Question

El lugar geométrico del punto medio de un segmento trazado desde un punto exterior fijo $P$ hasta un círculo dado de centro $O$ y radio $r,$ es:

The locus of the midpoint of a line segment that is drawn from a given external point $P$ to a given circle with center $O$ and radius $r,$ is:

una recta perpendicular a $\overline{PO}$

a straight line perpendicular to $\overline{PO}$

una recta paralela a $\overline{PO}$

a straight line parallel to $\overline{PO}$

un círculo de centro $P$ y radio $r$

a circle with center $P$ and radius $r$

un círculo con centro en el punto medio de $\overline{PO}$ y radio $2r$

a circle with center at the midpoint of $\overline{PO}$ and radius $2r$

un círculo con centro en el punto medio de $\overline{PO}$ y radio $\dfrac12r$

a circle with center at the midpoint of $\overline{PO}$ and radius $\dfrac12r$

Respuesta: E

Conceptos:transformación punto medio círculo

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Sea $X$ el extremo variable sobre el círculo dado y sea $M$ su punto medio con $P$

Let the variable endpoint on the given circle be $X$ and its midpoint with $P$ be $M$

Pista grande:

La transformación $X\mapsto M$ es una homotecia de centro $P$ y razón $\frac{1}{2}$

The map $X\mapsto M$ is a dilation centered at $P$ with scale factor $\frac{1}{2}$

Solución:

Cuando el extremo $X$ se mueve sobre el círculo de centro $O,$ su punto medio $M$ con el punto fijo $P$ es la imagen de $X$ bajo una homotecia de razón $\frac{1}{2}$ y centro $P.$ Por lo tanto, el lugar geométrico es un círculo cuyo centro es el punto medio de $\overline{PO}$ y cuyo radio es $\frac{r}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

As the endpoint $X$ moves on the circle centered at $O,$ its midpoint $M$ with the fixed point $P$ is the image of $X$ under a dilation of scale $\frac{1}{2}$ centered at $P.$ Therefore the locus is a circle whose center is the midpoint of $\overline{PO}$ and whose radius is $\frac{r}{2}.$

Thus, the correct answer is E.

1954 AMC 12 Problema 39

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 39 en otros años