Question

Sea $S$ la suma de los primeros nueve términos de la sucesión

$\begin{gathered} x+a,\quad x^2+2a,\\ x^3+3a,\quad\ldots. \end{gathered}$

Entonces $S$ es igual a:

Let $S$ be the sum of the first nine terms of the sequence

$\begin{gathered} x+a,\quad x^2+2a,\\ x^3+3a,\quad\ldots. \end{gathered}$

Then $S$ equals:

$\dfrac{50a+x+x^8}{x+1}$

$50a-\dfrac{x+x^{10}}{x-1}$

$\dfrac{x^9-1}{x+1}+45a$

$\dfrac{x^{10}-x}{x-1}+45a$

$\dfrac{x^{11}-x}{x-1}+45a$

Respuesta: D

Conceptos:sucesión geométrica sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Separa las potencias de $x$ de los múltiplos de $a$

Separate the powers of $x$ from the multiples of $a$

Pista grande:

Usa la suma de una serie geométrica para $x+x^2+\cdots+x^9$

Use the geometric-series sum for $x+x^2+\cdots+x^9$

Solución:

Al sumar los primeros nueve términos se obtiene $\begin{aligned} S={}&(x+x^2+\cdots+x^9)\\ &{}+(1+2+\cdots+9)a. \end{aligned}$ Por lo tanto, $S=\frac{x^{10}-x}{x-1}+45a.$ En $x=1,$ la expresión se entiende por continuidad, y allí ambas formas son iguales a $9+45a.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Adding the first nine terms gives $\begin{aligned} S={}&(x+x^2+\cdots+x^9)\\ &{}+(1+2+\cdots+9)a. \end{aligned}$ Therefore $S=\frac{x^{10}-x}{x-1}+45a.$ The expression is understood by continuity at $x=1,$ where both forms equal $9+45a.$

Thus, the correct answer is D.

1959 AMC 12 Problema 39

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 39 en otros años