Question

Dos hombres parten al mismo tiempo desde $M$ y $N,$ separados por $72$ millas, y caminan uno hacia el otro. El primero camina a $4$ millas por hora. El segundo recorre $2$ millas la primera hora, $2\frac12$ millas la segunda, $3$ millas la tercera, y así sucesivamente en progresión aritmética. Entonces se encontrarán:

Two men set out at the same time to walk towards each other from $M$ and $N,$ $72$ miles apart. The first man walks at the rate of $4$ mph. The second man walks $2$ miles the first hour, $2\frac12$ miles the second hour, $3$ miles the third hour, and so on in arithmetic progression. Then the men will meet:

en $7$ horas

in $7$ hours

en $8\frac14$ horas

in $8\frac14$ hours

más cerca de $M$ que de $N$

nearer $M$ than $N$

más cerca de $N$ que de $M$

nearer $N$ than $M$

a mitad de camino entre $M$ y $N$

midway between $M$ and $N$

Respuesta: E

Conceptos:sucesión aritmética distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Después de $t$ horas completas, suma como progresión aritmética las distancias horarias del segundo hombre

After $t$ whole hours, sum the second man’s hourly distances as an arithmetic progression

Pista grande:

Iguala esa suma más $4t$ a $72$

Set that sum plus $4t$ equal to $72$

Solución:

En $t$ horas, las distancias horarias del segundo hombre forman una progresión aritmética de primer término $2$ y último término $2+\frac{t-1}{2}.$ Su distancia es $\frac t2\left(4+\frac{t-1}{2}\right) =\frac{t(t+7)}4.$ Entre ambos recorren $4t+\frac{t(t+7)}4=72,$ o $t^2+23t-288=0.$ La raíz positiva es $t=9.$ El primer hombre recorre entonces $4(9)=36$ millas, exactamente la mitad de la distancia original.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

In $t$ hours, the second man’s hourly distances form an arithmetic progression with first term $2$ and last term $2+\frac{t-1}{2}.$ His distance is $\frac t2\left(4+\frac{t-1}{2}\right) =\frac{t(t+7)}4.$ Together the men cover $4t+\frac{t(t+7)}4=72,$ or $t^2+23t-288=0.$ The positive root is $t=9.$ The first man then walks $4(9)=36$ miles, exactly half the original distance.

Therefore, the correct answer is E.

1957 AMC 12 Problema 39

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 39 en otros años