Question

Si $x$ es un número que satisface la ecuación $\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3,$ entonces $x^2$ está entre:

If $x$ is a number satisfying the equation $\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3,$ then $x^2$ is between:

$55$ y $65$

$55$ and $65$

$65$ y $75$

$65$ and $75$

$75$ y $85$

$75$ and $85$

$85$ y $95$

$85$ and $95$

$95$ y $105$

$95$ and $105$

Respuesta: C

Conceptos:radical suma y diferencia de cubos simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 2290

Pista pequeña:

Sea $u=\sqrt[3]{x+9}$ y $v=\sqrt[3]{x-9}$

Set $u=\sqrt[3]{x+9}$ and $v=\sqrt[3]{x-9}$

Pista grande:

Usa tanto $u-v=3$ como $u^3-v^3=18$ para hallar $uv$

Use both $u-v=3$ and $u^3-v^3=18$ to find $uv$

Solución:

Sea $u=\sqrt[3]{x+9}$ y $v=\sqrt[3]{x-9}.$ Entonces $u-v=3$ y $\begin{aligned} 18&=u^3-v^3\\ &=(u-v)(u^2+uv+v^2), \end{aligned}$ por lo que $u^2+uv+v^2=6.$ Al comparar con $(u-v)^2=9$ se obtiene $uv=-1.$ Por tanto, $(u+v)^2=5.$ Al elevar al cubo $2u=3\pm\sqrt5$ se obtiene $x=\pm4\sqrt5,$ y en ambos casos $x^2=80,$ que está entre $75$ y $85.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $u=\sqrt[3]{x+9}$ and $v=\sqrt[3]{x-9}.$ Then $u-v=3$ and $\begin{aligned} 18&=u^3-v^3\\ &=(u-v)(u^2+uv+v^2), \end{aligned}$ so $u^2+uv+v^2=6.$ Comparing with $(u-v)^2=9$ gives $uv=-1.$ Hence $(u+v)^2=5.$ Cubing $2u=3\pm\sqrt5$ gives $x=\pm4\sqrt5,$ and either way $x^2=80,$ between $75$ and $85.$

Therefore, the correct answer is C.

1963 AMC 12 Problema 40

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2290

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 40 en otros años