Question

Dada la serie $2+1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots$ y las siguientes cinco afirmaciones:

$(1)$ la suma aumenta sin límite.

$(2)$ la suma disminuye sin límite.

$(3)$ la diferencia entre cualquier término de la sucesión y cero puede hacerse menor que cualquier cantidad positiva, por pequeña que sea.

$(4)$ la diferencia entre la suma y $4$ puede hacerse menor que cualquier cantidad positiva, por pequeña que sea.

$(5)$ la suma se aproxima a un límite.

De estas afirmaciones, las correctas son:

Given the series $2+1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots$ and the following five statements:

$(1)$ the sum increases without limit.

$(2)$ the sum decreases without limit.

$(3)$ the difference between any term of the sequence and zero can be made less than any positive quantity no matter how small.

$(4)$ the difference between the sum and $4$ can be made less than any positive quantity no matter how small.

$(5)$ the sum approaches a limit.

Of these statements, the correct ones are:

Solo $3$ y $4$

Only $3$ and $4$

Solo $5$

Only $5$

Solo $2$ y $4$

Only $2$ and $4$

Solo $2,$ $3,$ y $4$

Only $2,$ $3,$ and $4$

Solo $4$ y $5$

Only $4$ and $5$

Respuesta: E

Conceptos:sucesión geométrica sumatoria cálculo

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Distingue los términos de la sucesión de sus sumas parciales

Distinguish the terms of the sequence from its partial sums

Pista grande:

Una serie geométrica con primer término $2$ y razón $\frac{1}{2}$ tiene sumas parciales que se aproximan a $4$

A geometric series with first term $2$ and ratio $\frac{1}{2}$ has partial sums approaching $4$

Solución:

Las sumas parciales aumentan hacia $\frac{2}{1-\frac12}=4,$ por lo que no aumentan ni disminuyen sin límite. Esto hace falsas las afirmaciones $1$ y $2$ , mientras que las afirmaciones $4$ y $5$ son verdaderas.

En la afirmación $3,$ «cualquier término» se refiere a un término ya elegido, cuya distancia a cero es fija y no puede reducirse; lo que sí puede hacerse es elegir un término suficientemente avanzado que esté por debajo de cualquier cota positiva dada. Por lo tanto, la afirmación $3$ , tal como está redactada, es falsa.

Por consiguiente, solo las afirmaciones $4$ y $5$ son correctas, así que la respuesta correcta es E.

The partial sums increase toward $\frac{2}{1-\frac12}=4,$ so they neither increase nor decrease without limit. This makes statements $1$ and $2$ false, while statements $4$ and $5$ are true.

In statement $3,$ “any term” refers to an already selected term, whose distance from zero is fixed and cannot be made smaller; one can instead choose a sufficiently late term below any prescribed positive bound. Thus statement $3$ , as worded, is false.

Therefore only statements $4$ and $5$ are correct, so the correct answer is E.

1950 AMC 12 Problema 39

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 39 en otros años