1952 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

Si el radio de un círculo es un número racional, su área está dada por un número que es:

If the radius of a circle is a rational number, its area is given by a number which is:

Racional

Rational

Irracional

Irrational

Entero

Integral

Un cuadrado perfecto

A perfect square

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: B

Conceptos:círculo área del círculo

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Escribe el área en función del radio y de $\pi$

Write the area in terms of the radius and $\pi$

Pista grande:

El radio de un círculo es positivo, por lo que su cuadrado racional no es cero

A circle’s radius is positive, so its rational square is nonzero

Solución:

Si el radio racional positivo es $r,$ entonces el área es $\pi r^2.$ El factor $r^2$ es un número racional no nulo, y un múltiplo racional no nulo del número irracional $\pi$ es irracional.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the positive rational radius is $r,$ then its area is $\pi r^2.$ The factor $r^2$ is a nonzero rational number, and a nonzero rational multiple of the irrational number $\pi$ is irrational.

Thus, the correct answer is B.

2.

Dos clases de secundaria presentaron el mismo examen. Una clase de $20$ estudiantes obtuvo una calificación media de $80\%$ ; la otra clase de $30$ estudiantes obtuvo una calificación media de $70\%.$ La calificación media de todos los estudiantes de ambas clases es:

Two high school classes took the same test. One class of $20$ students made an average grade of $80\%$ ; the other class of $30$ students made an average grade of $70\%.$ The average grade for all students in both classes is:

$75\%$

$74\%$

$72\%$

$77\%$

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: B

Conceptos:media ponderada porcentaje

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Pondera el promedio de cada clase según el número de estudiantes de esa clase

Weight each class average by the number of students in that class

Pista grande:

El promedio combinado es $\dfrac{20(80)+30(70)}{50}$

The combined average is $\dfrac{20(80)+30(70)}{50}$

Solución:

Las dos clases obtuvieron un total combinado de $20(80)+30(70)=3700$ puntos porcentuales entre $50$ estudiantes. Su promedio combinado es $\frac{3700}{50}=74\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The two classes earned a combined total of $20(80)+30(70)=3700$ percentage points among $50$ students. Their combined average is $\frac{3700}{50}=74\%.$

Thus, the correct answer is B.

3.

La expresión $a^3-a^{-3}$ es igual a:

The expression $a^3-a^{-3}$ equals:

$\left(a-\dfrac1a\right)\left(a^2+1+\dfrac1{a^2}\right)$

$\left(\dfrac1a-a\right)\left(a^2-1+\dfrac1{a^2}\right)$

$\left(a-\dfrac1a\right)\left(a^2-2+\dfrac1{a^2}\right)$

$\left(\dfrac1a-a\right)\left(\dfrac1{a^2}+1+a^2\right)$

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: A

Conceptos:suma y diferencia de cubos exponente factorización

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Considera la expresión como una diferencia de dos cubos

View the expression as a difference of two cubes

Pista grande:

Usa $u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)$ con $v=\frac{1}{a}$

Use $u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)$ with $v=\frac{1}{a}$

Solución:

Aplicamos la identidad de la diferencia de cubos con $u=a$ y $v=\frac{1}{a}.$ Como $uv=1,$ $\begin{aligned} a^3-\frac1{a^3} &=\left(a-\frac1a\right)\\ &\quad{}\cdot\left(a^2+1+\frac1{a^2}\right). \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Apply the difference-of-cubes identity with $u=a$ and $v=\frac{1}{a}.$ Since $uv=1,$ $\begin{aligned} a^3-\frac1{a^3} &=\left(a-\frac1a\right)\\ &\quad{}\cdot\left(a^2+1+\frac1{a^2}\right). \end{aligned}$

Thus, the correct answer is A.

4.

El costo $C$ de enviar por correo un paquete que pesa $P$ libras, donde $P$ es un entero, es de $10$ centavos por la primera libra y $3$ centavos por cada libra adicional. La fórmula del costo es:

The cost $C$ of sending a parcel post package weighing $P$ pounds, $P$ an integer, is $10$ cents for the first pound and $3$ cents for each additional pound. The formula for the cost is:

$C=10+3P$

$C=10P+3$

$C=10+3(P-1)$

$C=9+3P$

$C=10P-7$

Respuesta: C

Conceptos:dinero ecuación lineal

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Solo las libras posteriores a la primera se cobran a la tarifa por libra adicional

Only the pounds after the first are charged at the additional-pound rate

Pista grande:

Un paquete de $P$ libras tiene $P-1$ libras adicionales

A $P$ -pound package has $P-1$ additional pounds

Solución:

La primera libra cuesta $10$ centavos. Las $P-1$ libras restantes cuestan $3(P-1)$ centavos, por lo que $C=10+3(P-1).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The first pound costs $10$ cents. The remaining $P-1$ pounds cost $3(P-1)$ cents, so $C=10+3(P-1).$

Thus, the correct answer is C.

5.

Los puntos $(6,12)$ y $(0,-6)$ están unidos por una recta. Otro punto de esta recta es:

The points $(6,12)$ and $(0,-6)$ are connected by a straight line. Another point on this line is:

$(3,3)$

$(2,1)$

$(7,16)$

$(-1,-4)$

$(-3,-8)$

Respuesta: A

Conceptos:geometría analítica pendiente

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Halla la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos dados

Find the slope through the two given points

Pista grande:

La recta tiene ecuación $y=3x-6$

The line has equation $y=3x-6$

Solución:

La pendiente es $\frac{12-(-6)}{6-0}=3,$ por lo que la recta es $y=3x-6.$ Al sustituir $x=3$ , se obtiene $y=3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The slope is $\frac{12-(-6)}{6-0}=3,$ so the line is $y=3x-6.$ Substituting $x=3$ gives $y=3.$

Thus, the correct answer is A.

6.

La diferencia entre las raíces de $x^2-7x-9=0$ es:

The difference of the roots of $x^2-7x-9=0$ is:

$+7$

$+\dfrac72$

$+9$

$2\sqrt{85}$

$\sqrt{85}$

Respuesta: E

Conceptos:cuadrática

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Escribe las dos raíces usando la fórmula cuadrática

Write the two roots using the quadratic formula

Pista grande:

Su separación es la raíz cuadrada del discriminante porque el coeficiente principal es $1$

Their separation is the square root of the discriminant because the leading coefficient is $1$

Solución:

Las raíces son $\dfrac{7+\sqrt{49+36}}2$ y $\dfrac{7-\sqrt{49+36}}2.$ Por ello, su diferencia positiva es $\sqrt{85}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The roots are $\dfrac{7+\sqrt{49+36}}2$ and $\dfrac{7-\sqrt{49+36}}2.$ Their positive difference is therefore $\sqrt{85}.$

Thus, the correct answer is E.

7.

Al simplificar, $(x^{-1}+y^{-1})^{-1}$ es igual a:

When simplified, $(x^{-1}+y^{-1})^{-1}$ is equal to:

$x+y$

$\dfrac{xy}{x+y}$

$xy$

$\dfrac1{xy}$

$\dfrac{x+y}{xy}$

Respuesta: B

Conceptos:exponente manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Primero combina $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ en una sola fracción

First combine $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ into one fraction

Pista grande:

El exponente $-1$ indica entonces que se toma el recíproco

The exponent $-1$ then takes the reciprocal

Solución:

Al combinar los términos y luego tomar el recíproco se obtiene $\begin{aligned} \left(\frac1x+\frac1y\right)^{-1} &=\left(\frac{x+y}{xy}\right)^{-1}\\ &=\frac{xy}{x+y}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Combining the terms and then taking the reciprocal gives $\begin{aligned} \left(\frac1x+\frac1y\right)^{-1} &=\left(\frac{x+y}{xy}\right)^{-1}\\ &=\frac{xy}{x+y}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

8.

Dos círculos iguales en el mismo plano no pueden tener el siguiente número de tangentes comunes:

Two equal circles in the same plane cannot have the following number of common tangents:

$1$

$2$

$3$

$4$

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: A

Conceptos:círculo recta tangente análisis por casos

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Considera círculos iguales que se cortan, son tangentes exteriormente o son disjuntos

Consider intersecting, externally tangent, and disjoint equal circles

Pista grande:

Una tangencia interior exigiría radios distintos, a menos que los círculos coincidan

An internal tangency would require unequal radii unless the circles coincide

Solución:

Dos círculos iguales distintos tienen $2$ tangentes comunes cuando se cortan, $3$ cuando son tangentes exteriormente y $4$ cuando son disjuntos. No pueden ser tangentes interiormente, porque la tangencia interior exige que la distancia entre los centros sea igual a la diferencia de los radios, que es $0.$ Cuando la distancia entre los centros es $0$ , los círculos iguales coinciden y tienen infinitas tangentes comunes.

Por lo tanto, es imposible tener exactamente $1$ tangente común, así que la respuesta correcta es A.

Two distinct equal circles have $2$ common tangents when they intersect, $3$ when externally tangent, and $4$ when disjoint. They cannot be internally tangent, because internal tangency requires the center distance to equal the difference of the radii, which is $0.$ At center distance $0$ the equal circles coincide and have infinitely many common tangents.

Thus exactly $1$ common tangent is impossible, so the correct answer is A.

9.

Si $m=\dfrac{cab}{a-b},$ entonces $b$ es igual a:

If $m=\dfrac{cab}{a-b},$ then $b$ equals:

$\dfrac{m(a-b)}{ca}$

$\dfrac{cab-ma}{-m}$

$\dfrac1{1+c}$

$\dfrac{ma}{m+ca}$

$\dfrac{m+ca}{ma}$

Respuesta: D

Conceptos:ecuación racional manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Elimina el denominador antes de agrupar los términos que contienen $b$

Clear the denominator before collecting the terms containing $b$

Pista grande:

La ecuación se convierte en $ma=b(m+ca)$

The equation becomes $ma=b(m+ca)$

Solución:

Al eliminar el denominador se obtiene $m(a-b)=cab.$ De aquí, $ma=b(m+ca)$ , por lo que $b=\frac{ma}{m+ca}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Clearing the denominator gives $m(a-b)=cab.$ Hence $ma=b(m+ca)$ , so $b=\frac{ma}{m+ca}.$

Thus, the correct answer is D.

10.

Un automóvil subió una colina a $10$ millas por hora y bajó la misma distancia a $20$ millas por hora. La velocidad media del viaje de ida y vuelta fue:

An automobile went up a hill at a speed of $10$ miles an hour and down the same distance at a speed of $20$ miles an hour. The average speed for the round trip was:

$12\dfrac12$ millas por hora

$12\dfrac12$ mph

$13\dfrac13$ millas por hora

$13\dfrac13$ mph

$14\dfrac12$ millas por hora

$14\dfrac12$ mph

$15$ millas por hora

$15$ mph

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: B

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo media armónica

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Usa las distancias iguales en vez de promediar directamente las dos velocidades

Use equal distances rather than averaging the two speeds directly

Pista grande:

Para un trayecto de una milla en cada dirección, divide la distancia total $2$ entre el tiempo total $\frac{1}{10}+\frac{1}{20}$

For a one-mile trip each way, divide the total distance $2$ by the total time $\frac{1}{10}+\frac{1}{20}$

Solución:

Para una milla en cada dirección, el tiempo total es $\frac1{10}+\frac1{20}=\frac3{20}$ de hora. Por lo tanto, la velocidad media es $\frac{2}{\frac{3}{20}}=\frac{40}{3} =13\frac13\text{ mi/h}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For one mile in each direction, the total time is $\frac1{10}+\frac1{20}=\frac3{20}$ hour. Thus the average speed is $\frac{2}{\frac{3}{20}}=\frac{40}{3} =13\frac13\text{ mph}.$

Thus, the correct answer is B.

11.

Si $y=f(x)=\dfrac{x+2}{x-1},$ entonces es incorrecto afirmar:

If $y=f(x)=\dfrac{x+2}{x-1},$ then it is incorrect to say:

$x=\dfrac{y+2}{y-1}$

$f(0)=-2$

$f(1)=0$

$f(-2)=0$

$f(y)=x$

Respuesta: C

Conceptos:función ecuación racional

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Comprueba el dominio de la función racional antes de evaluarla

Check the domain of the rational function before evaluating it

Pista grande:

El denominador se anula en una de las entradas indicadas

The denominator vanishes at one of the listed inputs

Solución:

La función no está definida en $x=1$ porque allí su denominador es cero, así que $f(1)=0$ es falso. Las demás afirmaciones son válidas: $f(0)=-2,$ $f(-2)=0,$ al resolver $y=\frac{x+2}{x-1}$ se obtiene $x=\frac{y+2}{y-1},$ y esta misma fórmula muestra que $f$ es su propia inversa.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The function is undefined at $x=1$ because its denominator is zero there, so $f(1)=0$ is false. The other statements hold: $f(0)=-2,$ $f(-2)=0,$ solving $y=\frac{x+2}{x-1}$ gives $x=\frac{y+2}{y-1},$ and this same formula shows that $f$ is its own inverse.

Thus, the correct answer is C.

12.

La suma infinita de una progresión geométrica es $6.$ La suma de sus dos primeros términos es $4\dfrac12.$ El primer término de la progresión es:

The sum to infinity of the terms of an infinite geometric progression is $6.$ The sum of the first two terms is $4\dfrac12.$ The first term of the progression is:

$3$ o $1\dfrac12$

$3$ or $1\dfrac12$

$1$

$2\dfrac12$

$6$

$9$ o $3$

$9$ or $3$

Respuesta: E

Conceptos:sucesión geométrica cuadrática

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Sea $a$ el primer término y $r$ la razón común

Let the first term be $a$ and the common ratio be $r$

Pista grande:

Usa $a=6(1-r)$ en la ecuación $a(1+r)=\frac{9}{2}$

Use $a=6(1-r)$ in the equation $a(1+r)=\frac{9}{2}$

Solución:

Sea $a$ el primer término y $r$ la razón común. La suma infinita da $a=6(1-r).$ Por lo tanto, los dos primeros términos satisfacen $a(1+r)=6(1-r^2)=\frac92.$ Así, $r^2=\frac{1}{4},$ de modo que $r=\frac{1}{2}$ da $a=3,$ mientras que $r=-\frac{1}{2}$ da $a=9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the first term be $a$ and the common ratio be $r.$ The infinite sum gives $a=6(1-r).$ The first two terms therefore satisfy $a(1+r)=6(1-r^2)=\frac92.$ Thus $r^2=\frac{1}{4},$ so $r=\frac{1}{2}$ gives $a=3,$ while $r=-\frac{1}{2}$ gives $a=9.$

Thus, the correct answer is E.

13.

La función $x^2+px+q$ , con $p$ y $q$ mayores que cero, alcanza su valor mínimo cuando:

The function $x^2+px+q$ with $p$ and $q$ greater than zero has its minimum value when:

$x=-p$

$x=\dfrac p2$

$x=-2p$

$x=\dfrac{p^2}{4q}$

$x=-\dfrac p2$

Respuesta: E

Conceptos:cuadrática completar el cuadrado

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Completa el cuadrado en los términos $x^2+px$

Complete the square in the terms $x^2+px$

Pista grande:

El término al cuadrado es mínimo cuando $x+\frac{p}{2}=0$

The squared term is minimized when $x+\frac{p}{2}=0$

Solución:

Al completar el cuadrado se obtiene $\begin{aligned} x^2+px+q &=\left(x+\frac p2\right)^2\\ &\quad{}+q-\frac{p^2}{4}. \end{aligned}$ El cuadrado es mínimo cuando $x=-\frac{p}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Completing the square gives $\begin{aligned} x^2+px+q &=\left(x+\frac p2\right)^2\\ &\quad{}+q-\frac{p^2}{4}. \end{aligned}$ The square is least when $x=-\frac{p}{2}.$

Thus, the correct answer is E.

14.

Una casa y una tienda se vendieron por $\$12000$ cada una. La casa se vendió con una pérdida del $20\%$ del costo y la tienda con una ganancia del $20\%$ del costo. La operación completa produjo:

A house and store were sold for $\$12000$ each. The house was sold at a loss of $20\%$ of the cost, and the store at a gain of $20\%$ of the cost. The entire transaction resulted in:

Ni pérdida ni ganancia

No loss or gain

Una pérdida de $\$1000$

Loss of $\$1000$

Una ganancia de $\$1000$

Gain of $\$1000$

Una ganancia de $\$2000$

Gain of $\$2000$

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: B

Conceptos:porcentaje dinero

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Recupera por separado cada costo original a partir de su precio de venta

Recover each original cost from its selling price separately

Pista grande:

La casa se vendió por el $80\%$ de su costo, mientras que la tienda se vendió por el $120\%$ de su costo

The house sold for $80\%$ of cost, while the store sold for $120\%$ of cost

Solución:

La casa costó $\frac{12000}{0.8}=15000$ dólares y la tienda costó $\frac{12000}{1.2}=10000$ dólares. El costo combinado fue de $25000$ dólares, mientras que el precio de venta combinado fue de $24000$ dólares, lo que produjo una pérdida de $1000$ dólares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The house cost $\frac{12000}{0.8}=15000$ dollars, and the store cost $\frac{12000}{1.2}=10000$ dollars. The combined cost was $25000$ dollars, while the combined selling price was $24000$ dollars, producing a loss of $1000$ dollars.

Thus, the correct answer is B.

15.

Los lados de un triángulo están en la razón $6:8:9.$ Entonces:

The sides of a triangle are in the ratio $6:8:9.$ Then:

El triángulo es obtusángulo

The triangle is obtuse

Los ángulos están en la razón $6:8:9$

The angles are in the ratio $6:8:9$

El triángulo es acutángulo

The triangle is acute

El ángulo opuesto al lado mayor es el doble del ángulo opuesto al lado menor

The angle opposite the largest side is double the angle opposite the smallest side

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: C

Conceptos:Teorema de Pitágoras desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Compara el cuadrado del lado mayor con la suma de los cuadrados de los otros dos

Compare the square of the largest side with the sum of the squares of the other two

Pista grande:

Aquí $9^2$ es menor que $6^2+8^2$

Here $9^2$ is less than $6^2+8^2$

Solución:

Para un triángulo cuyo lado mayor es $9,$ $9^2=81\lt 6^2+8^2=100.$ Por el recíproco de la desigualdad pitagórica, el ángulo opuesto al lado $9$ es agudo. Como es el ángulo mayor, todos los ángulos son agudos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For a triangle with largest side $9,$ $9^2=81\lt 6^2+8^2=100.$ By the converse of the Pythagorean inequality, the angle opposite side $9$ is acute. Since it is the largest angle, every angle is acute.

Thus, the correct answer is C.

16.

Si la base de un rectángulo aumenta un $10\%$ y el área no cambia, entonces la altura disminuye en:

If the base of a rectangle is increased by $10\%$ and the area is unchanged, then the altitude is decreased by:

$9\%$

$10\%$

$11\%$

$11\dfrac19\%$

$9\dfrac1{11}\%$

Respuesta: E

Conceptos:porcentaje área razón y proporción

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

La nueva altura debe dividirse entre el mismo factor por el que se multiplicó la base

The new altitude must be divided by the same factor by which the base was multiplied

Pista grande:

Un aumento del $10\%$ en la base multiplica la base por $\frac{11}{10}$

A $10\%$ base increase multiplies the base by $\frac{11}{10}$

Solución:

Para mantener el área fija, la altura se multiplica por $\frac{10}{11}.$ Su disminución fraccionaria es $1-\frac{10}{11}=\frac1{11},$ que equivale a $\frac{100}{11}\%=9\dfrac1{11}\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

To keep the area fixed, the altitude is multiplied by $\frac{10}{11}.$ Its fractional decrease is $1-\frac{10}{11}=\frac1{11},$ which is $\frac{100}{11}\%=9\dfrac1{11}\%.$

Thus, the correct answer is E.

17.

Un comerciante compró mercancía con un descuento del $20\%$ sobre el precio de lista. Desea marcarla a un precio que le permita ofrecer un descuento del $20\%$ sobre el precio marcado y aun así obtener una ganancia del $20\%$ del precio de venta. El porcentaje del precio de lista al que debe marcarla es:

A merchant bought some goods at a discount of $20\%$ of the list price. He wants to mark them at such a price that he can give a discount of $20\%$ of the marked price and still make a profit of $20\%$ of the selling price. The percent of the list price at which he should mark them is:

$20$

$100$

$125$

$80$

$120$

Respuesta: C

Conceptos:porcentaje dinero manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Normaliza el precio de lista a $1$ y distingue entre costo, precio marcado y precio de venta

Normalize the list price to $1$ and distinguish cost, marked price, and selling price

Pista grande:

Una ganancia igual al $20\%$ del precio de venta significa que el costo es el $80\%$ del precio de venta

A profit equal to $20\%$ of selling price means the cost is $80\%$ of selling price

Solución:

Sea $1$ el precio de lista. El costo del comerciante es $0.8.$ Si el precio de venta es $S,$ entonces $S-0.8=0.2S,$ así que $S=1.$ Si el precio marcado es $M,$ el descuento del $20\%$ da $0.8M=S=1,$ de donde $M=1.25.$

Por lo tanto, el precio marcado debe ser el $125\%$ del precio de lista, así que la respuesta correcta es C.

Let the list price be $1.$ The merchant’s cost is $0.8.$ If the selling price is $S,$ then $S-0.8=0.2S,$ so $S=1.$ If the marked price is $M,$ the $20\%$ discount gives $0.8M=S=1,$ hence $M=1.25.$

The marked price must therefore be $125\%$ of the list price, so the correct answer is C.

18.

$\log p+\log q=\log(p+q)$ solo si:

$\log p+\log q=\log(p+q)$ only if:

$p=q=0$

$p=\dfrac{q^2}{1-q}$

$p=q=1$

$p=\dfrac q{q-1}$

$p=\dfrac q{q+1}$

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo ecuación racional

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Combina los logaritmos del lado izquierdo antes de igualar sus argumentos positivos

Combine the logarithms on the left before equating their positive arguments

Pista grande:

Resuelve $pq=p+q$ para hallar $p$

Solve $pq=p+q$ for $p$

Solución:

La regla del producto de logaritmos transforma la ecuación en $\log(pq)=\log(p+q),$ por lo que los argumentos positivos deben satisfacer $pq=p+q.$ Así, $p(q-1)=q,$ lo que da $p=\frac{q}{q-1}.$ Sus valores admisibles cumplen $q\gt1,$ lo que también mantiene positivos todos los argumentos de los logaritmos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The logarithm product rule changes the equation to $\log(pq)=\log(p+q),$ so the positive arguments must satisfy $pq=p+q.$ Therefore $p(q-1)=q,$ giving $p=\frac{q}{q-1}.$ Its admissible values have $q\gt1,$ which also keeps all logarithm arguments positive.

Thus, the correct answer is D.

19.

El ángulo $B$ del triángulo $ABC$ es trisecado por $BD$ y $BE,$ que cortan a $AC$ en $D$ y $E,$ respectivamente. Entonces:

Angle $B$ of triangle $ABC$ is trisected by $BD$ and $BE,$ which meet $AC$ at $D$ and $E,$ respectively. Then:

$\dfrac{AD}{EC}=\dfrac{AE}{DC}$

$\dfrac{AD}{EC}=\dfrac{AB}{BC}$

$\dfrac{AD}{EC}=\dfrac{BD}{BE}$

$\dfrac{AD}{EC}=\dfrac{AB\cdot BD}{BE\cdot BC}$

$\dfrac{AD}{EC}=\dfrac{AE\cdot BD}{DC\cdot BE}$

Respuesta: D

Conceptos:razón de áreas persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Compara las áreas de los triángulos $ABD$ y $EBC$ de dos maneras distintas

Compare the areas of triangles $ABD$ and $EBC$ in two different ways

Pista grande:

Sus bases están sobre $AC$ , y sus ángulos comprendidos en $B$ son ángulos iguales de la trisección

They have bases on $AC$ , and their included angles at $B$ are equal trisection angles

Solución:

Los triángulos $ABD$ y $EBC$ tienen bases $AD$ y $EC$ sobre la misma recta $AC,$ por lo que su altura común desde $B$ da $\frac{[ABD]}{[EBC]}=\frac{AD}{EC}.$ Además, $\angle ABD=\angle EBC$ porque ambos son un tercio del ángulo $B.$ Al usar dos lados y el ángulo comprendido para la misma razón de áreas se obtiene $\frac{[ABD]}{[EBC]} =\frac{AB\cdot BD}{BE\cdot BC}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Triangles $ABD$ and $EBC$ have bases $AD$ and $EC$ on the same line $AC,$ so their common altitude from $B$ gives $\frac{[ABD]}{[EBC]}=\frac{AD}{EC}.$ Also, $\angle ABD=\angle EBC$ because both are one-third of angle $B.$ Using two sides and the included angle for the same area ratio gives $\frac{[ABD]}{[EBC]} =\frac{AB\cdot BD}{BE\cdot BC}.$

Thus, the correct answer is D.

20.

Si $\dfrac xy=\dfrac34,$ entonces la expresión incorrecta de las siguientes es:

If $\dfrac xy=\dfrac34,$ then the incorrect expression in the following is:

$\dfrac{x+y}{y}=\dfrac74$

$\dfrac{y}{y-x}=\dfrac41$

$\dfrac{x+2y}{x}=\dfrac{11}3$

$\dfrac{x}{2y}=\dfrac38$

$\dfrac{x-y}{y}=\dfrac14$

Respuesta: E

Conceptos:razón y proporción manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Sean $x=3k$ y $y=4k$

Let $x=3k$ and $y=4k$

Pista grande:

Presta atención al signo de $x-y$

Pay attention to the sign of $x-y$

Solución:

Sean $x=3k$ y $y=4k.$ Las primeras cuatro expresiones se convierten, respectivamente, en $\frac{7}{4},$ $4,$ $\frac{11}{3},$ y $\frac{3}{8}.$ Sin embargo, $\frac{x-y}{y}=\frac{3k-4k}{4k}=-\frac14,$ no $\frac{1}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Set $x=3k$ and $y=4k.$ The first four expressions become $\frac{7}{4},$ $4,$ $\frac{11}{3},$ and $\frac{3}{8},$ respectively. But $\frac{x-y}{y}=\frac{3k-4k}{4k}=-\frac14,$ not $\frac{1}{4}.$

Thus, the correct answer is E.

21.

Los lados de un polígono regular de $n$ lados, con $n\gt4,$ se prolongan para formar una estrella. El número de grados en cada punta de la estrella es:

The sides of a regular polygon of $n$ sides, $n\gt4,$ are extended to form a star. The number of degrees at each point of the star is:

$\dfrac{360}{n}$

$\dfrac{(n-4)180}{n}$

$\dfrac{(n-2)180}{n}$

$180-\dfrac{90}{n}$

$\dfrac{180}{n}$

Respuesta: B

Conceptos:polígono regular suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Relaciona una punta de la estrella con el ángulo exterior en cada uno de sus dos vértices de la base

Relate a star point to the exterior angle at each of its two base vertices

Pista grande:

El ángulo de una punta de la estrella y dos ángulos exteriores del polígono regular forman un triángulo cuya suma angular es un ángulo llano

The angle at a star point and two exterior angles of the regular polygon form a straight-angle triangle

Solución:

Cada ángulo exterior de un polígono regular de $n$ lados mide $\frac{360}{n}$ grados. Los dos lados que forman una punta de la estrella, junto con el lado intermedio del polígono, forman un triángulo cuyos dos ángulos de la base son esos ángulos exteriores. Por lo tanto, el ángulo de la punta es $180-2\left(\frac{360}{n}\right) =\frac{(n-4)180}{n}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each exterior angle of a regular $n$ -gon is $\frac{360}{n}$ degrees. The two sides forming a point of the star, together with the intervening polygon side, make a triangle whose two base angles are those exterior angles. Hence its point angle is $180-2\left(\frac{360}{n}\right) =\frac{(n-4)180}{n}.$

Thus, the correct answer is B.

22.

Sobre la hipotenusa $AB$ de un triángulo rectángulo $ABC$ se construye un segundo triángulo rectángulo $ABD$ cuya hipotenusa es $AB.$ Si $BC=1,$ $AC=b,$ y $AD=2,$ entonces $BD$ es igual a:

On hypotenuse $AB$ of a right triangle $ABC$ a second right triangle $ABD$ is constructed with hypotenuse $AB.$ If $BC=1,$ $AC=b,$ and $AD=2,$ then $BD$ equals:

$\sqrt{b^2+1}$

$\sqrt{b^2-3}$

$\sqrt{b^2+1}+2$

$b^2+5$

$\sqrt{b^2+3}$

Respuesta: B

Conceptos:triángulo rectángulo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Usa primero el triángulo $ABC$ para expresar la hipotenusa común $AB$

Use triangle $ABC$ first to express the common hypotenuse $AB$

Pista grande:

Luego aplica el teorema de Pitágoras al triángulo $ABD$ , cuya hipotenusa es $AB$

Then apply the Pythagorean theorem to triangle $ABD$ , whose hypotenuse is $AB$

Solución:

En el primer triángulo rectángulo, $AB^2=AC^2+BC^2=b^2+1.$ En el segundo triángulo rectángulo, $AB$ es la hipotenusa y $AD=2,$ por lo que $\begin{aligned} BD^2&=AB^2-AD^2\\ &=b^2+1-4=b^2-3. \end{aligned}$ Por lo tanto, $BD=\sqrt{b^2-3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

In the first right triangle, $AB^2=AC^2+BC^2=b^2+1.$ In the second right triangle, $AB$ is the hypotenuse and $AD=2,$ so $\begin{aligned} BD^2&=AB^2-AD^2\\ &=b^2+1-4=b^2-3. \end{aligned}$ Therefore $BD=\sqrt{b^2-3}.$

Thus, the correct answer is B.

23.

Si $\dfrac{x^2-bx}{ax-c}=\dfrac{m-1}{m+1}$ tiene raíces numéricamente iguales pero de signos opuestos, el valor de $m$ debe ser:

If $\dfrac{x^2-bx}{ax-c}=\dfrac{m-1}{m+1}$ has roots which are numerically equal but of opposite signs, the value of $m$ must be:

$\dfrac{a-b}{a+b}$

$\dfrac{a+b}{a-b}$

$c$

$\dfrac1c$

$1$

Respuesta: A

Conceptos:cuadrática Fórmulas de Vieta ecuación racional

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Elimina el denominador y ordena la ecuación como una cuadrática en $x$

Clear the denominator and collect the equation as a quadratic in $x$

Pista grande:

Las raíces opuestas suman cero, por lo que el coeficiente de $x$ debe anularse

Opposite roots have sum zero, so the coefficient of $x$ must vanish

Solución:

La multiplicación cruzada da $\begin{aligned} (m+1)x^2 &-(m+1)bx\\ &-(m-1)ax\\ &\quad{}+(m-1)c=0. \end{aligned}$ Las raíces de igual magnitud y signos opuestos tienen suma $0,$ por lo que el coeficiente de $x$ es $0.$ Así, $m(a+b)+(b-a)=0,$ y $m=\frac{a-b}{a+b}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Cross-multiplication gives $\begin{aligned} (m+1)x^2 &-(m+1)bx\\ &-(m-1)ax\\ &\quad{}+(m-1)c=0. \end{aligned}$ Roots that are equal in magnitude and opposite in sign have sum $0,$ so the coefficient of $x$ is $0.$ Thus $m(a+b)+(b-a)=0,$ and $m=\frac{a-b}{a+b}.$

Thus, the correct answer is A.

24.

En la figura se sabe que el ángulo $C=90^\circ,$ $AD=DB,$ $DE\perp AB,$ $AB=20,$ y $AC=12.$ El área del cuadrilátero $ADEC$ es:

In the figure, it is given that angle $C=90^\circ,$ $AD=DB,$ $DE\perp AB,$ $AB=20,$ and $AC=12.$ The area of quadrilateral $ADEC$ is:

$75$

$58\dfrac12$

$48$

$37\dfrac12$

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica triángulo rectángulo área

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Coloca $AB$ sobre el eje $x$ y halla las coordenadas de $C$ a partir de las longitudes de los dos lados

Place $AB$ on the $x$ -axis and find the coordinates of $C$ from the two side lengths

Pista grande:

La perpendicular por el punto medio $D$ corta a $CB$ en $E$ ; luego usa la fórmula del cordón con $A,D,E,C$

The perpendicular through midpoint $D$ meets $CB$ at $E$ ; then use the shoelace formula on $A,D,E,C$

Solución:

Como $AB=20,$ $AC=12,$ y el ángulo $C$ es recto, $BC=16.$ Colocamos $A=(0,0)$ y $B=(20,0).$ Al resolver $\begin{aligned} x_C^2+y_C^2&=144,\\ (x_C-20)^2+y_C^2&=256 \end{aligned}$ se obtiene $C=(\frac{36}{5},\frac{48}{5}).$ Además, $D=(10,0).$

La recta $CB$ corta a $x=10$ en $E=(10,\frac{15}{2}).$ La fórmula del cordón para $A,D,E,C$ da ahora $\begin{aligned} [ADEC] &=\frac12\left( 10\cdot\frac{15}{2} +10\cdot\frac{48}{5}\right.\\ &\qquad\left.{} -\frac{15}{2}\cdot\frac{36}{5}\right)\\ &=\frac{117}{2}=58\frac12. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $AB=20,$ $AC=12,$ and angle $C$ is right, $BC=16.$ Put $A=(0,0)$ and $B=(20,0).$ Solving $\begin{aligned} x_C^2+y_C^2&=144,\\ (x_C-20)^2+y_C^2&=256 \end{aligned}$ gives $C=(\frac{36}{5},\frac{48}{5}).$ Also $D=(10,0).$

The line $CB$ meets $x=10$ at $E=(10,\frac{15}{2}).$ The shoelace formula for $A,D,E,C$ now gives $\begin{aligned} [ADEC] &=\frac12\left( 10\cdot\frac{15}{2} +10\cdot\frac{48}{5}\right.\\ &\qquad\left.{} -\frac{15}{2}\cdot\frac{36}{5}\right)\\ &=\frac{117}{2}=58\frac12. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

25.

Un operario de explosivos preparó una mecha para que la explosión ocurriera en $30$ segundos. Se alejó corriendo a $8$ yardas por segundo. El sonido viaja a $1080$ pies por segundo. Cuando el operario oyó la explosión, había recorrido aproximadamente:

A powderman set a fuse for a blast to take place in $30$ seconds. He ran away at a rate of $8$ yards per second. Sound travels at the rate of $1080$ feet per second. When the powderman heard the blast, he had run approximately:

$200$ yardas

$200$ yd.

$352$ yardas

$352$ yd.

$300$ yardas

$300$ yd.

$245$ yardas

$245$ yd.

$512$ yardas

$512$ yd.

Respuesta: D

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Sea $T$ el número total de segundos desde que se enciende la mecha hasta que se oye el sonido

Let $T$ be the total number of seconds from lighting the fuse until the sound is heard

Pista grande:

En el instante $T$ , el sonido ha viajado durante $T-30$ segundos y debe cubrir la distancia del corredor

At time $T$ , the sound has traveled for $T-30$ seconds and must cover the runner’s distance

Solución:

Sea $T$ el tiempo total en segundos. El operario está a $8T$ yardas, o $24T$ pies, del lugar de la explosión. Como el sonido comienza después de $30$ segundos, $1080(T-30)=24T.$ Así, $T=\frac{1350}{44}$ segundos, y la distancia que recorrió es $8T=\frac{2700}{11}\approx245.45\text{ yardas}.$

El valor indicado que se aproxima es $245$ yardas, por lo que la respuesta correcta es D.

Let $T$ be the total time in seconds. The powderman is $8T$ yards, or $24T$ feet, from the blast. Because the sound starts after $30$ seconds, $1080(T-30)=24T.$ Thus $T=\frac{1350}{44}$ seconds, and the distance he ran is $8T=\frac{2700}{11}\approx245.45\text{ yards}.$

Approximately $245$ yards is the listed value, so the correct answer is D.

26.

Si $\left(r+\dfrac1r\right)^2=3,$ entonces $r^3+\dfrac1{r^3}$ es igual a:

If $\left(r+\dfrac1r\right)^2=3,$ then $r^3+\dfrac1{r^3}$ equals

$1$

$2$

$0$

$3$

$6$

Respuesta: C

Conceptos:manipulación algebraica exponente

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Sea $u=r+\frac{1}{r}$ y expresa la suma solicitada en función de $u$

Let $u=r+\frac{1}{r}$ and express the requested sum in terms of $u$

Pista grande:

Usa $r^3+r^{-3}=u^3-3u$

Use $r^3+r^{-3}=u^3-3u$

Solución:

Sea $u=r+\frac{1}{r}.$ Al desarrollar $u^3$ se obtiene $r^3+\frac1{r^3}=u^3-3u.$ Como $u^2=3,$ esto se convierte en $u(u^2-3)=0.$

Por lo tanto, el valor es $0,$ así que la respuesta correcta es C.

Let $u=r+\frac{1}{r}.$ Expanding $u^3$ gives $r^3+\frac1{r^3}=u^3-3u.$ Since $u^2=3,$ this becomes $u(u^2-3)=0.$

Thus the value is $0,$ so the correct answer is C.

27.

La razón entre el perímetro de un triángulo equilátero cuya altura es igual al radio de un círculo y el perímetro de un triángulo equilátero inscrito en el círculo es:

The ratio of the perimeter of an equilateral triangle having an altitude equal to the radius of a circle, to the perimeter of an equilateral triangle inscribed in the circle is:

$1:2$

$1:3$

$1:\sqrt3$

$\sqrt3:2$

$2:3$

Respuesta: E

Conceptos:triángulo equilátero círculo razón y proporción

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Expresa el lado de cada triángulo equilátero en función del mismo radio $R$ del círculo

Express each equilateral triangle’s side length in terms of the same circle radius $R$

Pista grande:

Un triángulo equilátero de altura $R$ tiene lado $\frac{2R}{\sqrt3}$ , mientras que uno inscrito tiene lado $\sqrt3R$

An equilateral triangle of altitude $R$ has side $\frac{2R}{\sqrt3}$ , while an inscribed one has side $\sqrt3R$

Solución:

Un triángulo equilátero de lado $s$ tiene altura $\frac{s\sqrt3}{2}.$ Por lo tanto, el primer triángulo tiene lado $\frac{2R}{\sqrt3}$ y perímetro $2\sqrt3R.$ Un triángulo equilátero inscrito en un círculo de radio $R$ tiene lado $\sqrt3R$ y perímetro $3\sqrt3R.$

La razón de los perímetros es, por lo tanto, $2:3,$ así que la respuesta correcta es E.

An equilateral triangle with side $s$ has altitude $\frac{s\sqrt3}{2}.$ Thus the first triangle has side $\frac{2R}{\sqrt3}$ and perimeter $2\sqrt3R.$ An equilateral triangle inscribed in a circle of radius $R$ has side $\sqrt3R$ and perimeter $3\sqrt3R.$

The perimeter ratio is therefore $2:3,$ so the correct answer is E.

28.

En la tabla mostrada, la fórmula que relaciona $x$ con $y$ es:

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$3$	$7$	$13$	$21$	$31$

In the table shown, the formula relating $x$ and $y$ is:

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$3$	$7$	$13$	$21$	$31$

$y=4x-1$

$y=x^3-x^2+x+2$

$y=x^2+x+1$

$y=(x^2+x+1)(x-1)$

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: C

Conceptos:interpretación de datos y gráficas cuadrática reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Observa las primeras y segundas diferencias de los valores de $y$

Look at the first and second differences of the $y$ -values

Pista grande:

La segunda diferencia constante $2$ sugiere una cuadrática mónica; prueba la cuadrática indicada

The constant second difference $2$ suggests a monic quadratic; test the listed quadratic

Solución:

Las diferencias sucesivas de los valores de $y$ son $4,6,8,10,$ cuyas diferencias sucesivas son todas $2.$ Por lo tanto, los datos corresponden a una cuadrática mónica. La sustitución muestra que $y=x^2+x+1$ da $3,7,13,21,31$ cuando $x=1,2,3,4,5,$ respectivamente.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The successive differences of the $y$ -values are $4,6,8,10,$ whose successive differences are all $2.$ Thus the data fit a monic quadratic. Substitution shows $y=x^2+x+1$ gives $3,7,13,21,31$ at $x=1,2,3,4,5,$ respectively.

Thus, the correct answer is C.

29.

En un círculo de radio $5$ unidades, $CD$ y $AB$ son diámetros perpendiculares. Una cuerda $CH$ que corta a $AB$ en $K$ mide $8$ unidades. El diámetro $AB$ queda dividido en dos segmentos cuyas longitudes son:

In a circle of radius $5$ units, $CD$ and $AB$ are perpendicular diameters. A chord $CH$ cutting $AB$ at $K$ is $8$ units long. The diameter $AB$ is divided into two segments whose dimensions are:

$1.25,$ $8.75$

$2.75,$ $7.25$

$2,$ $8$

$4,$ $6$

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: A

Conceptos:círculo cuerda geometría analítica

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Coloca el centro en el origen, toma $C=(0,5)$ y representa con coordenadas el otro extremo $H$ de la cuerda

Put the center at the origin, take $C=(0,5)$ , and represent the other endpoint $H$ of the chord by coordinates

Pista grande:

Usa $CH=8$ y $OH=5$ , y luego halla dónde la recta $CH$ cruza el diámetro horizontal

Use $CH=8$ and $OH=5$ , then find where line $CH$ crosses the horizontal diameter

Solución:

Colocamos el círculo en el origen con $C=(0,5)$ y sea $H=(x,y).$ Las ecuaciones $\begin{aligned} x^2+y^2&=25,\\ x^2+(y-5)^2&=64 \end{aligned}$ dan $y=-\frac{7}{5}$ y $x=\pm\frac{24}{5}.$ Tomar $x=\frac{24}{5}$ no cambia las longitudes de los segmentos.

La recta de $C=(0,5)$ a $H=(\frac{24}{5},-\frac{7}{5})$ cruza $y=0$ en $x=\frac{15}{4}.$ Por lo tanto, sus distancias a los extremos $(-5,0)$ y $(5,0)$ del diámetro $AB$ son $\begin{aligned} 5+\frac{15}{4}&=\frac{35}{4}=8.75,\\ 5-\frac{15}{4}&=\frac54=1.25. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Put the circle at the origin with $C=(0,5)$ and let $H=(x,y).$ The equations $\begin{aligned} x^2+y^2&=25,\\ x^2+(y-5)^2&=64 \end{aligned}$ give $y=-\frac{7}{5}$ and $x=\pm\frac{24}{5}.$ Taking $x=\frac{24}{5}$ does not change the segment lengths.

The line from $C=(0,5)$ to $H=(\frac{24}{5},-\frac{7}{5})$ crosses $y=0$ at $x=\frac{15}{4}.$ Its distances to the endpoints $(-5,0)$ and $(5,0)$ of diameter $AB$ are therefore $\begin{aligned} 5+\frac{15}{4}&=\frac{35}{4}=8.75,\\ 5-\frac{15}{4}&=\frac54=1.25. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is A.

30.

Cuando la suma de los primeros diez términos de una progresión aritmética es cuatro veces la suma de los primeros cinco términos, la razón entre el primer término y la diferencia común es:

When the sum of the first ten terms of an arithmetic progression is four times the sum of the first five terms, the ratio of the first term to the common difference is:

$1:2$

$2:1$

$1:4$

$4:1$

$1:1$

Respuesta: A

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria razón y proporción

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Escribe ambas sumas parciales en función del primer término $a$ y de la diferencia común $d$

Write both partial sums in terms of the first term $a$ and common difference $d$

Pista grande:

Usa $S_n=\dfrac n2(2a+(n-1)d)$ y simplifica $S_{10}=4S_5$

Use $S_n=\dfrac n2(2a+(n-1)d)$ and simplify $S_{10}=4S_5$

Solución:

La fórmula de la suma da $\begin{aligned} S_{10}&=5(2a+9d),\\ S_5&=\frac52(2a+4d). \end{aligned}$ La ecuación $S_{10}=4S_5$ se convierte en $2a+9d=2(2a+4d),$ por lo que $d=2a.$ Por consiguiente, $a:d=1:2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sum formula gives $\begin{aligned} S_{10}&=5(2a+9d),\\ S_5&=\frac52(2a+4d). \end{aligned}$ The equation $S_{10}=4S_5$ becomes $2a+9d=2(2a+4d),$ so $d=2a.$ Hence $a:d=1:2.$

Thus, the correct answer is A.

31.

Dados $12$ puntos en un plano, sin que haya tres colineales, el número de rectas que determinan es:

Given $12$ points in a plane no three of which are collinear, the number of lines they determine is:

$24$

$54$

$120$

$66$

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: D

Conceptos:combinaciones conteo básico

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Cada recta se determina eligiendo dos de los puntos

Each line is determined by choosing two of the points

Pista grande:

La condición de que no haya tres puntos colineales garantiza que pares distintos determinen rectas distintas

The condition that no three are collinear ensures that different pairs determine different lines

Solución:

Cada par de puntos determina una recta, y ninguna recta se cuenta mediante más de un par porque no hay tres puntos colineales. Por lo tanto, el número de rectas es $\binom{12}{2}=\frac{12\cdot11}{2}=66.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Every pair of points determines one line, and no line is counted by more than one pair because no three points are collinear. Therefore the number of lines is $\binom{12}{2}=\frac{12\cdot11}{2}=66.$

Thus, the correct answer is D.

32.

$K$ tarda $30$ minutos menos que $M$ en recorrer una distancia de $30$ millas. $K$ viaja $\dfrac13$ de milla por hora más rápido que $M.$ Si $x$ es la velocidad de $K$ en millas por hora, entonces el tiempo de $K$ para recorrer la distancia es:

$K$ takes $30$ minutes less time than $M$ to travel a distance of $30$ miles. $K$ travels $\dfrac13$ mile per hour faster than $M.$ If $x$ is $K$ ’s rate of speed in miles per hour, then $K$ ’s time for the distance is:

$\dfrac{x+\frac{1}{3}}{30}$

$\dfrac{x-\frac{1}{3}}{30}$

$\dfrac{30}{x+\frac{1}{3}}$

$\dfrac{30}{x}$

$\dfrac{x}{30}$

Respuesta: D

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo tasa

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Usa la relación básica $\text{tiempo}=\frac{\text{distancia}}{\text{velocidad}}$

Use the basic relation $\text{time}=\frac{\text{distance}}{\text{rate}}$

Pista grande:

La pregunta solo pide el tiempo de $K$ , y ya se conocen tanto la distancia como la velocidad de $K$

The question asks only for $K$ ’s time, and both $K$ ’s distance and rate are already given

Solución:

Para $K,$ la distancia es de $30$ millas y la velocidad es de $x$ millas por hora. Por lo tanto, $\text{tiempo}=\frac{\text{distancia}}{\text{velocidad}} =\frac{30}{x}\text{ horas}.$ No se necesita la comparación con $M$ para esta expresión.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $K,$ the distance is $30$ miles and the rate is $x$ miles per hour. Thus $\text{time}=\frac{\text{distance}}{\text{rate}} =\frac{30}{x}\text{ hours}.$ The comparison with $M$ is not needed for this expression.

Thus, the correct answer is D.

33.

Un círculo y un cuadrado tienen el mismo perímetro. Entonces:

A circle and a square have the same perimeter. Then:

Sus áreas son iguales

Their areas are equal

El área del círculo es mayor

The area of the circle is the greater

El área del cuadrado es mayor

The area of the square is the greater

El área del círculo es $\pi$ veces el área del cuadrado

The area of the circle is $\pi$ times the area of the square

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: B

Conceptos:círculo cuadrado (geometría)área perímetro

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Denota el perímetro común por $P$ y expresa cada área en función de $P$

Call the common perimeter $P$ and express each area in terms of $P$

Pista grande:

El círculo tiene área $\frac{P^2}{4\pi}$ , mientras que el cuadrado tiene área $\frac{P^2}{16}$

The circle has area $\frac{P^2}{4\pi}$ , while the square has area $\frac{P^2}{16}$

Solución:

Con perímetro común $P,$ el radio del círculo es $\frac{P}{2\pi}$ , por lo que su área es $\frac{P^2}{4\pi}.$ El lado del cuadrado es $\frac{P}{4},$ por lo que su área es $\frac{P^2}{16}.$ Como $4\pi\lt16,$ $\frac{P^2}{4\pi}\gt\frac{P^2}{16}.$

El círculo tiene mayor área, por lo que la respuesta correcta es B.

With common perimeter $P,$ the circle’s radius is $\frac{P}{2\pi}$ , so its area is $\frac{P^2}{4\pi}.$ The square’s side is $\frac{P}{4},$ so its area is $\frac{P^2}{16}.$ Since $4\pi\lt16,$ $\frac{P^2}{4\pi}\gt\frac{P^2}{16}.$

The circle has the greater area, so the correct answer is B.

34.

El precio de un artículo aumentó un $p\%.$ Después, el nuevo precio disminuyó un $p\%.$ Si el precio final era de un dólar, el precio original era:

The price of an article was increased $p\%.$ Later the new price was decreased $p\%.$ If the last price was one dollar, the original price was:

$\dfrac{1-p^2}{200}$

$\dfrac{\sqrt{1-p^2}}{100}$

Un dólar

One dollar

$1-\dfrac{p^2}{10{,}000-p^2}$

$\dfrac{10{,}000}{10{,}000-p^2}$

Respuesta: E

Conceptos:porcentaje manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Representa el aumento y la disminución mediante factores multiplicativos

Represent the increase and decrease by multiplicative factors

Pista grande:

Si el precio original es $P,$ entonces $P(1+\frac{p}{100})(1-\frac{p}{100})=1$

If the original price is $P,$ then $P(1+\frac{p}{100})(1-\frac{p}{100})=1$

Solución:

Si el precio original es de $P$ dólares, después de ambos cambios el precio es $\begin{aligned} &P\left(1+\frac p{100}\right) \left(1-\frac p{100}\right)\\ &\qquad=P\left(1-\frac{p^2}{10{,}000}\right). \end{aligned}$ Al igualar esto a $1$ se obtiene $P=\frac{10{,}000}{10{,}000-p^2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If the original price is $P$ dollars, then after both changes its price is $\begin{aligned} &P\left(1+\frac p{100}\right) \left(1-\frac p{100}\right)\\ &\qquad=P\left(1-\frac{p^2}{10{,}000}\right). \end{aligned}$ Setting this equal to $1$ gives $P=\frac{10{,}000}{10{,}000-p^2}.$

Thus, the correct answer is E.

35.

Con el denominador racionalizado, la expresión $\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5}$ es equivalente a:

With a rational denominator, the expression $\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5}$ is equivalent to:

$\dfrac{3+\sqrt6+\sqrt{15}}6$

$\dfrac{\sqrt6-2+\sqrt{10}}6$

$\dfrac{2+\sqrt6+\sqrt{10}}{10}$

$\dfrac{2+\sqrt6-\sqrt{10}}6$

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: A

Conceptos:radical racionalización del denominador manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Primero considera el denominador como $(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5$ y multiplica por su conjugado

First treat the denominator as $(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5$ and multiply by its conjugate

Pista grande:

Después de la primera racionalización queda un denominador que contiene $\sqrt6$ ; usa otro conjugado

After the first rationalization, a denominator containing $\sqrt6$ remains; use another conjugate

Solución:

Primero multiplicamos por el conjugado $\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5.$ Esto da $\begin{aligned} &\frac{\sqrt2(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)} {(\sqrt2+\sqrt3)^2-5}\\ &\qquad=\frac{2+\sqrt6+\sqrt{10}}{2\sqrt6}. \end{aligned}$ Al multiplicar numerador y denominador por $\sqrt6$ se obtiene $\begin{gathered} \frac{2\sqrt6+6+\sqrt{60}}{12} \\ =\frac{3+\sqrt6+\sqrt{15}}6. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Multiply first by the conjugate $\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5.$ This gives $\begin{aligned} &\frac{\sqrt2(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)} {(\sqrt2+\sqrt3)^2-5}\\ &\qquad=\frac{2+\sqrt6+\sqrt{10}}{2\sqrt6}. \end{aligned}$ Multiplying numerator and denominator by $\sqrt6$ yields $\begin{gathered} \frac{2\sqrt6+6+\sqrt{60}}{12} \\ =\frac{3+\sqrt6+\sqrt{15}}6. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is A.

36.

Para que sea continua en $x=-1,$ se toma el valor de $\dfrac{x^3+1}{x^2-1}$ como:

To be continuous at $x=-1,$ the value of $\dfrac{x^3+1}{x^2-1}$ is taken to be:

$-2$

$0$

$\dfrac32$

$\infty$

$-\dfrac32$

Respuesta: E

Conceptos:cálculo factorización

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Factoriza tanto el numerador como el denominador antes de sustituir $x=-1$

Factor both numerator and denominator before substituting $x=-1$

Pista grande:

Cancela el factor común $x+1$ y evalúa la expresión restante

Cancel the common factor $x+1$ and evaluate the remaining expression

Solución:

Para $x\ne-1,$ $\begin{aligned} \frac{x^3+1}{x^2-1} &=\frac{(x+1)(x^2-x+1)} {(x+1)(x-1)}\\ &=\frac{x^2-x+1}{x-1}. \end{aligned}$ Su límite en $x=-1$ es $\frac{1+1+1}{-2}=-\frac32.$ Asignar este valor elimina la discontinuidad.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For $x\ne-1,$ $\begin{aligned} \frac{x^3+1}{x^2-1} &=\frac{(x+1)(x^2-x+1)} {(x+1)(x-1)}\\ &=\frac{x^2-x+1}{x-1}. \end{aligned}$ Its limit at $x=-1$ is $\frac{1+1+1}{-2}=-\frac32.$ Assigning this value removes the discontinuity.

Thus, the correct answer is E.

37.

En un círculo de radio $8$ pulgadas se trazan dos cuerdas paralelas iguales separadas por $8$ pulgadas. El área de la parte del círculo situada entre las cuerdas es:

Two equal parallel chords are drawn $8$ inches apart in a circle of radius $8$ inches. The area of that part of the circle that lies between the chords is:

$21\dfrac13\pi-32\sqrt3$

$32\sqrt3+21\dfrac13\pi$

$32\sqrt3+42\dfrac23\pi$

$16\sqrt3+42\dfrac23\pi$

$42\dfrac23\pi$

Respuesta: B

Conceptos:círculo cuerda sector circular área

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Las cuerdas paralelas iguales están a la misma distancia del centro, por lo que cada una está a $4$ pulgadas de él

Equal parallel chords lie the same distance from the center, so each is $4$ inches from it

Pista grande:

Resta del círculo completo los dos segmentos circulares exteriores congruentes

Subtract the two congruent outer circular segments from the whole circle

Solución:

Las cuerdas iguales están simétricamente a $4$ pulgadas del centro. Para cualquiera de ellas, el semiángulo en el centro satisface $\cos\theta=\frac{4}{8}=\frac{1}{2},$ por lo que $\theta=60^\circ.$ Cada segmento exterior es un sector de $120^\circ$ menos el triángulo isósceles: $\begin{aligned} &\frac{120}{360}\pi(8)^2 -\frac12(8)^2\sin120^\circ\\ &\qquad=\frac{64\pi}{3}-16\sqrt3. \end{aligned}$ Por lo tanto, el área entre las cuerdas es $\begin{aligned} &64\pi-2\left(\frac{64\pi}{3}-16\sqrt3\right)\\ &\qquad=\frac{64\pi}{3}+32\sqrt3\\ &\qquad=21\frac13\pi+32\sqrt3. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The equal chords are symmetrically $4$ inches from the center. For either chord, the half-angle at the center satisfies $\cos\theta=\frac{4}{8}=\frac{1}{2},$ so $\theta=60^\circ.$ Each outer segment is a $120^\circ$ sector minus the isosceles triangle: $\begin{aligned} &\frac{120}{360}\pi(8)^2 -\frac12(8)^2\sin120^\circ\\ &\qquad=\frac{64\pi}{3}-16\sqrt3. \end{aligned}$ The area between the chords is therefore $\begin{aligned} &64\pi-2\left(\frac{64\pi}{3}-16\sqrt3\right)\\ &\qquad=\frac{64\pi}{3}+32\sqrt3\\ &\qquad=21\frac13\pi+32\sqrt3. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

38.

El área de un terreno trapezoidal es de $1400$ yardas cuadradas. Su altura es de $50$ yardas. Se buscan las dos bases, sabiendo que la longitud en yardas de cada una es un entero divisible por $8.$ El número de soluciones de este problema es:

The area of a trapezoidal field is $1400$ square yards. Its altitude is $50$ yards. Find the two bases, if the number of yards in each base is an integer divisible by $8.$ The number of solutions to this problem is:

Ninguna

None

Una

One

Dos

Two

Tres

Three

Más de tres

More than three

Respuesta: D

Conceptos:trapecio divisibilidad conteo básico

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Usa la fórmula del área del trapecio para hallar la suma de las dos bases

Use the trapezoid area formula to find the sum of the two bases

Pista grande:

Enumera los pares no ordenados de múltiplos positivos de $8$ que tienen esa suma

List the unordered pairs of positive multiples of $8$ with that sum

Solución:

Si las bases son $b_1,b_2,$ entonces $1400=\frac12(b_1+b_2)(50),$ de modo que $b_1+b_2=56.$ Los pares positivos no ordenados de múltiplos de $8$ son $(8,48),\quad(16,40),\quad(24,32).$ Hay tres soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If the bases are $b_1,b_2,$ then $1400=\frac12(b_1+b_2)(50),$ so $b_1+b_2=56.$ The unordered positive pairs of multiples of $8$ are $(8,48),\quad(16,40),\quad(24,32).$ There are three solutions.

Thus, the correct answer is D.

39.

Si el perímetro de un rectángulo es $p$ y su diagonal es $d,$ la diferencia entre el largo y el ancho del rectángulo es:

If the perimeter of a rectangle is $p$ and its diagonal is $d,$ the difference between the length and width of the rectangle is:

$\dfrac{\sqrt{8d^2-p^2}}2$

$\dfrac{\sqrt{8d^2+p^2}}2$

$\dfrac{\sqrt{6d^2-p^2}}2$

$\dfrac{\sqrt{6d^2+p^2}}2$

$\dfrac{\sqrt{8d^2-p^2}}4$

Respuesta: A

Conceptos:rectángulo diferencia de cuadrados diagonal

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Sean $L$ y $W$ las longitudes de los lados, y escribe ecuaciones para $L+W$ y $L^2+W^2$

Let the side lengths be $L$ and $W$ , and write equations for $L+W$ and $L^2+W^2$

Pista grande:

Escribe $2(L^2+W^2)$ y luego resta $(L+W)^2$ para obtener $(L-W)^2$

Write $2(L^2+W^2)$ , then subtract $(L+W)^2$ to obtain $(L-W)^2$

Solución:

El perímetro y la diagonal dan $\begin{aligned} L+W&=\frac p2,\\ L^2+W^2&=d^2. \end{aligned}$ Por consiguiente, $\begin{aligned} (L-W)^2 &=2(L^2+W^2)\\ &\quad{}-(L+W)^2\\ &=2d^2-\frac{p^2}{4}\\ &=\frac{8d^2-p^2}{4}. \end{aligned}$ Al tomar la raíz cuadrada no negativa se obtiene $L-W=\frac{\sqrt{8d^2-p^2}}2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The perimeter and diagonal give $\begin{aligned} L+W&=\frac p2,\\ L^2+W^2&=d^2. \end{aligned}$ Hence $\begin{aligned} (L-W)^2 &=2(L^2+W^2)\\ &\quad{}-(L+W)^2\\ &=2d^2-\frac{p^2}{4}\\ &=\frac{8d^2-p^2}{4}. \end{aligned}$ Taking the nonnegative square root gives $L-W=\frac{\sqrt{8d^2-p^2}}2.$

Thus, the correct answer is A.

40.

Para dibujar la gráfica de $f(x)=ax^2+bx+c,$ se construyó una tabla de valores. Los valores de la función para un conjunto de valores crecientes y equidistantes de $x$ fueron $3844,$ $3969,$ $4096,$ $4227,$ $4356,$ $4489,$ $4624,$ y $4761.$ El que es incorrecto es:

In order to draw a graph of $f(x)=ax^2+bx+c,$ a table of values was constructed. These values of the function for a set of equally spaced increasing values of $x$ were $3844,$ $3969,$ $4096,$ $4227,$ $4356,$ $4489,$ $4624,$ and $4761.$ The one which is incorrect is:

$4096$

$4356$

$4489$

$4761$

Ninguno de estos

None of these

Respuesta: E

Conceptos:cuadrática reconocimiento de patrones cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Una cuadrática evaluada en entradas equidistantes tiene segundas diferencias constantes

A quadratic sampled at equally spaced inputs has constant second differences

Pista grande:

Los valores vecinos también sugieren cuadrados perfectos consecutivos; comprueba cada valor mostrado antes de revisar cuáles aparecen entre las opciones

The surrounding values also suggest consecutive perfect squares; check every displayed table value before checking which values appear among the choices

Solución:

Los valores deben ser los cuadrados consecutivos $\begin{gathered} 62^2,63^2,64^2,65^2,\\ 66^2,67^2,68^2,69^2. \end{gathered}$ Estos son $3844,3969,4096,4225,$ $4356,4489,4624,4761.$ Por lo tanto, el valor incorrecto de la tabla es $4227,$ pero no aparece entre las opciones A-D.

En consecuencia, ninguno de los cuatro números indicados es incorrecto, por lo que la respuesta correcta es E.

The values are intended to be the consecutive squares $\begin{gathered} 62^2,63^2,64^2,65^2,\\ 66^2,67^2,68^2,69^2. \end{gathered}$ These are $3844,3969,4096,4225,$ $4356,4489,4624,4761.$ Thus the incorrect table entry is $4227,$ but it is not one of choices A-D.

Consequently none of the four listed numbers is incorrect, so the correct answer is E.

41.

Aumentar el radio de un cilindro en $6$ unidades aumenta el volumen en $y$ unidades cúbicas. Aumentar la altura del cilindro en $6$ unidades también aumenta el volumen en $y$ unidades cúbicas. Si la altura original es $2,$ entonces el radio original es:

Increasing the radius of a cylinder by $6$ units increases the volume by $y$ cubic units. Increasing the altitude of the cylinder by $6$ units also increases the volume by $y$ cubic units. If the original altitude is $2,$ then the original radius is:

$2$

$4$

$6$

$6\pi$

$8$

Respuesta: C

Conceptos:cilindro volumen cuadrática

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Sea $r$ el radio original y escribe cada uno de los dos aumentos de volumen

Let the original radius be $r$ and write each of the two volume increases

Pista grande:

Iguala $2\pi((r+6)^2-r^2)$ y $6\pi r^2$

Equate $2\pi((r+6)^2-r^2)$ and $6\pi r^2$

Solución:

Con altura original $2$ y radio $r,$ aumentar el radio añade $2\pi\bigl((r+6)^2-r^2\bigr)=24\pi r+72\pi$ unidades cúbicas. Aumentar la altura en $6$ añade $6\pi r^2$ unidades cúbicas. Al igualarlos se obtiene $6r^2=24r+72,$ o $r^2-4r-12=0.$ Su raíz positiva es $r=6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

With original height $2$ and radius $r,$ increasing the radius adds $2\pi\bigl((r+6)^2-r^2\bigr)=24\pi r+72\pi$ cubic units. Increasing the height by $6$ adds $6\pi r^2$ cubic units. Equating these gives $6r^2=24r+72,$ or $r^2-4r-12=0.$ Its positive root is $r=6.$

Thus, the correct answer is C.

42.

Sea $D$ un decimal periódico. Si $P$ denota las $r$ cifras de $D$ que no se repiten y $Q$ denota las $s$ cifras que sí se repiten, entonces la expresión incorrecta es:

Let $D$ represent a repeating decimal. If $P$ denotes the $r$ figures of $D$ which do not repeat themselves, and $Q$ denotes the $s$ figures which do repeat themselves, then the incorrect expression is:

$D=0.PQQQ\ldots$

$10^rD=P.QQQ\ldots$

$10^{r+s}D=PQ.QQQ\ldots$

$10^r(10^s-1)D=Q(P-1)$

$10^r\cdot10^{2s}D=$ $PQQ.QQQ\ldots$

Respuesta: D

Conceptos:decimal periódico valor posicional manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Desplaza el punto decimal primero más allá de las $r$ cifras no periódicas y luego más allá de un bloque de $s$ cifras periódicas

Shift the decimal point first past the $r$ nonrepeating digits and then past one block of $s$ repeating digits

Pista grande:

Resta $10^rD$ de $10^{r+s}D$ y compara el resultado con la opción D

Subtract $10^rD$ from $10^{r+s}D$ and compare the result with choice D

Solución:

Después de desplazar el punto más allá del bloque no periódico, $10^rD=P.QQQ\ldots,$ y después de desplazarlo un bloque periódico más, $10^{r+s}D=PQ.QQQ\ldots.$ Al restar se obtiene la relación estándar $\begin{gathered} 10^r(10^s-1)D \\ =P(10^s-1)+Q. \end{gathered}$ Esto no es $Q(P-1),$ como afirma la opción D.

Por lo tanto, la expresión incorrecta, y con ello la respuesta correcta, es D.

After shifting past the nonrepeating block, $10^rD=P.QQQ\ldots,$ and after shifting one repeating block farther, $10^{r+s}D=PQ.QQQ\ldots.$ Subtracting yields the standard relation $\begin{gathered} 10^r(10^s-1)D \\ =P(10^s-1)+Q. \end{gathered}$ This is not $Q(P-1),$ as stated in choice D.

Thus, the incorrect expression, and hence the correct answer, is D.

43.

El diámetro de un círculo se divide en $n$ partes iguales. Sobre cada parte se construye un semicírculo. Cuando $n$ se hace muy grande, la suma de las longitudes de los arcos de los semicírculos se aproxima a una longitud:

The diameter of a circle is divided into $n$ equal parts. On each part a semicircle is constructed. As $n$ becomes very large, the sum of the lengths of the arcs of the semicircles approaches a length:

Igual a la semicircunferencia del círculo original

Equal to the semi-circumference of the original circle

Igual al diámetro del círculo original

Equal to the diameter of the original circle

Mayor que el diámetro pero menor que la semicircunferencia del círculo original

Greater than the diameter but less than the semi-circumference of the original circle

Infinita

That is infinite

Mayor que la semicircunferencia pero finita

Greater than the semi-circumference but finite

Respuesta: A

Conceptos:círculo arco circunferencia

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Sea $d$ el diámetro original, de modo que cada semicírculo pequeño tenga diámetro $\frac{d}{n}$

Let the original diameter be $d$ , so each small semicircle has diameter $\frac{d}{n}$

Pista grande:

Multiplica la longitud del arco de un semicírculo pequeño por el número $n$ de partes

Multiply the arc length of one small semicircle by the number $n$ of parts

Solución:

Cada semicírculo pequeño tiene diámetro $\frac{d}{n},$ por lo que la longitud de su arco es $\frac{\pi d}{2n}.$ La suma de las $n$ longitudes de arco es $n\cdot\frac{\pi d}{2n}=\frac{\pi d}{2},$ exactamente la semicircunferencia del círculo original. Esta igualdad se cumple para todo $n$ positivo, no solo en el límite.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each small semicircle has diameter $\frac{d}{n},$ so its arc length is $\frac{\pi d}{2n}.$ The sum of all $n$ arc lengths is $n\cdot\frac{\pi d}{2n}=\frac{\pi d}{2},$ exactly the semi-circumference of the original circle. This equality holds for every positive $n,$ not merely in the limit.

Thus, the correct answer is A.

44.

Si un entero de dos cifras es $k$ veces la suma de sus cifras, el número formado al intercambiar las cifras es la suma de las cifras multiplicada por:

If an integer of two digits is $k$ times the sum of its digits, the number formed by interchanging the digits is the sum of the digits multiplied by:

$(9-k)$

$(10-k)$

$(11-k)$

$(k-1)$

$(k+1)$

Respuesta: C

Conceptos:dígitos manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Sean $a$ y $b$ las dos cifras, y expresa tanto el número original como el invertido

Let the two digits be $a$ and $b$ , and express both the original and reversed numbers

Pista grande:

Los dos números suman $11(a+b)$

The two numbers add to $11(a+b)$

Solución:

Sea el número original $10a+b=k(a+b).$ El número invertido es $10b+a.$ Como $\begin{gathered} (10a+b)+(10b+a) \\ =11(a+b), \end{gathered}$ el número invertido es igual a $\begin{aligned} &11(a+b)-k(a+b)\\ &\qquad=(11-k)(a+b). \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the original number be $10a+b=k(a+b).$ The reversed number is $10b+a.$ Since $\begin{gathered} (10a+b)+(10b+a) \\ =11(a+b), \end{gathered}$ the reversed number equals $\begin{aligned} &11(a+b)-k(a+b)\\ &\qquad=(11-k)(a+b). \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

45.

Si $a$ y $b$ son dos números positivos distintos, entonces:

If $a$ and $b$ are two unequal positive numbers, then:

$\dfrac{2ab}{a+b}\gt\sqrt{ab}\gt\dfrac{a+b}{2}$

$\sqrt{ab}\gt\dfrac{2ab}{a+b}\gt\dfrac{a+b}{2}$

$\dfrac{2ab}{a+b}\gt\dfrac{a+b}{2}\gt\sqrt{ab}$

$\dfrac{a+b}{2}\gt\dfrac{2ab}{a+b}\gt\sqrt{ab}$

$\dfrac{a+b}{2}\gt\sqrt{ab}\gt\dfrac{2ab}{a+b}$

Respuesta: E

Conceptos:Desigualdad MA-MG media armónica desigualdad

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Reconoce las medias aritmética, geométrica y armónica de $a$ y $b$

Recognize the arithmetic, geometric, and harmonic means of $a$ and $b$

Pista grande:

Para números positivos distintos, las desigualdades entre las medias son estrictas

For unequal positive numbers, the mean inequalities are strict

Solución:

La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica da $\frac{a+b}{2}\gt\sqrt{ab}$ para valores positivos distintos $a,b.$ Al aplicar la misma desigualdad a $\frac{1}{a}$ y $\frac{1}{b}$ se obtiene $\sqrt{ab}\gt\frac{2ab}{a+b}.$ Así, el orden decreciente es media aritmética, media geométrica y media armónica.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The arithmetic-geometric mean inequality gives $\frac{a+b}{2}\gt\sqrt{ab}$ for unequal positive $a,b.$ Applying the same inequality to $\frac{1}{a}$ and $\frac{1}{b}$ gives $\sqrt{ab}\gt\frac{2ab}{a+b}.$ Therefore the decreasing order is arithmetic mean, geometric mean, harmonic mean.

Thus, the correct answer is E.

46.

La base de un nuevo rectángulo es igual a la suma de la diagonal y el lado mayor de un rectángulo dado, mientras que la altura del nuevo rectángulo es igual a la diferencia entre la diagonal y el lado mayor del rectángulo dado. El área del nuevo rectángulo es:

The base of a new rectangle equals the sum of the diagonal and the greater side of a given rectangle, while the altitude of the new rectangle equals the difference of the diagonal and the greater side of the given rectangle. The area of the new rectangle is:

Mayor que el área del rectángulo dado

Greater than the area of the given rectangle

Igual al área del rectángulo dado

Equal to the area of the given rectangle

Igual al área de un cuadrado cuyo lado es igual al lado menor del rectángulo dado

Equal to the area of a square with its side equal to the smaller side of the given rectangle

Igual al área de un cuadrado cuyo lado es igual al lado mayor del rectángulo dado

Equal to the area of a square with its side equal to the greater side of the given rectangle

Igual al área de un rectángulo cuyas dimensiones son la diagonal y el lado menor del rectángulo dado

Equal to the area of a rectangle whose dimensions are the diagonal and shorter side of the given rectangle

Respuesta: C

Conceptos:rectángulo Teorema de Pitágoras diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Sea $d$ la diagonal y sean $L,W$ los lados mayor y menor

Let $d$ be the diagonal and $L,W$ the greater and smaller sides

Pista grande:

El área nueva es $(d+L)(d-L)=d^2-L^2$

The new area is $(d+L)(d-L)=d^2-L^2$

Solución:

Sean $L$ y $W$ las longitudes de los lados mayor y menor, y sea $d$ la diagonal. El área del nuevo rectángulo es $(d+L)(d-L)=d^2-L^2.$ El teorema de Pitágoras da $d^2=L^2+W^2,$ por lo que el área nueva es $W^2.$ Esta es el área de un cuadrado cuyo lado es igual al lado menor del rectángulo original.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the greater and smaller side lengths be $L$ and $W,$ and let the diagonal be $d.$ The new rectangle’s area is $(d+L)(d-L)=d^2-L^2.$ The Pythagorean theorem gives $d^2=L^2+W^2,$ so the new area is $W^2.$ This is the area of a square whose side equals the smaller side of the original rectangle.

Thus, the correct answer is C.

47.

En el sistema de ecuaciones $z^x=y^{2x},$ $2^z=2\cdot4^x,$ $x+y+z=16,$ las raíces enteras en el orden $x,$ $y,$ $z$ son:

In the set of equations $z^x=y^{2x},$ $2^z=2\cdot4^x,$ $x+y+z=16,$ the integral roots in the order $x,$ $y,$ $z$ are:

$3,$ $4,$ $9$

$9,$ $-5,$ $12$

$12,$ $-5,$ $9$

$4,$ $3,$ $9$

$4,$ $9,$ $3$

Respuesta: D

Conceptos:exponente Ecuación diofántica sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Compara los exponentes en $2^z=2\cdot4^x$ para expresar $z$ en función de $x$

Compare exponents in $2^z=2\cdot4^x$ to express $z$ in terms of $x$

Pista grande:

Para la solución positiva prevista, $z^x=y^{2x}$ da $z=y^2$ ; sustituye ambas relaciones en la suma

For the intended positive solution, $z^x=y^{2x}$ gives $z=y^2$ ; substitute both relations into the sum

Solución:

Para la solución entera positiva prevista, la primera ecuación da $z=y^2.$ La segunda ecuación es $2^z=2^{2x+1},$ por lo que $z=2x+1$ y $x=\frac{y^2-1}{2}.$ Al sustituir en $x+y+z=16$ se obtiene $\frac{y^2-1}{2}+y+y^2=16.$ La solución entera positiva es $y=3,$ que da $x=4$ y $z=9.$ La sustitución directa verifica las tres ecuaciones mostradas.

Por lo tanto, la respuesta prevista entre las opciones es D.

For the intended positive integral solution, the first equation gives $z=y^2.$ The second equation is $2^z=2^{2x+1},$ so $z=2x+1$ and $x=\frac{y^2-1}{2}.$ Substituting into $x+y+z=16$ gives $\frac{y^2-1}{2}+y+y^2=16.$ The positive integral solution is $y=3,$ which gives $x=4$ and $z=9.$ Direct substitution verifies all three displayed equations.

Thus, the intended listed answer is D.

48.

Dos ciclistas separados por $k$ millas parten al mismo tiempo. Si viajaran en la misma dirección, se encontrarían en $r$ horas; si viajaran en direcciones opuestas, se cruzarían en $t$ horas. La razón entre la velocidad del ciclista más rápido y la del más lento es:

Two cyclists, $k$ miles apart, and starting at the same time, would be together in $r$ hours if they traveled in the same direction, but would pass each other in $t$ hours if they traveled in opposite directions. The ratio of the speed of the faster cyclist to that of the slower is:

$\dfrac{r+t}{r-t}$

$\dfrac r{r-t}$

$\dfrac{r+t}{r}$

$\dfrac rt$

$\dfrac{r+k}{t-k}$

Respuesta: A

Conceptos:velocidad relativa tasa razón y proporción

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Sean $u$ y $v$ las velocidades del ciclista más rápido y del más lento, y escribe las ecuaciones de velocidad relativa para la misma dirección y para direcciones opuestas

Let the faster and slower speeds be $u$ and $v$ , and write the same-direction and opposite-direction relative-speed equations

Pista grande:

Usa $(u-v)r=k$ y $(u+v)t=k$ , y luego despeja $\frac{u}{v}$

Use $(u-v)r=k$ and $(u+v)t=k$ , then solve for $\frac{u}{v}$

Solución:

Sean las velocidades $u\gt v.$ Las dos condiciones de encuentro dan $u-v=\frac kr,\qquad u+v=\frac kt.$ Al sumar y restar estas ecuaciones se obtiene $\begin{aligned} u&=\frac k2\left(\frac1r+\frac1t\right),\\ v&=\frac k2\left(\frac1t-\frac1r\right). \end{aligned}$ Por consiguiente, $\frac uv=\frac{r+t}{r-t}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the speeds be $u\gt v.$ The two meeting conditions give $u-v=\frac kr,\qquad u+v=\frac kt.$ Adding and subtracting these equations yields $\begin{aligned} u&=\frac k2\left(\frac1r+\frac1t\right),\\ v&=\frac k2\left(\frac1t-\frac1r\right). \end{aligned}$ Therefore $\frac uv=\frac{r+t}{r-t}.$

Thus, the correct answer is A.

49.

En la figura, $CD,$ $AE,$ y $BF$ son un tercio de sus respectivos lados. Se deduce que $AN_2:N_2N_1:N_1D=3:3:1,$ y de manera análoga para las rectas $BE$ y $CF.$ Entonces el área del triángulo $N_1N_2N_3$ es:

In the figure, $CD,$ $AE,$ and $BF$ are one-third of their respective sides. It follows that $AN_2:N_2N_1:N_1D=3:3:1,$ and similarly for lines $BE$ and $CF.$ Then the area of triangle $N_1N_2N_3$ is:

$\dfrac1{10}\triangle ABC$

$\dfrac19\triangle ABC$

$\dfrac17\triangle ABC$

$\dfrac16\triangle ABC$

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica razón de áreas

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Las razones de áreas son invariantes bajo transformaciones afines, así que elige coordenadas convenientes para el triángulo $ABC$

Area ratios are affine-invariant, so choose convenient coordinates for triangle $ABC$

Pista grande:

Ubica $D,E,F$ mediante las condiciones de un tercio, intersecta las tres cevianas y compara las dos áreas con determinantes

Locate $D,E,F$ by the one-third conditions, intersect the three cevians, and compare the two areas with determinants

Solución:

Usamos $A=(0,1),$ $B=(0,0),$ $C=(1,0).$ Entonces $\begin{aligned} D&=\left(\frac23,0\right),\\ E&=\left(\frac13,\frac23\right),\\ F&=\left(0,\frac13\right). \end{aligned}$ Al intersectar $AD,BE,CF$ por pares se obtiene $\begin{aligned} N_1&=\left(\frac47,\frac17\right),\\ N_2&=\left(\frac27,\frac47\right),\\ N_3&=\left(\frac17,\frac27\right). \end{aligned}$ La fórmula del área mediante determinantes da $\begin{aligned} [N_1N_2N_3]&=\frac1{14},\\ [ABC]&=\frac12. \end{aligned}$ Por consiguiente, $\frac{[N_1N_2N_3]}{[ABC]}=\frac{1}{7}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Use $A=(0,1),$ $B=(0,0),$ $C=(1,0).$ Then $\begin{aligned} D&=\left(\frac23,0\right),\\ E&=\left(\frac13,\frac23\right),\\ F&=\left(0,\frac13\right). \end{aligned}$ Intersecting $AD,BE,CF$ in pairs gives $\begin{aligned} N_1&=\left(\frac47,\frac17\right),\\ N_2&=\left(\frac27,\frac47\right),\\ N_3&=\left(\frac17,\frac27\right). \end{aligned}$ The determinant area formula gives $\begin{aligned} [N_1N_2N_3]&=\frac1{14},\\ [ABC]&=\frac12. \end{aligned}$ Hence $\frac{[N_1N_2N_3]}{[ABC]}=\frac{1}{7}.$

Thus, the correct answer is C.

50.

Un segmento que inicialmente mide $1$ pulgada crece según la siguiente ley, donde el primer término es la longitud inicial. $\begin{gathered} 1+\frac14\sqrt2+\frac14+\frac1{16}\sqrt2\\ {}+\frac1{16}+\frac1{64}\sqrt2+\frac1{64}+\cdots. \end{gathered}$ Si el proceso de crecimiento continúa indefinidamente, el límite de la longitud del segmento es:

A line initially $1$ inch long grows according to the following law, where the first term is the initial length. $\begin{gathered} 1+\frac14\sqrt2+\frac14+\frac1{16}\sqrt2\\ {}+\frac1{16}+\frac1{64}\sqrt2+\frac1{64}+\cdots. \end{gathered}$ If the growth process continues forever, the limit of the length of the line is:

$\infty$

$\dfrac43$

$\dfrac38$

$\dfrac13(4+\sqrt2)$

$\dfrac23(4+\sqrt2)$

Respuesta: D

Conceptos:sucesión geométrica sumatoria radical

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Agrupa cada par que tenga la misma potencia de $\frac{1}{4}$

Group each pair having the same power of $\frac{1}{4}$

Pista grande:

Los términos posteriores al $1$ inicial suman $(1+\sqrt2)\sum_{k=1}^{\infty}4^{-k}$

The terms after the initial $1$ equal $(1+\sqrt2)\sum_{k=1}^{\infty}4^{-k}$

Solución:

Después del término inicial, cada potencia $4^{-k}$ aparece una vez por sí sola y una vez multiplicada por $\sqrt2.$ Como $\sum_{k=1}^{\infty}4^{-k}=\frac{1}{3},$ el límite es $1+\frac{1+\sqrt2}{3}=\frac{4+\sqrt2}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

After the initial term, each power $4^{-k}$ appears once by itself and once multiplied by $\sqrt2.$ Since $\sum_{k=1}^{\infty}4^{-k}=\frac{1}{3},$ the limit is $1+\frac{1+\sqrt2}{3}=\frac{4+\sqrt2}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

Problemas del 1952 AMC 12

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Pista grande: