Question

Si el perímetro de un rectángulo es $p$ y su diagonal es $d,$ la diferencia entre el largo y el ancho del rectángulo es:

If the perimeter of a rectangle is $p$ and its diagonal is $d,$ the difference between the length and width of the rectangle is:

$\dfrac{\sqrt{8d^2-p^2}}2$

$\dfrac{\sqrt{8d^2+p^2}}2$

$\dfrac{\sqrt{6d^2-p^2}}2$

$\dfrac{\sqrt{6d^2+p^2}}2$

$\dfrac{\sqrt{8d^2-p^2}}4$

Respuesta: A

Conceptos:rectángulo diferencia de cuadrados diagonal

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Sean $L$ y $W$ las longitudes de los lados, y escribe ecuaciones para $L+W$ y $L^2+W^2$

Let the side lengths be $L$ and $W$ , and write equations for $L+W$ and $L^2+W^2$

Pista grande:

Escribe $2(L^2+W^2)$ y luego resta $(L+W)^2$ para obtener $(L-W)^2$

Write $2(L^2+W^2)$ , then subtract $(L+W)^2$ to obtain $(L-W)^2$

Solución:

El perímetro y la diagonal dan $\begin{aligned} L+W&=\frac p2,\\ L^2+W^2&=d^2. \end{aligned}$ Por consiguiente, $\begin{aligned} (L-W)^2 &=2(L^2+W^2)\\ &\quad{}-(L+W)^2\\ &=2d^2-\frac{p^2}{4}\\ &=\frac{8d^2-p^2}{4}. \end{aligned}$ Al tomar la raíz cuadrada no negativa se obtiene $L-W=\frac{\sqrt{8d^2-p^2}}2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The perimeter and diagonal give $\begin{aligned} L+W&=\frac p2,\\ L^2+W^2&=d^2. \end{aligned}$ Hence $\begin{aligned} (L-W)^2 &=2(L^2+W^2)\\ &\quad{}-(L+W)^2\\ &=2d^2-\frac{p^2}{4}\\ &=\frac{8d^2-p^2}{4}. \end{aligned}$ Taking the nonnegative square root gives $L-W=\frac{\sqrt{8d^2-p^2}}2.$

Thus, the correct answer is A.

1952 AMC 12 Problema 39

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 39 en otros años