Question

Un segmento que inicialmente mide $1$ pulgada crece según la siguiente ley, donde el primer término es la longitud inicial. $\begin{gathered} 1+\frac14\sqrt2+\frac14+\frac1{16}\sqrt2\\ {}+\frac1{16}+\frac1{64}\sqrt2+\frac1{64}+\cdots. \end{gathered}$ Si el proceso de crecimiento continúa indefinidamente, el límite de la longitud del segmento es:

A line initially $1$ inch long grows according to the following law, where the first term is the initial length. $\begin{gathered} 1+\frac14\sqrt2+\frac14+\frac1{16}\sqrt2\\ {}+\frac1{16}+\frac1{64}\sqrt2+\frac1{64}+\cdots. \end{gathered}$ If the growth process continues forever, the limit of the length of the line is:

$\infty$

$\dfrac43$

$\dfrac38$

$\dfrac13(4+\sqrt2)$

$\dfrac23(4+\sqrt2)$

Respuesta: D

Conceptos:sucesión geométrica sumatoria radical

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Agrupa cada par que tenga la misma potencia de $\frac{1}{4}$

Group each pair having the same power of $\frac{1}{4}$

Pista grande:

Los términos posteriores al $1$ inicial suman $(1+\sqrt2)\sum_{k=1}^{\infty}4^{-k}$

The terms after the initial $1$ equal $(1+\sqrt2)\sum_{k=1}^{\infty}4^{-k}$

Solución:

Después del término inicial, cada potencia $4^{-k}$ aparece una vez por sí sola y una vez multiplicada por $\sqrt2.$ Como $\sum_{k=1}^{\infty}4^{-k}=\frac{1}{3},$ el límite es $1+\frac{1+\sqrt2}{3}=\frac{4+\sqrt2}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

After the initial term, each power $4^{-k}$ appears once by itself and once multiplied by $\sqrt2.$ Since $\sum_{k=1}^{\infty}4^{-k}=\frac{1}{3},$ the limit is $1+\frac{1+\sqrt2}{3}=\frac{4+\sqrt2}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

1952 AMC 12 Problema 50

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 50 en otros años