Question

En el triángulo $ABC,$ $\overline{BD}$ es una mediana. $\overline{CF}$ corta a $\overline{BD}$ en $E$ de modo que $BE=ED.$ El punto $F$ está sobre $\overline{AB}.$ Entonces, si $BF=5,$ $BA$ es igual a:

In triangle $ABC,$ $\overline{BD}$ is a median. $\overline{CF}$ intersects $\overline{BD}$ at $E$ so that $BE=ED.$ Point $F$ is on $\overline{AB}.$ Then, if $BF=5,$ $BA$ equals:

$10$

$12$

$15$

$20$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: C

Conceptos:mediana (geometría)vector puntos de masa

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Usa coordenadas o masas, observando que $D$ es el punto medio de $AC$ y $E$ es el punto medio de $BD$

Use coordinates or masses, noting that $D$ is the midpoint of $AC$ and $E$ is the midpoint of $BD$

Pista grande:

Escribe $E$ tanto como $\frac{B+D}{2}$ como en su forma de punto sobre la recta $CF$

Write $E$ both as $\frac{B+D}{2}$ and as a point on line $CF$

Solución:

Usa vectores con $A=\mathbf0,\ B=\mathbf b,$ y $C=\mathbf c.$ Como $D=\frac{\mathbf c}{2}$ y $E$ es el punto medio de $BD,$ $E=\frac12\mathbf b+\frac14\mathbf c.$ Un punto $F$ sobre $AB$ tiene la forma $F=t\mathbf b.$ Como $E$ está sobre $CF,$ al comparar el coeficiente de $\mathbf c$ se obtiene $E=\tfrac14C+\tfrac34F.$ Por consiguiente, $\frac34t=\frac12,$ así que $t=\frac{2}{3}.$ Entonces $\frac{AF}{AB}=\frac{2}{3},$ y $\frac{BF}{BA}=\frac{1}{3}.$ Como $BF=5,$ $BA=15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Use vectors with $A=\mathbf0,\ B=\mathbf b,$ and $C=\mathbf c.$ Since $D=\frac{\mathbf c}{2}$ and $E$ is the midpoint of $BD,$ $E=\frac12\mathbf b+\frac14\mathbf c.$ A point $F$ on $AB$ has the form $F=t\mathbf b.$ Since $E$ lies on $CF,$ comparison of the $\mathbf c$ -coefficient shows that $E=\tfrac14C+\tfrac34F.$ Hence $\frac34t=\frac12,$ so $t=\frac{2}{3}.$ Thus $\frac{AF}{AB}=\frac{2}{3},$ and $\frac{BF}{BA}=\frac{1}{3}.$ Since $BF=5,$ $BA=15.$

Therefore, the correct answer is C.

1959 AMC 12 Problema 40

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 40 en otros años