Question

Se dan los conjuntos de enteros consecutivos $\{1\},$ $\{2,3\},$ $\{4,5,6\},$ $\{7,8,9,10\},$ $\ldots,$ donde cada conjunto contiene un elemento más que el anterior y el primer elemento de cada conjunto es uno mayor que el último del conjunto precedente. Sea $S_n$ la suma de los elementos del $n$ -ésimo conjunto. Entonces $S_{21}$ es igual a:

Given the sets of consecutive integers $\{1\},$ $\{2,3\},$ $\{4,5,6\},$ $\{7,8,9,10\},$ $\ldots,$ where each set contains one more element than the preceding one, and where the first element of each succeeding set is one more than the last element of the preceding set. Let $S_n$ be the sum of the elements in the $n$ th set. Then $S_{21}$ equals:

$1113$

$4641$

$5082$

$53361$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética número triangular sumatoria

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

El último número del $n$ -ésimo conjunto es $\frac{n(n+1)}{2}$

The last number in the $n$ th set is $\frac{n(n+1)}{2}$

Pista grande:

Suma los $n$ enteros consecutivos que terminan en ese número

Sum the $n$ consecutive integers ending at that number

Solución:

El $n$ -ésimo conjunto termina en $\frac{n(n+1)}{2}$ y contiene $n$ enteros consecutivos. Su suma es $\begin{aligned} S_n &=n\left(\frac{n(n+1)}2\right)\\ &\quad-\frac{n(n-1)}2\\ &=\frac{n(n^2+1)}2. \end{aligned}$ Por lo tanto, $S_{21}=\frac{21(442)}{2}=4641.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The $n$ th set ends at $\frac{n(n+1)}{2}$ and contains $n$ consecutive integers. Its sum is $\begin{aligned} S_n &=n\left(\frac{n(n+1)}2\right)\\ &\quad-\frac{n(n-1)}2\\ &=\frac{n(n^2+1)}2. \end{aligned}$ Thus $S_{21}=\frac{21(442)}{2}=4641.$

Therefore, the correct answer is B.

1967 AMC 12 Problema 39

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 39 en otros años