Question

Halla el valor mínimo de $\sqrt{x^2+y^2}$ si $5x+12y=60.$

Find the minimum value of $\sqrt{x^2+y^2}$ if $5x+12y=60.$

$\dfrac{60}{13}$

$\dfrac{13}{5}$

$\dfrac{13}{12}$

$1$

$0$

Respuesta: A

Conceptos:fórmula de la distancia Desigualdad de Cauchy-Schwarz optimización

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

Interpreta $\sqrt{x^2+y^2}$ como la distancia al origen

Interpret $\sqrt{x^2+y^2}$ as distance from the origin

Pista grande:

Aplica Cauchy-Schwarz a $5x+12y$

Apply Cauchy-Schwarz to $5x+12y$

Solución:

Por Cauchy-Schwarz, $\begin{aligned} 60&=5x+12y\\ &\le\sqrt{5^2+12^2}\\ &\qquad\cdot\sqrt{x^2+y^2}\\ &=13\sqrt{x^2+y^2}. \end{aligned}$ Así, la distancia es al menos $\frac{60}{13}.$ Hay igualdad cuando $(x,y)$ es proporcional a $(5,12),$ por lo que el mínimo es $\frac{60}{13}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

By Cauchy-Schwarz, $\begin{aligned} 60&=5x+12y\\ &\le\sqrt{5^2+12^2}\\ &\qquad\cdot\sqrt{x^2+y^2}\\ &=13\sqrt{x^2+y^2}. \end{aligned}$ Thus the distance is at least $\frac{60}{13}.$ Equality occurs when $(x,y)$ is proportional to $(5,12),$ so the minimum is $\frac{60}{13}.$

Therefore, the correct answer is A.

1961 AMC 12 Problema 40

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 40 en otros años