seven line segments parallel to $\overline{BC}$ are drawn to $\overline{AB}$ from the points of division. If $BC=10,$ then the sum of the lengths of the seven line segments:

no se puede hallar con la información dada

cannot be found from the given information

es $33$

is $33$

es $34$

is $34$

es $35$

is $35$

es $45$

is $45$

Conceptos:semejanza sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Cada triángulo pequeño con vértice $A$ es semejante al triángulo $ABC$

Each small triangle with vertex $A$ is similar to triangle $ABC$

Pista grande:

Las siete longitudes paralelas son $\frac{10}{8},\frac{20}{8},\ldots,\frac{70}{8}$

The seven parallel lengths are $\frac{10}{8},\frac{20}{8},\ldots,\frac{70}{8}$

Solución:

Por semejanza, el segmento en el $k$ -ésimo punto de división mide $\frac{10k}{8}$ para $k=1,\ldots,7.$ Su suma es $\begin{aligned} \frac{10}{8}(1+2+\cdots+7) &=\frac{10}{8}\cdot28\\ &=35. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By similarity, the segment at the $k$ th division point has length $\frac{10k}{8}$ for $k=1,\ldots,7.$ Their sum is $\begin{aligned} \frac{10}{8}(1+2+\cdots+7) &=\frac{10}{8}\cdot28\\ &=35. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

36.

Si $x+y=1,$ entonces el mayor valor de $xy$ es:

If $x+y=1,$ then the largest value of $xy$ is:

$1$

$0.5$

un número irracional cercano a $0.4$

an irrational number about $0.4$

$0.25$

$0$

Conceptos:optimización completar el cuadrado cuadrática

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Sustituye $y=1-x$ en el producto

Substitute $y=1-x$ into the product

Pista grande:

Completa el cuadrado en $x(1-x)$

Complete the square in $x(1-x)$

Solución:

Tenemos $\begin{aligned} xy=x(1-x) &=\frac14\\ &\quad-\left(x-\frac12\right)^2. \end{aligned}$ El término cuadrado es no negativo, por lo que el mayor producto posible es $\frac{1}{4}=0.25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have $\begin{aligned} xy=x(1-x) &=\frac14\\ &\quad-\left(x-\frac12\right)^2. \end{aligned}$ The squared term is nonnegative, so the largest possible product is $\frac{1}{4}=0.25.$

Thus, the correct answer is D.

37.

En el triángulo rectángulo $ABC,$ $BC=5,$ $AC=12,$ y $AM=x;$ $MN\perp AC,$ $NP\perp BC;$ $N$ está sobre $\overline{AB}.$ Si $y=MN+NP,$ la mitad del perímetro del rectángulo $MCPN,$ entonces:

In right triangle $ABC,$ $BC=5,$ $AC=12,$ and $AM=x;$ $MN\perp AC,$ $NP\perp BC;$ $N$ is on $\overline{AB}.$ If $y=MN+NP,$ one-half the perimeter of rectangle $MCPN,$ then:

$y=\dfrac12(5+12)$

$y=\dfrac{5x}{12}+\dfrac{12}{5}$

$y=\dfrac{144-7x}{12}$

$y=12$

$y=\dfrac{5x}{12}+6$

Conceptos:semejanza rectángulo ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Los triángulos $AMN$ y $ACB$ son semejantes

Triangles $AMN$ and $ACB$ are similar

Pista grande:

Usa $\frac{MN}{x}=\frac{5}{12}$ y $NP=MC=12-x$

Use $\frac{MN}{x}=\frac{5}{12}$ and $NP=MC=12-x$

Solución:

Por semejanza, $MN=\frac5{12}AM=\frac{5x}{12}.$ Además, $NP=MC=AC-AM$ $=12-x.$ Por tanto, $\begin{aligned} y=MN+NP &=\frac{5x}{12}+12-x\\ &=\frac{144-7x}{12}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

By similarity, $MN=\frac5{12}AM=\frac{5x}{12}.$ Also $NP=MC=AC-AM$ $=12-x.$ Hence $\begin{aligned} y=MN+NP &=\frac{5x}{12}+12-x\\ &=\frac{144-7x}{12}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

38.

De un número de dos cifras $N$ restamos el número con las cifras invertidas y obtenemos un cubo perfecto positivo. Entonces:

From a two-digit number $N$ we subtract the number with the digits reversed and find that the result is a positive perfect cube. Then:

$N$ no puede terminar en $5$

$N$ cannot end in $5$

$N$ puede terminar en cualquier cifra excepto $5$

$N$ can end in any digit other than $5$

$N$ no existe

$N$ does not exist

hay exactamente $7$ valores de $N$

there are exactly $7$ values for $N$

hay exactamente $10$ valores de $N$

there are exactly $10$ values for $N$

Conceptos:dígitos potencia perfecta enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Si las cifras cumplen $a>b,$ la diferencia con el número invertido es $9(a-b)$

If the digits are $a>b,$ the difference from the reversal is $9(a-b)$

Pista grande:

La diferencia es como máximo $81,$ así que prueba los cubos positivos no mayores que $81$

The difference is at most $81,$ so test the positive cubes no larger than $81$

Solución:

Al escribir $N=10a+b,$ la diferencia positiva es $\begin{aligned} &(10a+b)-(10b+a)\\ &\quad=9(a-b). \end{aligned}$ Es como máximo $81.$ Entre $1,$ $8,$ $27,$ y $64,$ solo $27$ es divisible entre $9,$ por lo que $a-b=3.$ Los pares de cifras son $\begin{gathered} (3,0),(4,1),(5,2),(6,3),\\ (7,4),(8,5),(9,6), \end{gathered}$ y producen exactamente siete valores de $N.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Writing $N=10a+b,$ the positive difference is $\begin{aligned} &(10a+b)-(10b+a)\\ &\quad=9(a-b). \end{aligned}$ It is at most $81.$ Among $1,$ $8,$ $27,$ and $64,$ only $27$ is divisible by $9,$ so $a-b=3.$ The digit pairs are $\begin{gathered} (3,0),(4,1),(5,2),(6,3),\\ (7,4),(8,5),(9,6), \end{gathered}$ giving exactly seven values of $N.$

Thus, the correct answer is D.

39.

Dos hombres parten al mismo tiempo desde $M$ y $N,$ separados por $72$ millas, y caminan uno hacia el otro. El primero camina a $4$ millas por hora. El segundo recorre $2$ millas la primera hora, $2\frac12$ millas la segunda, $3$ millas la tercera, y así sucesivamente en progresión aritmética. Entonces se encontrarán:

Two men set out at the same time to walk towards each other from $M$ and $N,$ $72$ miles apart. The first man walks at the rate of $4$ mph. The second man walks $2$ miles the first hour, $2\frac12$ miles the second hour, $3$ miles the third hour, and so on in arithmetic progression. Then the men will meet:

en $7$ horas

in $7$ hours

en $8\frac14$ horas

in $8\frac14$ hours

más cerca de $M$ que de $N$

nearer $M$ than $N$

más cerca de $N$ que de $M$

nearer $N$ than $M$

a mitad de camino entre $M$ y $N$

midway between $M$ and $N$

Conceptos:sucesión aritmética distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Después de $t$ horas completas, suma como progresión aritmética las distancias horarias del segundo hombre

After $t$ whole hours, sum the second man’s hourly distances as an arithmetic progression

Pista grande:

Iguala esa suma más $4t$ a $72$

Set that sum plus $4t$ equal to $72$

Solución:

En $t$ horas, las distancias horarias del segundo hombre forman una progresión aritmética de primer término $2$ y último término $2+\frac{t-1}{2}.$ Su distancia es $\frac t2\left(4+\frac{t-1}{2}\right) =\frac{t(t+7)}4.$ Entre ambos recorren $4t+\frac{t(t+7)}4=72,$ o $t^2+23t-288=0.$ La raíz positiva es $t=9.$ El primer hombre recorre entonces $4(9)=36$ millas, exactamente la mitad de la distancia original.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

In $t$ hours, the second man’s hourly distances form an arithmetic progression with first term $2$ and last term $2+\frac{t-1}{2}.$ His distance is $\frac t2\left(4+\frac{t-1}{2}\right) =\frac{t(t+7)}4.$ Together the men cover $4t+\frac{t(t+7)}4=72,$ or $t^2+23t-288=0.$ The positive root is $t=9.$ The first man then walks $4(9)=36$ miles, exactly half the original distance.

Therefore, the correct answer is E.

40.

Si la parábola $y=-x^2+bx-8$ tiene su vértice sobre el eje $x$ , entonces $b$ debe ser:

If the parabola $y=-x^2+bx-8$ has its vertex on the $x$ -axis, then $b$ must be:

un entero positivo

a positive integer

un número racional positivo o negativo

a positive or a negative rational number

un número racional positivo

a positive rational number

un número irracional positivo o negativo

a positive or a negative irrational number

un número irracional negativo

a negative irrational number

Conceptos:cuadrática parábola radical

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Una parábola cuyo vértice está en el eje $x$ tiene una raíz doble

A parabola whose vertex lies on the $x$ -axis has a repeated root

Pista grande:

Iguala a cero el discriminante de $-x^2+bx-8=0$

Set the discriminant of $-x^2+bx-8=0$ equal to zero

Solución:

El vértice está en el eje $x$ exactamente cuando la cuadrática tiene una raíz doble. Su discriminante debe satisfacer $b^2-4(-1)(-8)=b^2-32=0.$ Por consiguiente, $b=\pm\sqrt{32}=\pm4\sqrt2,$ un número irracional positivo o negativo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The vertex lies on the $x$ -axis exactly when the quadratic has one repeated root. Its discriminant must satisfy $b^2-4(-1)(-8)=b^2-32=0.$ Hence $b=\pm\sqrt{32}=\pm4\sqrt2,$ a positive or negative irrational number.

Thus, the correct answer is D.

41.

Dado el sistema de ecuaciones

$\begin{aligned} ax+(a-1)y&=1,\\ (a+1)x-ay&=1. \end{aligned}$

¿Para cuál de los siguientes valores de $a$ no hay solución para $x$ e $y$ ?

Given the system of equations

$\begin{aligned} ax+(a-1)y&=1,\\ (a+1)x-ay&=1. \end{aligned}$

For which one of the following values of $a$ is there no solution for $x$ and $y?$

$1$

$0$

$-1$

$\pm\dfrac{\sqrt2}{2}$

$\pm\sqrt2$

Conceptos:sistema de ecuaciones determinante

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Un sistema $2\times2$ puede no tener solución única cuando el determinante de sus coeficientes es cero

A $2\times2$ system can fail to have a unique solution when its coefficient determinant is zero

Pista grande:

Calcula $a(-a)-(a-1)(a+1)$

Compute $a(-a)-(a-1)(a+1)$

Solución:

El determinante de coeficientes es $\begin{aligned} &a(-a)-(a-1)(a+1)\\ &\quad=1-2a^2. \end{aligned}$ Se anula cuando $a=\pm\frac{\sqrt2}{2}.$ Para cualquiera de los dos valores, las dos filas de coeficientes son proporcionales, pero los dos lados derechos no guardan la misma proporción, por lo que el sistema es incompatible.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The coefficient determinant is $\begin{aligned} &a(-a)-(a-1)(a+1)\\ &\quad=1-2a^2. \end{aligned}$ It vanishes when $a=\pm\frac{\sqrt2}{2}.$ For either value, the two coefficient rows are proportional but the two right sides are not in the same ratio, so the system is inconsistent.

Thus, the correct answer is D.

42.

Si $S=i^n+i^{-n},$ donde $i=\sqrt{-1}$ y $n$ es un entero, entonces el número total de valores distintos posibles de $S$ es:

If $S=i^n+i^{-n},$ where $i=\sqrt{-1}$ and $n$ is an integer, then the total number of possible distinct values for $S$ is:

$1$

$2$

$3$

$4$

más de $4$

more than $4$

Conceptos:número complejo raíces de la unidad aritmética modular

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Las potencias de $i$ se repiten con período cuatro

Powers of $i$ repeat with period four

Pista grande:

Revisa un representante de cada clase de residuos de $n$ módulo $4$

Check one representative of each residue class of $n$ modulo $4$

Solución:

Si $n$ es par, $i^n$ es $1$ o $-1$ e igual a su recíproco, por lo que $S=2$ o $-2.$ Si $n$ es impar, los dos términos son $i$ y $-i,$ en algún orden, por lo que $S=0.$ Así, los valores distintos son $-2,\ 0,\ 2,$ tres valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If $n$ is even, $i^n$ is $1$ or $-1$ and equals its reciprocal, so $S=2$ or $-2.$ If $n$ is odd, the two terms are $i$ and $-i,$ in some order, so $S=0.$ Thus the distinct values are $-2,\ 0,\ 2,$ three values.

Therefore, the correct answer is C.

43.

Definimos un punto de retícula como un punto cuyas coordenadas son enteras, incluido el cero. Entonces el número de puntos de retícula sobre la frontera y dentro de la región limitada por el eje $x$ , la recta $x=4,$ y la parábola $y=x^2$ es:

We define a lattice point as a point whose coordinates are integers, zero admitted. Then the number of lattice points on the boundary and inside the region bounded by the $x$ -axis, the line $x=4,$ and the parabola $y=x^2$ is:

$24$

$35$

$34$

$30$

no finito

not finite

Conceptos:punto reticular parábola conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Solo aparecen las coordenadas $x$ enteras $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ y $4$

Only the integer $x$ -coordinates $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ and $4$ occur

Pista grande:

Para un entero $x,$ fijo, cuenta los valores enteros de $y$ desde $0$ hasta $x^2$

For a fixed integer $x,$ count the integer $y$ -values from $0$ through $x^2$

Solución:

Para cada $x$ entre $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ y $4,$ hay $x^2+1$ valores enteros desde $y=0$ hasta $y=x^2.$ Por lo tanto, el número de puntos de retícula es $\begin{aligned} &(0^2+1)+(1^2+1)+(2^2+1)\\ &\quad +(3^2+1)+(4^2+1)\\ &=1+2+5+10+17\\ &=35. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For each $x$ among $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ and $4,$ there are $x^2+1$ integer values from $y=0$ through $y=x^2.$ Therefore the number of lattice points is $\begin{aligned} &(0^2+1)+(1^2+1)+(2^2+1)\\ &\quad +(3^2+1)+(4^2+1)\\ &=1+2+5+10+17\\ &=35. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

44.

En el triángulo $ABC,$ $AC=CD$ y $\angle CAB-\angle ABC=30^\circ.$ Entonces $\angle BAD$ es:

In triangle $ABC,$ $AC=CD$ and $\angle CAB-\angle ABC=30^\circ.$ Then $\angle BAD$ is:

$30^\circ$

$20^\circ$

$22\frac12^\circ$

$10^\circ$

$15^\circ$

Conceptos:triángulo isósceles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Como $AC=CD,$ el triángulo $ACD$ es isósceles

Because $AC=CD,$ triangle $ACD$ is isosceles

Pista grande:

Expresa $\angle CDA$ usando $\angle DAB$ y $\angle ABC$

Express $\angle CDA$ using $\angle DAB$ and $\angle ABC$

Solución:

Sea $\alpha=\angle CAB,$ $\beta=\angle ABC,$ y $x=\angle BAD.$ Como $D$ está sobre $BC,$ $\angle ADC=x+\beta$ por ser un ángulo exterior del triángulo $ABD.$ Como $AC=CD,$ el triángulo $ACD$ es isósceles, así que $\angle CAD=\angle ADC.$ Pero $\angle CAD=\alpha-x.$ Por tanto, $\alpha-x=x+\beta,$ de modo que $2x=\alpha-\beta=30^\circ$ y $x=15^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $\alpha=\angle CAB,$ $\beta=\angle ABC,$ and $x=\angle BAD.$ Since $D$ lies on $BC,$ $\angle ADC=x+\beta$ as an exterior angle of triangle $ABD.$ Because $AC=CD,$ triangle $ACD$ is isosceles, so $\angle CAD=\angle ADC.$ But $\angle CAD=\alpha-x.$ Hence $\alpha-x=x+\beta,$ so $2x=\alpha-\beta=30^\circ$ and $x=15^\circ.$

Thus, the correct answer is E.

45.

Si dos números reales $x$ y $y$ satisfacen la ecuación $\dfrac xy=x-y,$ entonces:

If two real numbers $x$ and $y$ satisfy the equation $\dfrac xy=x-y,$ then:

$x\ge4$ o $x\le0,$ donde $x\ge a$ significa que $x$ puede tomar cualquier valor mayor que $a$ o igual a $a$

$x\ge4$ or $x\le0,$ where $x\ge a$ means that $x$ can take any value greater than $a$ or equal to $a$

$y$ puede ser igual a $1$

$y$ can equal $1$

tanto $x$ como $y$ deben ser irracionales

both $x$ and $y$ must be irrational

$x$ y $y$ no pueden ser ambos enteros

$x$ and $y$ cannot both be integers

tanto $x$ como $y$ deben ser racionales

both $x$ and $y$ must be rational

Conceptos:ecuación racional cuadrática desigualdad

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Elimina el denominador y considera el resultado como una ecuación cuadrática en $y$

Clear the denominator and regard the result as a quadratic equation in $y$

Pista grande:

Para que $y$ sea real, el discriminante $x^2-4x$ debe ser no negativo

Real $y$ requires the discriminant $x^2-4x$ to be nonnegative

Solución:

Como $y\ne0,$ al multiplicar por $y$ se obtiene $x=xy-y^2,$ o $y^2-xy+x=0.$ Para que $y$ sea real, su discriminante debe satisfacer $x^2-4x=x(x-4)\ge0.$ Así, $x\le0$ o $x\ge4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $y\ne0,$ multiplying by $y$ gives $x=xy-y^2,$ or $y^2-xy+x=0.$ For a real value of $y,$ its discriminant must satisfy $x^2-4x=x(x-4)\ge0.$ Thus $x\le0$ or $x\ge4.$

Therefore, the correct answer is A.

46.

Dos cuerdas perpendiculares se cortan dentro de un círculo. Los segmentos de una cuerda miden $3$ y $4;$ los de la otra miden $6$ y $2.$ Entonces el diámetro del círculo es:

Two perpendicular chords intersect in a circle. The segments of one chord are $3$ and $4;$ the segments of the other are $6$ and $2.$ Then the diameter of the circle is:

$\sqrt{89}$

$\sqrt{56}$

$\sqrt{61}$

$\sqrt{75}$

$\sqrt{65}$

Conceptos:cuerda geometría analítica mediatriz

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Coloca la intersección de las cuerdas en el origen y las cuerdas perpendiculares sobre los ejes coordenados

Place the chord intersection at the origin and the perpendicular chords on the coordinate axes

Pista grande:

El centro del círculo está sobre las mediatrices de ambas cuerdas

The circle’s center lies on both chord perpendicular bisectors

Solución:

Colocamos la intersección en $(0,0)$ y los extremos en $(-3,0),$ $(4,0),$ $(0,-2),$ y $(0,6).$ Las mediatrices de las cuerdas son $x=\frac{1}{2}$ y $y=2,$ por lo que el centro es $(\frac{1}{2},2).$ Usando el extremo $(4,0),$ $\begin{aligned} r^2 &=\left(4-\frac12\right)^2+(0-2)^2\\ &=\frac{65}{4}. \end{aligned}$ Por lo tanto, el diámetro es $2r=\sqrt{65}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Place the intersection at $(0,0)$ with endpoints $(-3,0),$ $(4,0),$ $(0,-2),$ and $(0,6).$ The perpendicular bisectors of the chords are $x=\frac{1}{2}$ and $y=2,$ so the center is $(\frac{1}{2},2).$ Using the endpoint $(4,0),$ $\begin{aligned} r^2 &=\left(4-\frac12\right)^2+(0-2)^2\\ &=\frac{65}{4}. \end{aligned}$ Therefore the diameter is $2r=\sqrt{65}.$

Thus, the correct answer is E.

47.

En el círculo $O,$ el punto medio del radio $\overline{OX}$ es $Q;$ en $Q,$ $\overline{AB}\perp\overline{XY}.$ El semicírculo cuyo diámetro es $\overline{AB}$ corta a $\overline{XY}$ en $M.$ La recta $AM$ corta al círculo $O$ en $C,$ y la recta $BM$ corta al círculo $O$ en $D.$ Se traza la recta $AD$ . Entonces, si el radio del círculo $O$ es $r,$ $AD$ es:

In circle $O,$ the midpoint of radius $\overline{OX}$ is $Q;$ at $Q,$ $\overline{AB}\perp\overline{XY}.$ The semicircle with $\overline{AB}$ as diameter intersects $\overline{XY}$ in $M.$ Line $AM$ intersects circle $O$ in $C,$ and line $BM$ intersects circle $O$ in $D.$ Line $AD$ is drawn. Then, if the radius of circle $O$ is $r,$ $AD$ is:

$r\sqrt2$

$r$

no es un lado de un polígono regular inscrito

not a side of an inscribed regular polygon

$\dfrac{r\sqrt3}{2}$

$r\sqrt3$

Conceptos:círculo ángulo inscrito triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Como $\overline{XY}$ biseca perpendicularmente a $\overline{AB},$ compara $MA$ y $MB$

Since $\overline{XY}$ perpendicularly bisects $\overline{AB},$ compare $MA$ and $MB$

Pista grande:

Usa el semicírculo para hallar $\angle AMB,$ y después que $B,$ $M,$ y $D$ son colineales

Use the semicircle to find $\angle AMB,$ then use that $B,$ $M,$ and $D$ are collinear

Solución:

La recta $XY$ es la mediatriz de $AB,$ por lo que $MA=MB.$ Como $M$ está en el semicírculo de diámetro $AB,$ $\angle AMB=90^\circ.$ Así, el triángulo $AMB$ es rectángulo isósceles y $\angle ABM=45^\circ.$ Como $B,M,D$ son colineales, el ángulo inscrito $\angle ABD=45^\circ,$ de modo que el arco $AD$ que intercepta mide $90^\circ.$ Por lo tanto, la cuerda $AD$ es un lado de un cuadrado inscrito y tiene longitud $AD=r\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Line $XY$ is the perpendicular bisector of $AB,$ so $MA=MB.$ Since $M$ lies on the semicircle with diameter $AB,$ $\angle AMB=90^\circ.$ Thus triangle $AMB$ is an isosceles right triangle and $\angle ABM=45^\circ.$ Because $B,M,D$ are collinear, the inscribed angle $\angle ABD=45^\circ,$ so its intercepted arc $AD$ measures $90^\circ.$ Therefore chord $AD$ is a side of an inscribed square and has length $AD=r\sqrt2.$

Thus, the correct answer is A.

48.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero inscrito en el círculo $O.$ El punto $M$ está sobre el arco $BC.$ Se trazan las rectas $AM,$ $BM,$ y $CM$ . Entonces $AM$ es:

Let $ABC$ be an equilateral triangle inscribed in circle $O.$ $M$ is a point on arc $BC.$ Lines $AM,$ $BM,$ and $CM$ are drawn. Then $AM$ is:

igual a $BM+CM$

equal to $BM+CM$

menor que $BM+CM$

less than $BM+CM$

mayor que $BM+CM$

greater than $BM+CM$

igual, menor o mayor que $BM+CM,$ según la posición de $M$

equal to, less than, or greater than $BM+CM,$ depending upon the position of $M$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:cuadrilátero cíclico Teorema de Ptolomeo triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Aplica el teorema de Ptolomeo al cuadrilátero cíclico $ABMC$

Apply Ptolemy’s theorem to cyclic quadrilateral $ABMC$

Pista grande:

Usa $AB=BC=CA$ para cancelar la longitud común

Use $AB=BC=CA$ to cancel the common side length

Solución:

En el cuadrilátero cíclico $ABMC,$ el teorema de Ptolomeo da $\begin{aligned} AM\cdot BC &=AB\cdot CM\\ &\quad+AC\cdot BM. \end{aligned}$ Como $ABC$ es equilátero, $AB=BC=AC.$ Al dividir entre esta longitud común se obtiene $AM=CM+BM.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

In cyclic quadrilateral $ABMC,$ Ptolemy’s theorem gives $\begin{aligned} AM\cdot BC &=AB\cdot CM\\ &\quad+AC\cdot BM. \end{aligned}$ Since $ABC$ is equilateral, $AB=BC=AC.$ Dividing by this common length yields $AM=CM+BM.$

Therefore, the correct answer is A.

49.

Los lados paralelos de un trapecio miden $3$ y $9.$ Los lados no paralelos miden $4$ y $6.$ Una recta paralela a las bases divide el trapecio en dos trapecios de igual perímetro. La razón en que queda dividido cada lado no paralelo es:

The parallel sides of a trapezoid are $3$ and $9.$ The non-parallel sides are $4$ and $6.$ A line parallel to the bases divides the trapezoid into two trapezoids of equal perimeters. The ratio in which each of the non-parallel sides is divided is:

$4:3$

$3:2$

$4:1$

$3:1$

$6:1$

Conceptos:trapecio razón y proporción perímetro

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Un segmento paralelo a las bases divide ambos lados no paralelos en la misma proporción

A segment parallel to the bases divides both legs in the same fraction

Pista grande:

Sean $4t$ y $6t$ los segmentos superiores de los lados; el segmento divisor común se cancela al igualar los dos perímetros

Let the upper leg segments be $4t$ and $6t$ ; the common dividing segment cancels when the two perimeters are equated

Solución:

Sean $4t$ y $6t,$ respectivamente, las partes superiores de los lados de longitudes $4$ y $6$ . El segmento divisor aparece una vez en cada perímetro y se cancela. Por tanto, los perímetros iguales dan $\begin{aligned} 3+4t+6t &=9+4(1-t)\\ &\quad+6(1-t). \end{aligned}$ Así, $20t=16,$ por lo que $t=\frac{4}{5}.$ Cada lado queda dividido en la razón $t:(1-t)=\frac45:\frac15=4:1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the upper pieces of the legs of lengths $4$ and $6$ be $4t$ and $6t,$ respectively. The dividing segment appears once in each perimeter and cancels. Equal perimeters therefore give $\begin{aligned} 3+4t+6t &=9+4(1-t)\\ &\quad+6(1-t). \end{aligned}$ Hence $20t=16,$ so $t=\frac{4}{5}.$ Each leg is divided in the ratio $t:(1-t)=\frac45:\frac15=4:1.$

Thus, the correct answer is C.

50.

En el círculo $O,$ $G$ es un punto móvil sobre el diámetro $\overline{AB}.$ Se traza $\overline{AA'}$ perpendicular a $\overline{AB}$ e igual a $AG.$ Se traza $\overline{BB'}$ perpendicular a $\overline{AB},$ en el mismo lado del diámetro $\overline{AB}$ que $\overline{AA'},$ e igual a $BG.$ Sea $O'$ el punto medio de $\overline{A'B'}.$ Entonces, mientras $G$ se mueve de $A$ a $B,$ el punto $O':$

In circle $O,$ $G$ is a moving point on diameter $\overline{AB}.$ $\overline{AA'}$ is drawn perpendicular to $\overline{AB}$ and equal to $AG.$ $\overline{BB'}$ is drawn perpendicular to $\overline{AB},$ on the same side of diameter $\overline{AB}$ as $\overline{AA'},$ and equal to $BG.$ Let $O'$ be the midpoint of $\overline{A'B'}.$ Then, as $G$ moves from $A$ to $B,$ point $O':$

se mueve sobre una recta paralela a $AB$

moves on a straight line parallel to $AB$

permanece fijo

remains stationary

se mueve sobre una recta perpendicular a $AB$

moves on a straight line perpendicular to $AB$

se mueve sobre un círculo pequeño que corta al círculo dado

moves in a small circle intersecting the given circle

sigue una trayectoria que no es ni un círculo ni una recta

follows a path which is neither a circle nor a straight line

Conceptos:geometría analítica punto medio invariante

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Coloca $A=(0,0),$ $B=(L,0),$ y $G=(g,0)$

Place $A=(0,0),$ $B=(L,0),$ and $G=(g,0)$

Pista grande:

Escribe las coordenadas de $A'$ y $B'$ , y luego toma su promedio

Write coordinates for $A'$ and $B'$ , then average them

Solución:

Sean $A=(0,0),$ $B=(L,0),$ y $G=(g,0).$ Las construcciones perpendiculares en el mismo lado dan $A'=(0,g),\qquad B'=(L,L-g).$ Su punto medio es $\begin{aligned} O' &=\left(\frac L2,\frac{g+L-g}{2}\right)\\ &=\left(\frac L2,\frac L2\right), \end{aligned}$ independiente de $g.$ Así, $O'$ permanece fijo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $A=(0,0),$ $B=(L,0),$ and $G=(g,0).$ The perpendicular constructions on the same side give $A'=(0,g),\qquad B'=(L,L-g).$ Their midpoint is $\begin{aligned} O' &=\left(\frac L2,\frac{g+L-g}{2}\right)\\ &=\left(\frac L2,\frac L2\right), \end{aligned}$ independent of $g.$ Thus $O'$ remains stationary.

Therefore, the correct answer is B.